柴保明，王遠(yuǎn)東

(河北工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河北邯鄲056038)

在并聯(lián)機(jī)器人的應(yīng)用和研究不斷深入的情況下，人們對于其操作習(xí)慣和工作性能的要求逐漸升高。新型工業(yè)需要機(jī)器人有更高的加工精度，特別是在醫(yī)學(xué)界手術(shù)的操作、電子輕工業(yè)集成的電路加工、數(shù)控機(jī)床精密制造等場合的應(yīng)用。因此，研究如何提高并聯(lián)機(jī)器人的精度在實際應(yīng)用中有著相當(dāng)重要的意義。

三平移并聯(lián)機(jī)器人因其具有高剛性、高承載力、高靈活性等眾多優(yōu)點而擁有廣大的使用領(lǐng)域和前景，同時也是研究的熱點之一。一般通過提高零件表面質(zhì)量、加工精度和減小鉸鏈間隙等途徑提高其位姿精度，但零件加工精度的提高和鉸鏈間隙的減小都不是沒有限度的，而且均會隨著運動副的磨損而逐漸降低。作者將在誤差正解模型的基礎(chǔ)上，通過對3TPT 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)驅(qū)動桿補(bǔ)償量的控制，來提高機(jī)器人輸出位姿精度，從理論上提出了一種精度補(bǔ)償方法。

1 位姿誤差正解模型的建立

圖1 3TPT 并聯(lián)機(jī)構(gòu)

3TPT 并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1 所示，整個機(jī)構(gòu)由動平臺、3 個單開鏈和靜平臺組成，3 個支鏈連接動平臺和靜平臺，每個支鏈包括兩端兩個虎克鉸和一個可伸縮的連桿，通過驅(qū)動移動副使連桿伸縮，從而帶動動平臺作空間三自由度運動。建立其簡化模型如圖2 所示，絕對坐標(biāo)系O － XYZ 在靜平臺上，O 為△AA1A2的外接圓心。

圖2 3TPT 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡化模型

把第i 個鉸點ai在設(shè)動平臺BB1B2動坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)設(shè)為ci，pi設(shè)為在靜坐標(biāo)系O －XYZ 中的坐標(biāo)，矩陣R 即變換矩陣，是動坐標(biāo)系指向靜坐標(biāo)系的方向余弦矩陣。P = ［xp，yp，zp］T為動坐標(biāo)系的原點投影到靜坐標(biāo)系上的絕對坐標(biāo)。則有:

動平臺的位姿可以表示為:

其中:

φ 、θ 、ψ 為動平臺坐標(biāo)架x'、y'、z'軸分別相對靜平臺坐標(biāo)架x、y、z 軸的3 個轉(zhuǎn)角。因為3TPT并聯(lián)機(jī)器人的運動表現(xiàn)在空間上為3 個自由度的平移，所以動坐標(biāo)架{B}到靜坐標(biāo)架{A}的方向余弦矩陣R 為一個單位矩陣。

上面機(jī)構(gòu)模型位姿表達(dá)式T 和Pi中，存在兩個假定:

(1)驅(qū)動桿i 的軸線與上下兩虎克鉸中心共線;

(2)上平臺虎克鉸鏈中心位于平面OPiBi內(nèi)，下平臺虎克鉸鏈中心位于平面OBiPi內(nèi)。

對于第i 個封閉環(huán)O－Bi－Ai－O' －O，存在以下矢量關(guān)系方程:

方程(3)中:ui是由Ai指向Bi的單位矢量，liui是包含驅(qū)動桿誤差、上下平臺鉸鏈制造及其安裝誤差在內(nèi)的實際長度。

將式(3)進(jìn)行全微分可得:

對上式兩邊同時乘以uT

i 得:

在式(5)中，uT

i dliui= dli，又由機(jī)構(gòu)微分關(guān)系可得:

所以存在:

將方程作以下代換，由于δP = dP，δci= dci，δai=dai，δli=dli，可得下式:

由公式(8)可以得到:

在式(9)中，［δl1，δl2，δl3］T為活動平臺AA1A2的輸出位姿誤差。

為了求得動平臺AA1A2的輸入位姿誤差矩陣和輸出誤差矩陣較為明了簡單的邏輯關(guān)系，這里將安裝誤差和加工誤差在內(nèi)的誤差參數(shù)向量提取出來，并用矩陣的形式來表示，而其他部分作為誤差矩陣的系數(shù)矩陣，也稱為誤差傳遞矩陣，從而可以得到3TPT 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)位置正解精度的數(shù)學(xué)模型如下:

令(10)式中:

從而使得3TPT 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)位置的正解方程可以簡化為:

在式(11)中，δl∈R3×1為支鏈的桿長誤差向量，δm∈R18×1是動平臺和靜平臺的虎克鉸鏈位置誤差向量。式(12)中，δP∈R3×1為動平臺的輸出位姿誤差，其系數(shù)Ke∈R3×18為包含所有誤差參數(shù)的誤差傳遞矩陣，δe∈R21×1為包含了加工誤差和安裝誤差在內(nèi)的21 個誤差參數(shù)向量。

2 位姿精度補(bǔ)償建模

在誤差正解方程δe = ［δl，δm］T中，δm 為已知的常數(shù)，表示動靜平臺各虎克鉸的位置，可以通過控制該機(jī)構(gòu)伸縮桿δl 的伸縮，使輸出位姿誤差δP 最小。使δP 接近于［0］，誤差正解方程式(12)可以表達(dá)為

將Ke1、Ke2代入式(14)得:

上式則為建立的3TPT 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的位姿精度的補(bǔ)償模型。δl 稱為3TPT 并聯(lián)機(jī)器人支鏈伸縮桿的名義補(bǔ)償量。

式中:δl'為機(jī)構(gòu)控制系統(tǒng)提供的伸縮桿誤差的實際補(bǔ)償量，δl0為支鏈伸縮桿的原始結(jié)構(gòu)誤差。

3 實例解析

某一3TPT 并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:活動平臺外接圓直徑r1=200 mm，β1=0°、β2=120°、β3=240°為各絞點對應(yīng)向量與X 軸正向夾角;固定平臺外接圓直徑r2=300 mm，α1=0°、α2=120°、α3=240°為各絞點對應(yīng)向量與X 軸正向夾角。位姿參數(shù)分別為:P = [x，y，z]T= ［5，0，100］T，φ = θ = ψ =0°。根據(jù)分析該3 平移機(jī)器人機(jī)構(gòu)的位置精度的數(shù)學(xué)模型和給定各鉸點的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差及伸縮桿誤差(如表1 所示)，可以得到相應(yīng)的輸出位姿誤差，見表2。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差 mm

表2 輸出位姿誤差 mm

結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差向量δm 用可以由表1 中的δcix、δciy、δciz、δaix、δaiy、δaiz來構(gòu)造，采用位姿精度補(bǔ)償算法(式(15))可求得δl，即伸縮桿的名義補(bǔ)償量Δli，如表3 所示。

表3 名義補(bǔ)償量 mm

δlxy為伸縮桿原始結(jié)構(gòu)誤差，由式(16)可以得到作為控制參數(shù)的伸縮桿實際補(bǔ)償量Δli，如表4所示。

表4 實際補(bǔ)償量 mm

為校核該補(bǔ)償方法是否適用和有效，將δm 及δI構(gòu)成δe，代入誤差正解方程(12)，得到輸出位姿誤差如表5 所示。

表5 補(bǔ)償后輸出位姿誤差 ×10 －4 mm

可以明顯發(fā)現(xiàn)，通過該方法補(bǔ)償后的機(jī)構(gòu)中各項誤差值均有所減小，證明了所推導(dǎo)的精度補(bǔ)償公式對該機(jī)器人是有效的。

4 結(jié)論

(1)通過建立機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)、結(jié)構(gòu)誤差和動平臺位姿誤差的關(guān)系方程，求解出了3TPT 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿誤差正解模型。

(2)對其精度補(bǔ)償進(jìn)行了較系統(tǒng)的研究，從理論上提出了通過對機(jī)器人機(jī)構(gòu)驅(qū)動桿補(bǔ)償量的控制來補(bǔ)償機(jī)構(gòu)位姿精度的方法。

(3)結(jié)合典型實例校核，證實了該補(bǔ)償方法的有效性。該方法為3TPT 機(jī)器人的實際精度補(bǔ)償與控制提供了重要理論，對于優(yōu)化并聯(lián)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)設(shè)計有重要意義。

【1】CAI G Q.Development and Study of a New Kind of 3-DOF Tripod［J］.Annals of the CIRP，1999，48(1):333 －336.

【2】KU D M. Direct Displacement Analysis of a Stewart Platform Mechanism［J］. Mech Mach Theory，1999，34(3):453 －465.

【3】諸靜.機(jī)器人與控制技術(shù)［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社，1991.

【4】黃真，孔令富，方躍法. 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論與控制［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

【5】牛國棟.三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的精度研究［D］.淄博:山東理工大學(xué)，2006.

【6】王以振.并聯(lián)機(jī)床精度研究［D］. 沈陽:沈陽理工大學(xué)，2009.

【7】鄭德星，王琨琦.一種并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的精度分析與機(jī)構(gòu)參數(shù)選?。跩］.機(jī)床與液壓，2010，38(21):70 －73.

【8】梁輝，白志富，陳五一.一種驅(qū)動冗余并聯(lián)機(jī)床的鉸鏈間隙誤差分析［J］.機(jī)床與液壓，2006(6):7 －9.