高宗軍

(山東科技大學(xué)，山東 青島266590)

1 達(dá)西定律及其推論

1852—1855年間，法國(guó)水力學(xué)家達(dá)西(H.Darcy)在裝滿砂的圓筒(圖 1)中進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)［01］，［02］得到如下關(guān)系式:

式中 Q為滲流量;H1、H2為通過砂樣前后(即上、下游過水?dāng)嗝?的水頭;L為砂樣沿水流方向的長(zhǎng)度(即上下游斷面的距離);A為實(shí)驗(yàn)圓筒的橫截面積，包括砂粒和孔隙二部分面積在內(nèi);K為比例系數(shù)，稱為滲透系數(shù)。

圖1 達(dá)西實(shí)驗(yàn)裝置

這就是著名的達(dá)西定律，又稱為線性滲透定律，是指流體在多孔介質(zhì)中遵循滲透速度與水力梯度(滲透方向上水頭損失與滲透途徑的比值，無量綱)呈線性關(guān)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

達(dá)西定律的表達(dá)式還有另外一種表達(dá)方式［01］，［02］，即

式中，V是滲透速度;K是滲透系數(shù)，意義同前;J為水力坡度，是水頭差與滲透距離的比值，即J=(H2-H1)/L。以微分的形式，J=dH/dL，此時(shí)稱為水力梯度。

大量的研究表明，當(dāng)雷諾(Reynolds)數(shù)處于1～10時(shí)，地下水運(yùn)動(dòng)符合Darcy定律。實(shí)際地下水尤其是天然狀態(tài)下的地下水，其運(yùn)動(dòng)速度往往都很緩慢，因此，絕大多數(shù)情況下地下水流服從達(dá)西定律。

由達(dá)西定律可以得出:在均勻連續(xù)滲透介質(zhì)中，地下水的流動(dòng)都遵循這樣的規(guī)律，即滲透速度與水力梯度(滲透方向上水頭損失與滲透途徑的比值，無量綱)呈線性關(guān)系;由于均勻連續(xù)介質(zhì)是均質(zhì)各向同性的，介質(zhì)的孔隙度及有效孔隙度是處處相等的，因而上述線性關(guān)系應(yīng)該處處遵循，即其比值(斜率)的大小—滲透系數(shù)K的值—應(yīng)該是處處相等的。

如果我們堅(jiān)信，均質(zhì)各向同性的滲透介質(zhì)，其滲透系數(shù)K的值和有效孔隙度ne的值在整個(gè)流場(chǎng)中處處相等，那么在同樣的水頭差驅(qū)使下，地下水流的滲透速度V應(yīng)該與滲透途徑的長(zhǎng)度L具有線性負(fù)相關(guān)的關(guān)系:

即在等水頭差時(shí)

同樣地，由于滲透速度V與實(shí)際流速u之間具有線性關(guān)系

式中ne為有效孔隙度。則有

或者，在等水頭差時(shí)同種介質(zhì)應(yīng)該有下式成立

然而，通過沙槽的試驗(yàn)，其結(jié)果卻并非如此，相同的沙充滿的砂槽內(nèi)，上述結(jié)論并不成立，即K值是不斷變化的，在同樣的水頭差驅(qū)使下，實(shí)際流速與運(yùn)動(dòng)途徑的積并非常數(shù)。

2 試驗(yàn)結(jié)果

2.1 模擬降水及地勢(shì)差異情況下的試驗(yàn)結(jié)果

梁杏等利用自行設(shè)計(jì)的地下水流系統(tǒng)演示儀，直觀地展現(xiàn)了多級(jí)次地下水流系統(tǒng)——局部的、中間的和區(qū)域的水流系統(tǒng)［03］，［04］。

根據(jù)梁杏等所做的試驗(yàn)證實(shí)［03］，沿著局部流動(dòng)系統(tǒng)邊界，地下水由補(bǔ)給區(qū)到排泄區(qū)的時(shí)間約為6.5～32.3 min，沿著中間流動(dòng)系統(tǒng)的邊界，地下水由補(bǔ)給區(qū)到排泄區(qū)的時(shí)間約為110.5 min，而沿著區(qū)域流動(dòng)系統(tǒng)邊界，地下水由補(bǔ)給區(qū)到排泄區(qū)的時(shí)間約為260.6 min.

圖2 不同降水強(qiáng)度情況下三級(jí)地下水流系統(tǒng)模擬試驗(yàn)結(jié)果(梁杏，2010)［03］:所觀測(cè)到的流動(dòng)系統(tǒng)的闡釋

另?yè)?jù)梁杏等2008年的內(nèi)部講座資料，局部流動(dòng)系統(tǒng)的邊界線交替時(shí)間約15 min時(shí)，中間流動(dòng)系統(tǒng)的邊界線交替時(shí)間約250 min，區(qū)域流動(dòng)系統(tǒng)的邊界線交替時(shí)間達(dá)到665 min，局部與區(qū)域的水循環(huán)交替時(shí)間差可達(dá)數(shù)十倍至上百倍!

而實(shí)際上，由圖2我們可以看出，局部流動(dòng)系統(tǒng)的邊界長(zhǎng)度大于中間流動(dòng)系統(tǒng)邊界長(zhǎng)度的1/2，中間流動(dòng)系統(tǒng)邊界長(zhǎng)度也大于區(qū)域流動(dòng)系統(tǒng)邊界長(zhǎng)度的1/2;但從水交替時(shí)間來看，局部系統(tǒng)水流速度遠(yuǎn)大于中間系統(tǒng)的水流速度的2倍;同樣地，中間系統(tǒng)水流速度也遠(yuǎn)大于區(qū)域水流系統(tǒng)的水流速度的2倍。我們根據(jù)式(2)，可以由速度及滲透距離求得K值的大小，列于表中(表1)。

顯然，只要有效孔隙度大小相等，則所求得的K值的大小是處處不等的!由文獻(xiàn)［03］所得結(jié)果是:隨著滲透距離的增加，其K值是逐漸增加的;相反，由梁杏于2008年所做的講座，其K值是逐漸遞減的。對(duì)于這種相反的結(jié)果，目前尚不清楚是何原因造成的。

2.2 等水頭補(bǔ)給條件下試驗(yàn)結(jié)果

作者也設(shè)計(jì)了類似的砂槽試驗(yàn)。在均質(zhì)各向同性的滲透介質(zhì)中，頂部設(shè)為定水頭自由水體，當(dāng)具有不同的排泄點(diǎn)時(shí)，也出現(xiàn)了具有不同等級(jí)的水流系統(tǒng)的圖景(圖3，圖4)

該試驗(yàn)的結(jié)果也證實(shí)，在不同的流線上的水流速度是大相徑庭的。同樣根據(jù)式(2)及試驗(yàn)結(jié)果，求得了在相同水頭差(45 cm)情況下的不同流線(跡線)上的水流速度及K值的大小(表2，表3)。

可以看出，K值的變化既有規(guī)律性，也有不確定性。其中的原因，除了觀測(cè)誤差、試驗(yàn)用示蹤顏色所帶來的誤差外，可能還有其它的原因，是值得深入思考的問題。

表1 依照實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出的K值在均勻滲流場(chǎng)中的差異性

圖3 等水頭補(bǔ)給及單個(gè)排泄點(diǎn)條件下均勻滲流場(chǎng)中流線(跡線)的分布

3 討論

事實(shí)上，托特等［05］，［06］，［07］，［08］，［09］在幾十年以來的對(duì)地下水流系統(tǒng)的論述中，都提到過地下水流系統(tǒng)具有分級(jí)，不同級(jí)別的地下水流系統(tǒng)中的水流運(yùn)行(徑流)時(shí)間存在很大差異等，Winter等更加形象地描繪出，這種差異在時(shí)間上會(huì)達(dá)到若干數(shù)量級(jí)(圖4)［10］。雖然他們都未涉及達(dá)西實(shí)驗(yàn)或達(dá)西定律的相關(guān)內(nèi)容，但在分析問題的時(shí)候，都自覺不自覺地把達(dá)西定律作為了處處遵守的規(guī)則，而忽略或未知在自然界的滲透流場(chǎng)中存在著的這些差異性。

圖4 等水頭補(bǔ)給及單個(gè)排泄點(diǎn)條件下均勻滲流場(chǎng)中流線(跡線)的分布

表2 等水頭補(bǔ)給條件下均勻滲流場(chǎng)中不同跡線依據(jù)達(dá)西定律求出的滲透系數(shù)

表3 等水頭補(bǔ)給條件下均勻滲流場(chǎng)中不同跡線依據(jù)達(dá)西定律求出的滲透系數(shù)

總之，目前人們普遍認(rèn)為，在均質(zhì)各向同性介質(zhì)中，介質(zhì)的有效孔隙度及地下水的滲透系數(shù)應(yīng)該是處處相等的，且在實(shí)際的操作中也是這樣應(yīng)用的。然而在上述均質(zhì)各向同性的沙槽中，水流運(yùn)動(dòng)試驗(yàn)的結(jié)果卻并非如此，而是出現(xiàn)了“滲透系數(shù)”“K值”處處不等的局面，因而此文中稱之為“達(dá)西悖論”。故此筆者認(rèn)為，地下水流系統(tǒng)理論與達(dá)西定律之間應(yīng)該存在某種尚不確定的關(guān)系，值得深入探討。

圖5 地下水流系統(tǒng)示意圖。補(bǔ)給區(qū)到排泄區(qū)地下水流運(yùn)行距離、深度及時(shí)間(據(jù)Winter等，1998)

［1］薛禹群，朱學(xué)愚.地下水動(dòng)力學(xué)［M］.地質(zhì)出版社.北京:1979.7.

［2］薛禹群.地下水動(dòng)力學(xué)［M］.地質(zhì)出版社.北京:1997.9.

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［4］張人權(quán)，梁杏，等.水文地質(zhì)學(xué)基礎(chǔ)［M］.地質(zhì)出版社.北京:2011.1.

［5］Tóth J.1962.A theoretical analysis of groundwater motion in small drainage basins in central Alberta，Canada.Journal of Geophysical Research 67(11):4375–4387.

［6］Tóth J.1963.A theoretical analysis of groundwater flow in small drainage basins.Journal of Geophysical Research 68(16):4795–4812.

［7］Tóth J.1978.Gravity-induced cross-formation flow of formation fluids，Red Earth Region，Alberta，Canada.Water Resources Research 14(5):805–843.

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［10］T.C.Winter，J.W.Harvey，O.L.Franke，and W.M.Alley.Ground Water and Surface Water A Single Resource.USGS Circular 1139，1998.