李樹(shù)文，張大龍，李 堯

(1.河北工程大學(xué)，河北 邯鄲056038;2.河北工業(yè)大學(xué)，天津300401)

鄧聚龍教授建立的灰色朦朧集理論，很好的解釋了“經(jīng)典”思維方法的不足，填補(bǔ)了數(shù)學(xué)模擬中“連續(xù)”與“離散”的鴻溝，是灰數(shù)學(xué)(灰理論)的基礎(chǔ)［1，2］。對(duì)于地下水流系統(tǒng)基本灰色數(shù)值模型的解算，須以朦朧集為前提，保證灰信息傳遞的正確性，因?yàn)榉夯覕?shù)［3］、區(qū)間型灰數(shù)［4］及其運(yùn)算性質(zhì)以及區(qū)間型灰色線性方程組的解法，都是以朦朧集為出發(fā)點(diǎn)的。文獻(xiàn)［5］和文獻(xiàn)［6］建立了基于灰色數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的滲流問(wèn)題的灰色有限元數(shù)值模型，本文在其基礎(chǔ)上，分析滲流系統(tǒng)輸入信息的灰度對(duì)輸出信息灰度的影響。在給出滲流系統(tǒng)灰色數(shù)值模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)一個(gè)算例，分析當(dāng)模型的輸入信息(包括導(dǎo)水系數(shù)、儲(chǔ)水系數(shù)、入滲水量)取不同的灰度時(shí)，模型的輸出結(jié)果——水位灰度將出現(xiàn)如何的變化。這個(gè)討論，對(duì)于模型的實(shí)際應(yīng)用具有特殊的意義。

1 滲流問(wèn)題的灰色數(shù)值模型

把滲流問(wèn)題中的參數(shù)和變量視為灰參數(shù)和灰變量，根據(jù)質(zhì)量守衡和能量守衡定律，可以得到滲流問(wèn)題的灰色微分方程［7］:

對(duì)以上方程運(yùn)用伽遼金(Galerkin)有限元方法進(jìn)行離散，可得任一結(jié)點(diǎn)i的灰色有限元方程:

Ta，Tb表示灰色導(dǎo)水系數(shù)的上界和下界;Ha，Hb表示灰水位的上界和下界;Qa，Qb表示開(kāi)采量的上界和下界;εa，εb表示灰色入滲補(bǔ)給量的上界和下界;μa，μb表示灰色儲(chǔ)水系數(shù)的上界和下界;qa，qb表示灰色邊界補(bǔ)給量的上界和下界。

為了敘述問(wèn)題簡(jiǎn)便，將方程(2)簡(jiǎn)記為:

基于有理灰數(shù)運(yùn)算規(guī)則［4］，可以將方程(2)逐項(xiàng)計(jì)算［5，6］。對(duì)于 Ⅰ1項(xiàng)計(jì)算，要特別注意其中的 αi，αj，αk的符號(hào)問(wèn)題，αi總是大于零的，而αj，αk符號(hào)有正有負(fù)，因此應(yīng)據(jù)不同情況討論，即:

其它各項(xiàng)分別為:

將式(3)至(10)代入方程(2)中，得到四種情況下結(jié)點(diǎn)i的灰色有限元方程。

第一種情況:當(dāng) αj，αk＞0 時(shí)

依次可以寫(xiě)出 αj，αk＜0，αj＞0，αk＜0 和 αj＜0，αk＞0其它三種情況下的結(jié)點(diǎn)灰色有限元方程［5，6］(略)。

2 模型計(jì)算結(jié)果的灰度分析

以上所述的灰色數(shù)學(xué)模型，描述的是滲流系統(tǒng)的灰水位的時(shí)空變化。模型實(shí)際應(yīng)用中，其輸出結(jié)果——灰水位的灰度能否在一個(gè)較小的、實(shí)用的范圍內(nèi)變化，是十分重要的。根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，灰數(shù)是確知量和未知量的總體。而灰度是灰數(shù)未知程度的量度，或者說(shuō)灰數(shù)的未知程度稱為灰數(shù)的灰度。下面用一個(gè)算例，來(lái)分析實(shí)際應(yīng)用中普遍關(guān)心的問(wèn)題，即灰色輸入量的灰度對(duì)灰色輸出量水位灰度的影響問(wèn)題。

一個(gè)符合泰斯條件［7］的承壓含水層。含水層被剖分成30個(gè)三角形單元，23個(gè)結(jié)點(diǎn)，其中內(nèi)結(jié)點(diǎn)9個(gè)。6號(hào)、8號(hào)為抽水井的結(jié)點(diǎn)。計(jì)算時(shí)段劃分為3個(gè)，即0.3日，0.2日，0.5日。初始水位標(biāo)高取為100 m，計(jì)算區(qū)域的邊界由泰斯解析解公式計(jì)算后給出，即全為第一類(lèi)邊界條件(圖1)。

圖1 計(jì)算區(qū)剖分圖

2.1 導(dǎo)水系數(shù)灰度對(duì)水位灰度的影響

為了說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，將導(dǎo)水系數(shù)分別取作9個(gè)區(qū)間灰數(shù)［Tia，Tib］(i=0，1，…，8)，然后求得 7 號(hào)結(jié)點(diǎn)第三個(gè)時(shí)段末的相應(yīng)的9個(gè)灰色水位結(jié)果(表1)。并根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制了導(dǎo)水系數(shù)灰度對(duì)水位灰度影響的關(guān)系曲線分別為初值化的水位增量和初值化的導(dǎo)水系數(shù)增量，這是一種數(shù)據(jù)變換方法。這樣的做法大大加強(qiáng)了水位值和導(dǎo)水系數(shù)的可比性，便于數(shù)據(jù)和圖形的對(duì)比分析。

表1 導(dǎo)水系數(shù)灰度對(duì)水位灰度的影響結(jié)果

圖2 導(dǎo)水系數(shù)灰度對(duì)水位灰度影響關(guān)系曲線

采用同樣的方法，可獲得垂向入滲量灰度對(duì)水位灰度的影響關(guān)系曲線(圖3)。

圖3 灰色輸入量灰度對(duì)水位灰度影響關(guān)系曲線

從圖3可以看出，隨著灰色導(dǎo)水系數(shù)灰度、灰色垂向入滲量灰度的增加，水位灰度受其影響，呈直線上升且直線的斜率近 45°。

2.2 儲(chǔ)水系數(shù)灰度對(duì)水位灰度的影響

儲(chǔ)水系數(shù)灰度對(duì)水位灰度的影響，其分析方法與上述方法相同。兩者灰度的影響關(guān)系見(jiàn)圖4。從圖4中可以看出，隨著儲(chǔ)水系數(shù)灰度變化，水位灰度不成線性變化。對(duì)于不同的計(jì)算時(shí)段，其變化關(guān)系也不相同。第一時(shí)段的關(guān)系曲線基本上呈直線上升，直線的斜率稍大于45°，并且在曲線的上端上升幅度小，即有所收斂;第二計(jì)算時(shí)段和第三計(jì)算時(shí)段，兩者的關(guān)系呈曲線跳躍，且跳躍的最大值是有限的。

3 結(jié)語(yǔ)

(1)灰色數(shù)值模型中的運(yùn)算并不等于簡(jiǎn)單的區(qū)間計(jì)算，而它的理論基礎(chǔ)是朦朧集、灰數(shù)運(yùn)算性質(zhì)。

(2)灰色輸入量的灰度對(duì)灰色輸出量灰度的影響是:水位灰度隨著導(dǎo)水系數(shù)灰度(或入滲水量的灰度)增大呈線性增大的變化，其變化的斜率呈45°;隨著儲(chǔ)水系數(shù)灰度變化，水位灰度不呈線性變化，兩者的關(guān)系呈曲線跳躍，且跳躍的最大值是有限的。

(3)模型實(shí)際應(yīng)用中，減小水位灰度的辦法是合理把握輸入信息的灰度，做到這一點(diǎn)并不困難。

圖4 儲(chǔ)水系數(shù)灰度對(duì)水位灰度影響關(guān)系曲線

［1］鄧聚龍.灰數(shù)學(xué)引論-灰朦朧集.武漢華中理工大學(xué)出版社.1992.9.

［2］鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ).武漢華中科技大學(xué)出版社.2002.

［3］王清印等.泛灰集與點(diǎn)灰數(shù).灰色系統(tǒng)理論與實(shí)踐.濟(jì)南:1991;(1).

［4］王清印.灰色數(shù)學(xué)基礎(chǔ).武漢華中理工大學(xué)出版社.1996.9.

［5］Wu Qing，Li Shuwen，Wang Yinao，Dong Donglin.A research on grey numerical imitation and modeling of groundwater seepage system.China Science(D)，Vol.44 No.11，2001:1043-1056.

［6］李樹(shù)文，王義鬧，趙秀娟.滲流問(wèn)題灰色數(shù)值模型的解法研究.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí).2004，34(3).

［7］陳崇希，林敏.地下水動(dòng)力學(xué).武漢中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社.1999.