杜青香,曾春娜

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

非齊次線性方程組解集的結(jié)構(gòu)

杜青香,曾春娜

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

首先給出了有無(wú)窮多解的非齊次線性方程組的解集存在線性無(wú)關(guān)的生成元，然后給出了非齊線性方程組解集的另一表達(dá)形式，最后進(jìn)一步研究了非齊次線性方程組解集的結(jié)構(gòu).

線性無(wú)關(guān)；基礎(chǔ)解系；生成元；秩

引理1 齊次線性方程組(I)AX=0的解集M是Fn的子空間，稱之為(I)的解空間，并且AX=0存在的n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量ξ1,ξ2,…,ξn-r，使(I)的解集ξ1,ξ2,…,ξn-r可表示為：

n-rM=L(ξ1,ξ2,…,ξn-r)={k1ξ1+…+kn-rξn-r|k1,k2,…,kn-r∈F}，

則稱ξ1,ξ2,…,ξn-r為齊次線性方程組(I)的一組基礎(chǔ)解系，并且(I)的任意n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量是基礎(chǔ)解系.

M={ξ+k1ξ1+…+kn-rξn-r|k1,k2,…,kn-r∈F}，

其中ξ為AX=b的一個(gè)特解，ξ1,ξ2,…,ξn-r為導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系[2].

知道非齊次線性方程組AX=b對(duì)線性運(yùn)算不封閉且解集不含零向量，從而不可能是Fn的子空間，但仍希望非齊次線性方程組AX=b能像AX=0一樣有一組線性無(wú)關(guān)的解向量，使得AX=b的任意解都能用這組解進(jìn)行線性表示.

1 非齊次方程組解集的結(jié)構(gòu)

定理1 設(shè)AX=b的一個(gè)解為η*，導(dǎo)出組AX=0的任意一組基礎(chǔ)解系為ξ1,ξ2,…,ξn-r，則η*+ξ1,η*+ξ2,…,η*+ξn-r,η*是AX=b的線性無(wú)關(guān)的解向量[3].

定理2 假設(shè)AX=b存在無(wú)窮多解，則存在非齊次線性方程組(II)的n-r+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量k1(η*+ξ1)+…+kn-r(η*+ξn-r)+kη*=0，使(II)的其他解能唯一確定為：

η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，

這里ki∈p,i=1,2,…,n-r+1,η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1.

證明設(shè)η*+ξ1,…,η*+ηn+1,η*是齊次線性方程組(I)的一組基礎(chǔ)解系，η*是非齊次線性方程組(II)的一個(gè)特解.

令η1=ξ1+η*,…,ηn-r=ξn-r+η*,ηn-r+1=η*，根據(jù)我們的定理1：k1(η*+ξ1)+…+kn-r(η*+ξn-r)+kη*=0是(II)的n-r+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，設(shè)η是(II)的任意解，根據(jù)引理2：

η=k1ξ1+…+kn-rξn-r+η*=k1(ξ1+η*)+…+kn-r(ξn-r+η*)+(1-k1+…-kn-r)η*

η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1, 這里η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1.

因解向量η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1是線性無(wú)關(guān)組，如果η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1可以線性表示解集η，則η是由η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1唯一表示.

定義1 假設(shè)η1,η2,…,ηs是AX=b的一組解，如果非齊次線性方程組AX=b的任意解ξ能夠用η1,η2,…,ηs線性表示，則稱η1,η2,…,ηs為非齊次線性方程組AX=b解集M的一組生成元[4-5].

定理3 設(shè)AX=b存在無(wú)窮多解，則非齊次線性方程組 (II)的解集M存在線性無(wú)關(guān)的向量組η1,η2,…,ηs構(gòu)成的生成元，使得M={k1η1+k2η2+…+kn-r+1ηn-r+1|k1,k2,…,kn-r+1∈F,k1+…+kn-r+1=1.

證明根據(jù)前面的定理2，則存在非齊次線性方程組(II)的n-r+1個(gè)解向量η1,η2,…,ηs,使得?η∈M,得到

η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，這里η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，并且η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1.

反之,假設(shè)η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，容易知道η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1仍為非齊次線性方程組(II)的解，所以η∈M.

因此M={k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1|k1,…,kn-r+1∈F,k1+…+kn-r+1=1.

定理4 設(shè)AX=b存在無(wú)窮多解，則非齊次線性方程組(II)的解集M的任意線性無(wú)關(guān)的生成元所含向量的個(gè)數(shù)必為n-r+1[6].

證明假設(shè)ξ1,ξ2,…,ξs為AX=b的解集的任意一組線性無(wú)關(guān)的生成元，則ξ1,ξ2,…,ξs與η1,η2,…,ηs兩個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組是等價(jià)的，所以s=n-r+1.

2 齊次線性方程組與非齊次線性方程組解集的區(qū)別

齊次線性方程組的解向量是n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，而非齊次線性方程組的解向量是n-r+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，它由非齊次特解和齊次方程的基礎(chǔ)解系構(gòu)成，并且非齊次線性方程組的任意n-r+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量并不一定是解集的生成元.但是任意兩個(gè)非齊次特解之差總是齊次方程的解[7].

接下來(lái)舉例說(shuō)明：非齊次線性方程組AX=b有含n-r+1線性無(wú)關(guān)的解向量作成的生成元，但并不是它的任意n-r+1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量都是解集的生成元.

例1 給出非齊次線性方程組(III)如下：

M={k1η1+k2η2}.

[1] 張禾瑞,郝邴新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2002.

[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].4版.北京:高等教育出版社，2003.

[3] 白述偉.高等代數(shù)選講[M].哈爾濱:黑龍江教育出版社，1996.

[4] 夏富泰.非齊次線性方程組解集的結(jié)構(gòu)[J].邵陽(yáng)師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1999，21(2)：57-58.

[5] 郭泰祥.非齊次線性方程組解的性質(zhì)[J].邵陽(yáng)高專學(xué)報(bào)，1995，8(1)：5-6.

[6] 北京大學(xué)力學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：人民教育出版社，1978.

[7] 王文成.向量線性相關(guān)性的判定[J].西安郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,11(5):129-131.

OnStructureofSolutionSetofNonhomogeneousLinearEquations

DU Qing-xiang,ZENG Chun-na

(College of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing,401331,China)

This paper first gives the linearly independent generators for the solution set of non-homogeneous linear equations with infinitely many solutions,then presents another form of expression for the solution set of non-homogeneous linear equations,and finally studies the structure of the solution set of non-homogeneous linear equations.

linear independence;basic set of solutions;generator; rank

2013-04-13.

重慶市教委項(xiàng)目(KJ130614);重慶師范大學(xué)項(xiàng)目(12XLB026).

杜清香(1989- )，女，碩士生，主要從事最優(yōu)化理論與應(yīng)用的研究.

0151

A

1008-8423(2013)02-0179-03