陳鐵明 蔣融融

1)(浙江工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,杭州 310023)

2)(浙江廣播電視大學(xué)信息與工程學(xué)院,杭州 310013)

(2012年3月31日收到;2012年9月28日收到修改稿)

1 引言

混沌是物理、數(shù)學(xué)、非線性動(dòng)力學(xué)等多學(xué)科交叉的一種新理論,混沌系統(tǒng)的“蝴蝶效應(yīng)”和“不確定性”已在密碼學(xué)領(lǐng)域引起廣泛關(guān)注.混沌系統(tǒng)所具有的基本特性可滿足保密通信及密碼學(xué)的基本要求:混沌動(dòng)力學(xué)方程的確定性保證了通信雙方在收發(fā)過(guò)程或加解密過(guò)程中的可靠性;混沌軌道的遍歷性正好滿足密碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)的擴(kuò)散原則;混沌參數(shù)和初值敏感性正好滿足密碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)的混亂原則[1].與傳統(tǒng)密碼相比,混沌密碼具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)、安全高效等特點(diǎn)[2],可構(gòu)建隨機(jī)數(shù)發(fā)生器[3]、流密碼[4]、分組加密[5]、公鑰加密[6]等方案,其中以流密碼的研究與應(yīng)用最為普遍[7,8].當(dāng)前對(duì)混沌流密碼的研究主要集中在多混沌系統(tǒng)互擾復(fù)合的方法[9],但最近有國(guó)內(nèi)學(xué)者提出了混沌流的隨機(jī)性和混沌映射弱密鑰的隨機(jī)性測(cè)量等問(wèn)題[10,11],說(shuō)明多混沌的復(fù)合未必能構(gòu)建隨機(jī)性更好的混沌密鑰流.因此,尋求傳統(tǒng)混沌與其他隨機(jī)模型互擾的復(fù)合方案或?qū)⒊蔀榱髅艽a研究突破的新方向.

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也是一種高度非線性的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),因此將混沌和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的研究也受到人們關(guān)注,形成了混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究分支[12],但目前尚未出現(xiàn)將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與混沌系統(tǒng)互擾構(gòu)建流密碼的研究成果.最近的研究表明,兩個(gè)權(quán)值不同、輸入同步的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型通過(guò)輸出位交互學(xué)習(xí),最終可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)權(quán)值向量的同步狀態(tài)[13],該權(quán)值同步可被利用在公開(kāi)信道上構(gòu)建密鑰協(xié)商方案,即雙方預(yù)先共享輸入向量且保持同步的隨機(jī)變化,則通過(guò)輸出位不斷更新各自的權(quán)值向量,最終可在有限步交互后實(shí)現(xiàn)權(quán)值向量的同步,將同步的權(quán)向量映射為會(huì)話密鑰即可完成通信雙方的密鑰協(xié)商[14].

我們稱(chēng)上述的權(quán)值同步神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為奇偶樹(shù)型機(jī)(tree parity machine,TPM).由分析知,兩個(gè)TPM輸入的動(dòng)態(tài)隨機(jī)性是實(shí)現(xiàn)兩個(gè)權(quán)值同步的基本保障[15],因此可將混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機(jī)序列引入作為T(mén)PM的輸入;另外,TPM在權(quán)值同步后,只要兩邊的輸入保持動(dòng)態(tài)變化,兩邊的權(quán)值也將動(dòng)態(tài)保持同步狀態(tài),因此已有研究提出了基于TPM同步權(quán)值映射的流密碼方案[16].

綜上所述,本文將研究一種TPM和混沌系統(tǒng)融合互擾的新型復(fù)合流密碼方案,即首先利用混沌映射產(chǎn)生的隨機(jī)序列作為T(mén)PM的輸入,當(dāng)實(shí)現(xiàn)TPM權(quán)值同步后,將同步權(quán)值映射為隨機(jī)序列與多個(gè)混沌系統(tǒng)復(fù)合,最終產(chǎn)生混合隨機(jī)的密鑰流.

2 新型復(fù)合流密碼方案

2.1 理論基礎(chǔ)知識(shí)

2.1.1 混沌映射模型

這里考慮一種常見(jiàn)的Logistics混沌系統(tǒng),其映射函數(shù)如下:

當(dāng)參數(shù)μ落在區(qū)間[3.56999456···,4]時(shí),Logistics映射的迭代值xn可進(jìn)入混沌態(tài).已有的研究已從理論和實(shí)驗(yàn)角度充分論證了Logistics映射用作隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的可行性及較線性反饋移位寄存器(LFSR)等傳統(tǒng)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的優(yōu)點(diǎn).Logistics映射通常將初始狀態(tài)x0作為密鑰,由于對(duì)初始值的敏感性,即使解密密鑰x只是與x0存在微小差異,迭代后產(chǎn)生的混沌序列也會(huì)明顯不同,從而保障流加密應(yīng)用的安全性.

Logistics映射只包括乘法和減法運(yùn)算,易于計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn).但由于計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理的精度有限,可能造成系統(tǒng)的混沌特性退化,因此多混沌復(fù)合是一種有效抵抗數(shù)字混沌特性退化的有效方法.例如,用兩個(gè)混沌系統(tǒng)作為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器,通過(guò)兩個(gè)系統(tǒng)的輸出決定最終的密鑰流輸出,或引入線性同余序列(LCS)與三個(gè)Logistics映射的組合方式,延長(zhǎng)混沌序列的周期等.

2.1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)互學(xué)習(xí)模型

記一個(gè)基本的單層神經(jīng)元的輸入向量X為在區(qū)間[0,1]上服從高斯分布的N維輸入向量,W為正交規(guī)范化的N維權(quán)向量,σ代表取值僅為+1或?1的神經(jīng)元輸出值.

記兩個(gè)交互學(xué)習(xí)的神經(jīng)元分別為A和B,則XA,XB和WA,WB分別代表A和B的輸入向量和權(quán)值向量.進(jìn)一步將權(quán)值的取值離散化在整數(shù)區(qū)間[?L,L]上(權(quán)值邊界L為一正整數(shù))、輸入向量的元素取值為+1或?1,并滿足每次交互學(xué)習(xí)后輸入向量都隨機(jī)變化但始終保持XA=XB,即保持同步隨機(jī)變化.兩個(gè)神經(jīng)元通過(guò)交換各自的輸出值實(shí)現(xiàn)交互學(xué)習(xí),目的是更新各自的權(quán)值向量(初始權(quán)向量由雙方各自隨機(jī)產(chǎn)生).權(quán)值更新規(guī)則如下:

權(quán)值更新的條件為:σA(t)=σB(t),且滿足:w=L(w＞L)或w=?L(w＜?L),其中w∈WA(B).

其中,輸出值為 +1或 ?1,依賴于權(quán)值向量和輸入向量?jī)?nèi)積的符號(hào)函數(shù),即σA(B)=這里的sign()函數(shù)定義為

下面給出TPM模型.TPM是在上述單層神經(jīng)元基礎(chǔ)上含多個(gè)隱藏單元的多層樹(shù)型神經(jīng)元復(fù)合網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)的最終輸出值由一個(gè)關(guān)于所有隱含層輸出值的函數(shù)確定,記τA(B)=K為隱含層個(gè)數(shù).

由于隱含層的輸出值只能取+1或?1,為了使TPM的輸出值也取+1或?1,可將輸出累積函數(shù) f設(shè)置為所有隱含層輸出值的乘積.因此,若假設(shè)TPM包含K個(gè)隱含單元,每個(gè)隱含單元擁有N維隨機(jī)輸入向量,記第k個(gè)單元的輸出為σk(t),則TPM最終的輸出值可表示如下:

進(jìn)一步,對(duì)K個(gè)隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種權(quán)值更新規(guī)則設(shè)置如下:

其中,

我們?cè)谖墨I(xiàn)[15]中詳細(xì)闡述了一種TPM交互學(xué)習(xí)權(quán)值同步模型.

2.2 TPM與混沌系統(tǒng)的互擾復(fù)合模型

考慮TPM工作時(shí)需要一個(gè)輸入隨機(jī)數(shù)發(fā)生器,可采用混沌映射產(chǎn)生的序列作為T(mén)PM輸入流,且混沌系統(tǒng)的軌道確定性可保證雙方隨機(jī)輸入的同步.更進(jìn)一步,為確保TPM輸入的隨機(jī)性,可采用具有多個(gè)不同初值的混沌映射分別作為T(mén)PM中多個(gè)隱含層的輸入序列發(fā)生器.因此,若采用參數(shù)為K,N,L的TPM,則需使用K個(gè)初始狀態(tài)不同的Logistics映射分別作為K個(gè)隱含層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的輸入源,兩個(gè)TPM交互學(xué)習(xí)達(dá)到權(quán)值同步后,將K個(gè)混沌映射復(fù)合后與TPM同步的權(quán)值互擾,最終形成隨機(jī)的混沌密鑰流.根據(jù)文獻(xiàn)[15]的分析結(jié)果,采取常用的K=3的TPM模型,則上述的流密碼系統(tǒng)整體結(jié)構(gòu)如圖1所示.

系統(tǒng)初始化時(shí),流密碼系統(tǒng)兩端分別為同參數(shù)結(jié)構(gòu)的TPM隨機(jī)生成兩個(gè)權(quán)值向量,兩邊分別利用同結(jié)構(gòu)的混沌映射為T(mén)PM產(chǎn)生相同的隨機(jī)輸入序列,同時(shí)執(zhí)行TPM交互學(xué)習(xí)過(guò)程,最終可實(shí)現(xiàn)雙方的權(quán)值同步.整個(gè)過(guò)程僅需交互傳輸TPM的若干輸出值,TPM的內(nèi)部輸入和內(nèi)部權(quán)值均不會(huì)在公開(kāi)的網(wǎng)絡(luò)信道中傳輸.利用系統(tǒng)兩邊同步的TPM權(quán)值,還可實(shí)現(xiàn)對(duì)兩邊各個(gè)混沌映射初始值的更新,以便產(chǎn)生新的動(dòng)態(tài)輸入序列,而基于動(dòng)態(tài)的TPM同步輸入序列,TPM也將保持同步權(quán)值的動(dòng)態(tài)更新.因此,圖1所示的混沌流密碼系統(tǒng)具備了密鑰管理功能,其中XOR表示隨機(jī)序列的異或操作.在實(shí)際應(yīng)用中,混沌映射的參數(shù)更新方式較為靈活,可根據(jù)定時(shí)間或定流量等方式具體確定.

圖1 基于TPM和多混沌映射互擾復(fù)合的流密碼系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)

圖2 三個(gè)Logistics映射和一個(gè)TPM復(fù)合的密鑰流生成器

三個(gè)Logistics映射和一個(gè)TPM同步權(quán)值向量的互擾復(fù)合密鑰流結(jié)構(gòu)如圖2所示.顯然,K=3的TPM模型的權(quán)值向量元素個(gè)數(shù)為3N,則通過(guò)對(duì)各個(gè)權(quán)值的累積和施行sign()函數(shù)后,與三個(gè)Logistics映射產(chǎn)生的迭代值xi在異或作用下生成密鑰流序列Ki.對(duì)于每個(gè)Logistics映射每次產(chǎn)生一個(gè)新的迭代值,兩邊同步的TPM權(quán)值將相應(yīng)更新,最終在互擾復(fù)合的方式下將不斷產(chǎn)生新的密鑰序列.

3 性能測(cè)試與效果分析

3.1 TPM權(quán)值同步的性能測(cè)試

TPM交互學(xué)習(xí)達(dá)到權(quán)值同步依賴于輸入的隨機(jī)性,下面分析TPM輸入的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器采用混沌序列和常見(jiàn)的LFSR兩種情況下的權(quán)值同步性能.選定TPM參數(shù)N=100,K=3,L=3,分別用LSFR和Logistics映射作為輸入向量的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器(分別記為T(mén)PMFSR和TPMChaos).考察兩種情況下實(shí)現(xiàn)TPM權(quán)值同步所需的平均交互次數(shù),每次權(quán)值同步的實(shí)驗(yàn)執(zhí)行1000次取平均值,15次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的權(quán)值同步平均交互次數(shù)如圖3所示.

圖3 基于不同隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的TPM權(quán)值同步所需的平均交互次數(shù)

3.2 互擾復(fù)合序列的隨機(jī)性測(cè)試

在由圖2結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的TPM混沌序列中隨機(jī)選取長(zhǎng)度為10000 bit的若干不同子序列,統(tǒng)計(jì)子序列中所有比特位上1的個(gè)數(shù),24次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示.可以看到,序列中每個(gè)比特位上0和1出現(xiàn)的概率均接近50%,滿足偽隨機(jī)序列的最基本要求.

表1 混沌隨機(jī)子序列中1出現(xiàn)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)表

美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所(NIST)制定了一整套序列隨機(jī)性檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)[17],其中的測(cè)試從不同角度對(duì)待測(cè)序列與理想隨機(jī)序列的偏離程度做出評(píng)估.本文選取如下幾項(xiàng)測(cè)試指標(biāo).

1)單比特頻度測(cè)試(frequency monobit test):測(cè)試整個(gè)序列中0和1各自的比例,判斷其與理想隨機(jī)序列的偏差.

2)累積和測(cè)試(cumulative sums test):測(cè)試子序列的累積和的最大值與理想隨機(jī)序列的偏離程度.子序列的累積和通過(guò)修正后的(?1,1)序列計(jì)算得到,測(cè)試分為前向(forward)和后向(backward)兩種.

3)游程測(cè)試(runs test):測(cè)試序列中的游程(連續(xù)的0和1的長(zhǎng)度)的總數(shù),判斷其與理想隨機(jī)序列的偏差.

4)離散傅里葉變化測(cè)試(discrete fourier transform spectral test):測(cè)試序列傅里葉變化的峰值,檢測(cè)其周期特性與理想隨機(jī)序列的偏離程度.

5)近似熵測(cè)試(approximate entropy test):測(cè)試兩個(gè)相鄰長(zhǎng)度的子序列發(fā)生重疊的概率,近似熵是一種判斷序列復(fù)雜度大小的準(zhǔn)則.

所有測(cè)試從待測(cè)序列中抽取一段子序列,根據(jù)不同測(cè)試計(jì)算出一個(gè)相應(yīng)的p值,當(dāng)p≥α?xí)r,認(rèn)為序列通過(guò)隨機(jī)性檢測(cè),其中α為顯著水平,NIST測(cè)試套件中的默認(rèn)值為0.01.

本文選取了單個(gè)的Logistics映射(記為L(zhǎng)og),三個(gè)Logistics映射的異或疊加(記為3Log),文獻(xiàn)[18]提出的三個(gè)Logistics映射與一個(gè)線性同余式的組合(記為L(zhǎng)CS3Log),以及本文提出的三個(gè)Logistics映射和一個(gè)TPM的組合(記為T(mén)PM3Log),分別產(chǎn)生一段100 Mbit的序列作為測(cè)試源.測(cè)試選取的隨機(jī)子序列長(zhǎng)度為1 Mbit.測(cè)試結(jié)果如表2所示.

表2 各種混沌密鑰流的隨機(jī)子序列p值檢測(cè)結(jié)果對(duì)比

測(cè)試結(jié)果表明,使用單個(gè)Logistics映射所產(chǎn)生的序列難以滿足較高的隨機(jī)性要求,而本文提出的TPM3Log方案通過(guò)了所有測(cè)試,產(chǎn)生的序列具有較好的隨機(jī)性,另外兩種方案同樣通過(guò)了測(cè)試.

對(duì)通過(guò)上述測(cè)試的三種方案,進(jìn)一步隨機(jī)選取100段子序列重復(fù)測(cè)試,測(cè)試結(jié)果如表3.表中的p值表征子序列的p值分布,通過(guò)測(cè)試的下限值為0.0001,通過(guò)比率是指100個(gè)子序列中通過(guò)p值檢驗(yàn)的序列個(gè)數(shù),理想值大于96.

表3 各種混沌密鑰流中100段子序列p值分布檢測(cè)結(jié)果對(duì)比

根據(jù)文獻(xiàn)[17]提出的兩種經(jīng)驗(yàn)主義判斷準(zhǔn)則,對(duì)于一個(gè)理想隨機(jī)序列,其子序列測(cè)得的p值除了應(yīng)滿足一定的通過(guò)率外,還要在[0,1]區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)均勻分布.由表3的測(cè)試結(jié)果表明,LCS3Log與TPM3Log兩種方案下的序列隨機(jī)性明顯優(yōu)于簡(jiǎn)單的Logistics疊加(3Log),而在大多數(shù)情況下,本文提出的TPM3Log所產(chǎn)生的序列具有更好的p值分布特性.

3.3 圖像流加密應(yīng)用效果

下面給出用TPM3Log產(chǎn)生的密鑰流對(duì)圖像加解密的應(yīng)用實(shí)例分析.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖4所示,密鑰流發(fā)生器根據(jù)密鑰K產(chǎn)生隨機(jī)序列Keystream,原始圖像P通過(guò)Keystream序列加密后產(chǎn)生密文C,接收端首先由K′產(chǎn)生隨機(jī)序列Keystream′,并對(duì)收到的密文C′進(jìn)行解密.其中的加解密過(guò)程均為異或操作,當(dāng)且僅當(dāng)雙方的密鑰相等,即K=K′時(shí),圖像才能被正確解密恢復(fù).

圖4 基于混沌流密碼的圖像加密應(yīng)用系統(tǒng)示意圖

加密選取的原始圖像如圖5(a)所示.為消除初始混沌過(guò)渡態(tài)的影響,選取迭代10000次后的TPM3Log序列值作為圖像加解密的密鑰流序列,得到加解密結(jié)果如圖5(b)和(c)所示.此外,將解密密鑰最低比特位取反,即對(duì)密鑰進(jìn)行微小變動(dòng),得到錯(cuò)誤解密結(jié)果如圖5(d)所示,體現(xiàn)了流密碼應(yīng)用系統(tǒng)對(duì)初始密鑰的極端敏感性,即任何微小錯(cuò)誤的密鑰都會(huì)導(dǎo)致圖像的大規(guī)模恢復(fù)失敗,且攻擊者無(wú)法從錯(cuò)誤圖像中獲取原始圖像的必要信息.

通過(guò)比對(duì)原始圖像及加密后圖像的灰度直方圖(圖6(a)和(b))發(fā)現(xiàn),經(jīng)過(guò)TPM3Log序列加密后,圖像的各像素點(diǎn)在灰度值上分布更為均勻,說(shuō)明該流加密應(yīng)用系統(tǒng)可極好地掩蓋原始圖像的灰度統(tǒng)計(jì)信息.

4 結(jié)論

在實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域,多混沌系統(tǒng)的互擾復(fù)合流密碼是一種加強(qiáng)流密鑰安全性的常用方法.本文將TPM新型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)互學(xué)習(xí)模型引入到多混沌復(fù)合的流密碼系統(tǒng)中,具體將三個(gè)Logistics映射產(chǎn)生的混沌序列分別作為包含三個(gè)隱含層神經(jīng)元的TPM的隨機(jī)輸入,兩邊的TPM根據(jù)輸出值經(jīng)若干次交互學(xué)習(xí)且不斷更新權(quán)值后,可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)內(nèi)部權(quán)值向量的同步,將同步的權(quán)值做映射處理后即可形成一個(gè)新型的隨機(jī)序列發(fā)生器,最終將上述一個(gè)TPM同步權(quán)值產(chǎn)生的隨機(jī)序列和三個(gè)Logistics映射產(chǎn)生的混沌序列復(fù)合,構(gòu)成一個(gè)新的流密鑰發(fā)生器.實(shí)驗(yàn)分析表明,新的流密鑰比一般的多混沌復(fù)合流密鑰具有更好的隨機(jī)性,應(yīng)用于數(shù)字圖像加密[19?22]效果好.

事實(shí)上,混沌同步保密通訊系統(tǒng)還面臨相空間重構(gòu)、混沌信號(hào)流回歸分析、同構(gòu)混沌系統(tǒng)廣義同步等攻擊[23?25].本文提出的混沌流密碼通過(guò)兩個(gè)操作增強(qiáng)了安全性:1)采用多混沌序列和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步序列的混合;2)支持混沌初始參數(shù)的動(dòng)態(tài)更新.多個(gè)Logistics映射序列與TPM混合產(chǎn)生的混沌密鑰流可有效抵抗相空間重構(gòu)等方法對(duì)同步混沌信號(hào)的直接提取攻擊,同時(shí)可消除混沌特性的數(shù)字退化問(wèn)題;利用TPM同步的權(quán)值實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)Logistics映射的參數(shù)更新則可有效增強(qiáng)對(duì)混沌系統(tǒng)初始參數(shù)的猜測(cè)攻擊難度,據(jù)此還可進(jìn)一步研究動(dòng)態(tài)的密鑰管理方案,使新型的混沌流密碼更具有實(shí)用價(jià)值.

圖5 圖像加解密結(jié)果 (a)原始圖像;(b)加密后圖像;(c)正確解密圖像;(d)錯(cuò)誤解密圖像

圖6 圖像灰度值統(tǒng)計(jì)特性 (a)原始圖像灰度直方圖;(b)加密后圖像灰度直方圖

[1]Alvarez G,Li S 2006 Int.J.Bifurcat.Chaos 16 2129

[2]Dachselt F,Schwarz W 2001 IEEE Trans.Circ.Syst.I 48 14

[3]Stojanovski T,Kocarev L 2001 IEEE Trans.Circ.Syst.I 48 281

[4]Li S,Mou X,Cai Y 2001 Second International Conference on Cryptology in India,Chennai,India,December 16–20,2001 p316

[5]Xu S J,Wang J Z 2008 Acta Phys.Sin.57 37(in Chinese)[徐淑獎(jiǎng),王繼志2008物理學(xué)報(bào)57 37]

[6]Ariffi n M,Abu N 2009 Int.J.Crypt.Res.1 1490163

[7]Li W,Hao JH,Qi B 2008 Acta Phys.Sin.57 1398(in Chinese)[李偉,郝建紅,祁兵2008物理學(xué)報(bào)57 1398]

[8]David A,Gonzalo A,Li S 2011 Commun.Nonlinear Sci.16 805

[9]Xiang F,Qiu S S 2008 Acta Phys.Sin.57 6132(in Chinese)[向菲,丘水生2008物理學(xué)報(bào)57 6132]

[10]Chen X J,Li Z,Cai J P,Bai B M 2011 Acta Phys.Sin.60 064215(in Chinese)[陳小軍,李贊,蔡覺(jué)平,白寶明2011物理學(xué)報(bào)60 064215]

[11]Yin R M,Yuan J,Shan X M 2011 Sci.China Informat.41 777(in Chinese)[尹汝明,袁堅(jiān),山秀明2011中國(guó)科學(xué):信息科學(xué)41 777]

[12]Aihara1 K,Takabe T,Toyoda M 1990 Phys.Lett.A 144 333

[13]Wolfgang K,Kanter I 2002 Solid State Phys.42 383

[14]Chen T M,Cai J M,Ma S L 2011 China Commun.8 118

[15]Chen T M,Huang S H,Liu D,Cai JM 2009 J.Comput.Res.Develop.46 1316(in Chinese)[陳鐵明,Samuel H Huang,劉多,蔡家楣2009計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展46 1316]

[16]Markus V,Sebastian W 2005 IACR Cryptology ePrint Archive 2005 232

[17]Rukhin A,Soto J,Nechvatal J 2001 NIST Special Publication 800-22 13

[18]Chen S,Zhong X,Wu Z 2008 Sci.China F Informat.Sci.51 1055

[19]Wang Z,Huang X,Li N,Song X N 2012 Chin.Phys.B 21 050506

[20]Yuen C H,Wong K W 2012 Chin.Phys.B 21 010502

[21]Sun F,L¨u Z W 2011 Chin.Phys.B 20 040506

[22]Zhu C X,Sun K H 2012 Acta Phys.Sin.61 120503(in Chinese)[朱從旭,孫克輝2012物理學(xué)報(bào)61 120503]

[23]Perez G,Cerdeira H 1995 Phys.Rev.Lett.74 1970

[24]Wang X,Zhan M,Lai C H,Gang H 2004 Chaos 14 128

[25]Wang X Y,Xie Y X,Qin X 2012 Chin.Phys.B 21 040504