汪 魁,趙明階,余 東

(1.重慶交通大學(xué)水利水運(yùn)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶400074;2.寧夏公路勘察設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司,寧夏銀川750004)

電阻率測試技術(shù)的理論基礎(chǔ)是對被測對象的電阻率特性的研究,自從1942年Archie[1]提出無粘性土和純凈的砂巖的電阻率定律以來,國內(nèi)外對純巖石介質(zhì)和純土介質(zhì)的電阻率特性研究已有大量的研究成果,并基本形成了相應(yīng)的理論體系[2-5],使得電阻率測試技術(shù)在土或巖石的結(jié)構(gòu)性研究中應(yīng)用均能獲得較滿意的結(jié)果[6-9]。然而土石復(fù)合介質(zhì)是由土顆粒、巖石顆粒、顆粒間的孔隙以及孔隙中的氣體和水等部分組成的典型多相介質(zhì),其級配變化大、含水率極其不均勻,并且顆粒粒徑、巖石類型、含石量、含水率、壓實(shí)程度等均對工程特性有巨大影響,其物理力學(xué)特性與純土介質(zhì)和純巖石介質(zhì)有著本質(zhì)的區(qū)別,因此采用純土體介質(zhì)或純巖石的電阻率理論顯然是無法準(zhǔn)確評價(jià)土石復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)性及其物理力學(xué)參數(shù)。

相對于純土或者巖石介質(zhì),土石復(fù)合介質(zhì)相當(dāng)于固體相包含了兩種介質(zhì)。本文在Waxman與Smits[2]建立的非飽和土的電阻率結(jié)構(gòu)模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了土石復(fù)合介質(zhì)電阻率結(jié)構(gòu)模型,并分析了多相土石復(fù)合介質(zhì)物理參數(shù)和電阻率的相關(guān)關(guān)系。

1 土石復(fù)合介質(zhì)宏觀導(dǎo)電結(jié)構(gòu)模型

Waxman與Smits[2](1968)通過試驗(yàn)研究,假定表面導(dǎo)電性良好的粘性土的導(dǎo)電是通過土顆粒和孔隙水兩個(gè)導(dǎo)體并聯(lián)而成的結(jié)構(gòu)來傳播的,這里假定土石復(fù)合介質(zhì)的電流傳播仍然是由固體顆粒和孔隙水兩條路徑組成的,但是這里的固體成分包含土顆粒和石顆粒兩種表面導(dǎo)電性不同的成分。因此,首先按照土顆粒和石顆粒串聯(lián)和并聯(lián)分別建立以下土石并聯(lián)模型和土石串聯(lián)模型。如圖1所示。

圖1 多相土石復(fù)合介質(zhì)電阻率結(jié)構(gòu)模型

圖1 所示中,假定土石混合體為邊長為1的立方體(即L=1),電流方向?yàn)樨Q直方向。令土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率為 ρ,總電阻為R,下面分別推導(dǎo)土石串聯(lián)和土石并聯(lián)的電阻率結(jié)構(gòu)模型。

1.1 土石串聯(lián)電阻率結(jié)構(gòu)模型

由圖1(a)根據(jù)電阻率的定義及歐姆定律可得以下關(guān)系式:

上式:R為總電阻;Rw為孔隙水的電阻;Rs為土顆粒的電阻;Rr為石顆粒的電阻;ρ為土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率;ρw為孔隙水的電阻率;ρs為土顆粒的電阻率;ρr為石顆粒的電阻率。

同時(shí),根據(jù)土石復(fù)合介質(zhì)的三相物理指標(biāo)的關(guān)系可以得到以下關(guān)系式:

上式:n為孔隙率;f為土石體積比;Sr為飽和度。綜合以上式(1)～式(10)可得:

另外,對于多相土石復(fù)合介質(zhì),其飽和度:

式中:w為含水率;e為孔隙比;γde為土石復(fù)合介質(zhì)等效顆粒密度,可按下式計(jì)算:

式中:γs為土顆粒密度;γr為石顆粒密度。同時(shí)將孔隙比表達(dá)為孔隙率:

那么,將式(13)～式(14)帶入式(12)可得:

將式(15)代入式(11)可得土石串聯(lián)時(shí)的電阻率結(jié)構(gòu)模型為:

1.2 土石并聯(lián)電阻率結(jié)構(gòu)模型

同樣,由圖1(b)可得到土石并聯(lián)結(jié)構(gòu)的電阻率結(jié)構(gòu)模型:

1.3 土石串聯(lián)-并聯(lián)混合電阻率結(jié)構(gòu)模型

由于實(shí)際土石復(fù)合介質(zhì)中應(yīng)該同時(shí)包含土石串聯(lián)部分和土石并聯(lián)部分,設(shè)土石并聯(lián)模型所占比例為ξ,并定義ξ為土石復(fù)合介質(zhì)的導(dǎo)電結(jié)構(gòu)因子。同時(shí)假定土石串聯(lián)和土石并聯(lián)部分符合相同的土石復(fù)合介質(zhì)三相指標(biāo)的比例關(guān)系,那么土石串聯(lián)-并聯(lián)混合的電阻率為:

式中:ρ串、ρ并分別由式(16)、式(17)給出。

那么,將式(16)、式(17)代入式(18)可得土石串聯(lián)-并聯(lián)混合的電阻率結(jié)構(gòu)模型為:

若取導(dǎo)電結(jié)構(gòu)因子ξ=0.5,那么:

2 土石復(fù)合介質(zhì)電阻率的影響因素分析

由式(20)可知,當(dāng)不考慮土、石顆粒本身的影響時(shí),土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性主要受含水率、孔隙率和土石比的影響。以某土石復(fù)合介質(zhì)為例,取ρs=600 Ω·m,ρr=800 Ω·m,ρw=13.3 Ω·m,土顆粒密度γs=2.52 g/cm3,石顆粒密度 γr=2.68 g/cm3,水的密度 γw=1.00 g/cm3,分析含水率 w、孔隙率 n、土石比f對電阻率的影響。

2.1 含水率對土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性的影響

首先在式(20)中,由于相對孔隙水的電阻率,固體顆粒的電阻率相對較大,因此,含水率對于土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率的影響較大。

為了考察含水率對土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性的影響,固定土石體積比 f=4,孔隙率 n=0.4,那么將以上土石參數(shù)代入式(20)可得:

如圖2所示為土石復(fù)合介質(zhì)含水率與電阻率的關(guān)系曲線?？梢钥闯?土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率隨含水率的增大而減小,當(dāng)含水率增大一定程度后,電阻率隨含水率增大而減小的趨勢逐漸變緩。這是由于含水率增大時(shí),孔隙水逐漸充滿孔隙空間,孔隙水導(dǎo)電所占的比例相應(yīng)增加,直至飽和。

事實(shí)上,由式(15)可知,由于Sr≤1,那么可得到最大含水率:

圖2 電阻率和含水率的關(guān)系曲線

通過式(22)計(jì)算可得這里的最大含水率wmax=25%,所以當(dāng)含水率超過25%時(shí),實(shí)際上巖土體介質(zhì)的孔隙結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞。

2.2 孔隙率對土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性的影響

在式(20)中,固定土石比 f=4,含水率w=10%,那么將以上土石參數(shù)代入式(20)可得:

如圖3所示為土石復(fù)合介質(zhì)孔隙率與電阻率的關(guān)系曲線,由圖3可以看出,土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率隨孔隙率的增大而增大,這是因?yàn)楫?dāng)含水率一定時(shí),孔隙率的增大,使得飽和度減小,孔隙水導(dǎo)電所占的比例相對減小。

圖3 電阻率和孔隙率的關(guān)系曲線圖

2.3 土石比對土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性的影響

在式(20)中,固定孔隙率n=0.4,分別計(jì)算含水率w=5%、w=10%兩種情況下土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率隨土石比的變化情況。那么將以上土石參數(shù)代入式(20)計(jì)算不同的土石比對應(yīng)的電阻率值可得如圖4所示土石復(fù)合介質(zhì)電阻率隨土石比的變化曲線圖。

圖4中,當(dāng)含水率不同時(shí),土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率隨土石比變化呈現(xiàn)兩種不同趨勢。將式(20)變化為:

圖4 電阻率和土石比的關(guān)系曲線

在式(24)中,前兩項(xiàng)為土石顆粒的影響,第三項(xiàng)為孔隙水的影響,當(dāng)土石比增大時(shí),土顆粒成分增加,導(dǎo)致總的電阻率減小,在第三項(xiàng)中,當(dāng)土石比增加時(shí),導(dǎo)致總的電阻率增加,當(dāng)含水率較大時(shí),土石比增大導(dǎo)致孔隙水的影響占主導(dǎo)地位,從而使總的電阻率增加。但是總體上,土石比對于多相土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率影響相對較小。

在式(24)中分別考慮兩種極限情況:土石比f=0時(shí)和土石比f=∞時(shí)兩種情況。

(1)土石比f=0

由式(24)可得:

(2)土石比f=∞時(shí)

顯然,土石比由0變化為無窮大時(shí),即由石顆粒向土顆粒轉(zhuǎn)化時(shí),電阻率的變化還與含水率的大小有關(guān)。

2.4 飽和度對土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性的影響

當(dāng)含水率不變時(shí),飽和度的增加由式(15)可知飽和度的大小受土石復(fù)合介質(zhì)含水率、孔隙率和土石比的控制。由式(11)和式(26)可知,飽和度的增加會導(dǎo)致土石復(fù)合介質(zhì)電阻率大小的減小,事實(shí)上,孔隙率不變時(shí),飽和度增加,意味著含水率的增大,從而使整個(gè)電阻率減小;含水率不變時(shí),飽和度增加,意味著孔隙率的減小,從而使整個(gè)電阻率減小。如圖5所示為土石復(fù)合介質(zhì)電阻率隨飽和度變化趨勢圖。

圖5 電阻率和飽和度的關(guān)系曲線

3 結(jié) 論

(1)當(dāng)土石顆粒本身的成分不變時(shí),影響土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性的主要因素有含水率、孔隙率、土石比三個(gè)因素,其敏感程度從大到小依次為含水率、孔隙率和土石比。

(2)土石復(fù)合介質(zhì)的電阻率隨含水率的增大而減小,當(dāng)含水率增大到一定程度時(shí),介質(zhì)含水率達(dá)到飽和狀態(tài),此時(shí)是理論上最小的電阻率,如果電阻率進(jìn)一步發(fā)生變化,說明孔隙結(jié)構(gòu)發(fā)生改變。

(3)含水率不變時(shí),土石復(fù)合介質(zhì)孔隙率的增大導(dǎo)致飽和度減小,電阻率隨之增大;土石比對多相土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性的影響隨含水率的不同而不同,含水率較小時(shí),土石復(fù)合介質(zhì)電阻率隨土石比的增大而減小;而當(dāng)含水率較大時(shí),土石復(fù)合介質(zhì)電阻率隨土石比的增大而增大,但是總體上,土石比對土石復(fù)合介質(zhì)電阻率特性的影響相對較小。

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