孫曉嶺，楊麗蕓，鮑冬冬，仇計(jì)清

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的魯棒H∞穩(wěn)定性分析

孫曉嶺，楊麗蕓，鮑冬冬，仇計(jì)清

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

考慮控制器和執(zhí)行器事件驅(qū)動(dòng)、傳感器時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)、恒定周期采樣和不大于一個(gè)采樣周期的不確定時(shí)延, 將有控制約束的狀態(tài)反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為含有不確定性的離散時(shí)變系統(tǒng)。利用Lyapunov理論和線性矩陣不等式方法，導(dǎo)出系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件。利用 Matlab LMI工具箱求解該條件,可在判定該類系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)，獲得系統(tǒng)魯棒控制律,仿真算例說明了分析方法和穩(wěn)定判據(jù)的有效性。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；魯棒穩(wěn)定性；線性矩陣不等式；不確定時(shí)延；控制約束

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱NCS)由控制器與傳感器通過串行通信線路形成閉環(huán)。在控制系統(tǒng)中，除了控制器、執(zhí)行器以及被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和特性外，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)之間最大的區(qū)別在于系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)類型、結(jié)構(gòu)以及所提供服務(wù)類型的不同[1-5]。

NCS在通過共享網(wǎng)絡(luò)資源給控制系統(tǒng)帶來各種好處的同時(shí)，也給控制系統(tǒng)帶來了新的挑戰(zhàn)。將通訊網(wǎng)絡(luò)引入到控制系統(tǒng)中，使系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制的分析與設(shè)計(jì)比傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)控制系統(tǒng)更加復(fù)雜[6-7]。主要問題包括:通信媒體類型及通信協(xié)議、節(jié)點(diǎn)驅(qū)動(dòng)方式、網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、單包傳輸和多報(bào)傳輸、數(shù)據(jù)包丟失、網(wǎng)絡(luò)調(diào)度等[8-10]。

由于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)存在上述不確定因素，采用魯棒控制方法對(duì)其進(jìn)行控制有顯著意義[11-14]，故本文主要研究的是帶有時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)。

1 主要研究?jī)?nèi)容

1.1網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時(shí)延分析

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制時(shí)延示意圖Fig.1 Time delay control diagram

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，在系統(tǒng)建模時(shí)，一般將時(shí)延考慮成以下3種形式:常數(shù)時(shí)延、有界時(shí)延和隨機(jī)時(shí)延。

網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延包括傳感器到控制器之間的時(shí)延、控制器的計(jì)算時(shí)延、控制器到執(zhí)行器的時(shí)延等。其構(gòu)成主要有以下4個(gè)因素:數(shù)據(jù)包排隊(duì)等待時(shí)延，信息產(chǎn)生時(shí)延，傳輸時(shí)延，數(shù)據(jù)處理、計(jì)算時(shí)延。

以上4種時(shí)延構(gòu)成了網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的主要部分。

在受到外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)延情況如圖1所示。

1.2網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

控制系統(tǒng)部件有時(shí)間驅(qū)動(dòng)和事件驅(qū)動(dòng)2種工作模式。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，傳感器的工作方式采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)，而控制器節(jié)點(diǎn)和執(zhí)行器節(jié)點(diǎn)采用何種工作模式將根據(jù)情況而定。

(1)

(2)

對(duì)系統(tǒng)做如下假設(shè)：

1)傳感器節(jié)點(diǎn)采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)，以固定的周期T(T>0)對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行采樣，并將數(shù)據(jù)(被控對(duì)象的狀態(tài)量和輸出量)存放在單個(gè)數(shù)據(jù)包中發(fā)送到網(wǎng)絡(luò)；

2)控制器節(jié)點(diǎn)采用事件驅(qū)動(dòng)，采樣數(shù)據(jù)到達(dá)時(shí)刻，計(jì)算控制量并輸出；

3)執(zhí)行器節(jié)點(diǎn)也采用事件驅(qū)動(dòng)，控制量到達(dá)時(shí)刻，執(zhí)行相應(yīng)的動(dòng)作；

5)所有外部擾動(dòng)都是能量有限的，即滿足w(k)∈L2[0,∞)。

圖2 H∞控制問題的標(biāo)準(zhǔn)框圖Fig.2 Standard block diagram of H∞ control

則由圖2確定的系統(tǒng)描述為

(3)

式中：x(t)為被控對(duì)象狀態(tài)；u(t)為對(duì)象輸入；y(t) 為對(duì)象輸出；A,B是常數(shù)矩陣。為簡(jiǎn)單起見，記x(k)=x(kT)，其中T是系統(tǒng)的采樣周期。

系統(tǒng)的輸入為

(4)

將被控對(duì)象進(jìn)行離散化可得：

(5)

因?yàn)槭?5)中存在2個(gè)時(shí)變矩陣，為便于以后的控制器設(shè)計(jì)需對(duì)式(5)進(jìn)行化簡(jiǎn)。化簡(jiǎn)結(jié)果為

(6)

其中：

(7)

Λ為A的特征向量矩陣。

另外，

(8)

其中：

(9)

1.3網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)

標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題的基本框圖如圖2所示，其中G和K分別為廣義控制對(duì)象和控制器，前者是系統(tǒng)中給定的部分，后者是需要進(jìn)行設(shè)計(jì)的。在這里，考慮有限維的線性時(shí)不變系統(tǒng)和控制器，外部輸入w、控制輸入u、被控制的輸出z和被測(cè)量的輸出y均是向量信號(hào)。

根據(jù)模型推導(dǎo)，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞控制采用的控制框圖如圖3所示。

圖3 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)H∞控制框圖Fig.3 Control of H∞ in net control system

基于圖3所示的控制框圖，本文采用的控制方式是狀態(tài)反饋控制：u(k)=Kx(k)。

引入狀態(tài)反饋后相應(yīng)的系統(tǒng)發(fā)生變化，對(duì)給定的正常數(shù)γ>0，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制器u(k)=Kx(k)的作用下，使得：

1)閉環(huán)控制系統(tǒng)在w(k)=0時(shí)魯棒漸近穩(wěn)定；

2)在零初始條件下，外部擾動(dòng)w(k)和被調(diào)輸出z(k)滿足H∞范數(shù)約束條件:

‖z(k)‖2≤γ‖w(k)‖2，

則稱系統(tǒng)是具有穩(wěn)定H∞范數(shù)界γ魯棒可靠穩(wěn)定的，稱閉環(huán)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定魯棒可靠控制系統(tǒng)，稱控制器為系統(tǒng)的γ-次優(yōu)H∞控制器。

可以證明對(duì)給定的常數(shù)γ>0，如果存在一個(gè)正標(biāo)量ε>0,矩陣W，以及對(duì)稱正定矩陣X,Y，使得以下線性矩陣不等式：

(10)

成立，則狀態(tài)反饋控制器u(k)=Kx(k)，K=wX-1是系統(tǒng)的γ-次優(yōu)H∞保性能控制器。

針對(duì)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)和性能指標(biāo)，魯棒控制器的設(shè)計(jì)問題可轉(zhuǎn)化成下面的優(yōu)化問題：

minα，其中X>0,T>0,ε1>0,ε2>0,

如果其有解，那么上面得到的控制器是系統(tǒng)的次優(yōu)保性能控制器，其保性能指標(biāo)為J*=α。 下面給出仿真算例。

設(shè)考慮下面的被控對(duì)象：

(11)

設(shè)采樣周期為T=10 ms，α1=0,α2=0，則系統(tǒng)的離散化模型為

(12)

假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

(13)

將性能指標(biāo)中的加權(quán)矩陣分別取為

(14)

圖4 系統(tǒng)的狀態(tài)反應(yīng)曲線圖Fig.4 Response curve of the system

取γ=3.18。利用MATLAB的LMI工具箱解得的一個(gè)系統(tǒng)最優(yōu)解為

W=[-0.061 9 -0.003 3],α=13.019 3。

因此，狀態(tài)反饋控制器的增益為

K=WX-1=[-0.502 8 -0.032 0],

可保證的性能指標(biāo)為

J*=α=13.013 9,

并可作出系統(tǒng)的狀態(tài)相應(yīng)曲線，如圖4所示。

由圖4可見，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2 結(jié) 語

由于在網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟失等現(xiàn)象，并且針對(duì)這些特點(diǎn)，所面對(duì)的問題進(jìn)行詳細(xì)分析，鑒于此，本研究采用以時(shí)間驅(qū)動(dòng)為工作方式，構(gòu)建PROFIBO與OP總線建立其數(shù)據(jù)模型。由于時(shí)延帶來的建模問題并建立。進(jìn)而根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出了γ-次優(yōu)H∞保性能控制器。最后結(jié)合一個(gè)典型特例給出了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)魯棒控制器的具體設(shè)計(jì)方法和仿真結(jié)果。從仿真結(jié)果來看，達(dá)到了系統(tǒng)的魯棒性要求和性能要求，同時(shí)驗(yàn)證了所提方法的可行性。

/

[1] 杜昭平，張慶靈，劉麗麗. 具有時(shí)延及數(shù)據(jù)包丟失的廣義網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009, 30(1): 17-20.

DU Zhaoping,ZHANG Qingling,LIU Lili.With delay and data packet dropout stability of singular networked control system[J].Journal of Northeastern University ( Natural Science Edition ),2009, 30(1): 17-20.

[2] WANG Y， XIE L , DE SOUZA C E．Robust control of a class of uncertain nolinear systems[J]．Systems & Control Letters，1992，19：139-149．

[3] 王 鵬.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒控制研究[D].西安：長(zhǎng)安大學(xué)，2009.

WANG Peng.Network Control System Robust Control on Master's Thesis[D]. Xi′an：Chang′an University, 2009.

[4] XU S Y， LAM J ，CHEN T W. RobustH∞control for uncertain discrete stochastic time-delay systems [J]. Systems & Control Letters，2004，51：203-215．

[5] 馬衛(wèi)國，邵 誠.具有長(zhǎng)時(shí)延及丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[J].控制與決策，2007,22(1):21-24.

MA Weiguo.SHAO Cheng.With long transmission delay and packet loss stability analysis of networked control systems [J]. Control and Decision, 2007,22(1): 21-24.

[6] CAO Y Y ，LAM J．Stochastic stability andH∞control for discrete-time jump linear systems with time delay[J]．Journal of the Franklin Institute，1999，336：1 263-1 281.

[7] 朱曉丹，蘇連青，趙彥春.時(shí)滯相關(guān)的非線性廣義系統(tǒng)的保性能控制[J].河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2010,31(3)：187-191.

ZHU Xiaodan,SUN Lianqing,ZHAO Yanchun.Guaranteed cost control for delay-dependent nonlinear singular systems[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2010,31(3)：187-191.

[8] CHANGSS L P. Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameter[J].IEEE Trans on Automatic Control, 1972, 17(4): 474-483.

[9] GAO Zhiwei, DANIELWC H . State noise estimator for descriptor systems with application to sensor fault diagnosis[ J] . Sub Mission for IEEE TSP, 2006, 54(4): 1 316-1 326.

[10] BERSTEIND S, HADDADW M. Robust st ability and performance via fixed order dynamical compensation with guaranteed cost bounds[J]. Math Control Singular Systems,1990, 3(2): 139-163.

[11] YU Li, CHU Jian. An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systems[J]. Automatic, 1999, 35: 1 155-1 159.

[12] XU Shengyuan, PAULV D, RADU S, et al. Robust stability and stabilization for singular systems with state delay and parameter uncertainty[J] . IEEE Trans on Automatic Control,2002, 47(7) : 1 122-1 128.

[13] XU Shengyuan, JAMES L, ZHANG Liqian. Robust D-stability analysis for uncertain discrete singular systems with state delay[J]. IEEE Trans on Circuits and Systems: Fundamental Theory and Applications, 2002, 49(4): 551-555.

[14] 王菊芳，禹長(zhǎng)龍，仇計(jì)清. 一類多時(shí)滯確定系統(tǒng)的非脆弱保成本控制[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2010,31(6):487-491.

WANG Jufang,YU Changlong, QIU Jiqing. A kind of non-fragile guaranteed cost control problem for multi-delay uncertain systems[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2010,31(6):487-491.

[15] SALVATORE G, MASAHIRO I,ROMAN S.Fuzzy rough sets and multiple-premise gradual decision rules[J].Int J of Apporximate Reasonsing,2006,41(2):179-211.

[16] KIM J H.Delay-dependent robustH∞filtering for unceratin discrete time singular systems with interval time-varying delay[J].Automatic,2010,46(3):591-597.

[17] QIU Jiqing WANG Yanjun, DU Xiaoming,et al.Robust gudranteed cost control of nolinear unceratin time-varying delay system[J].Machine Learning and Cybernetics (ICNLC),2010,2:969-974.

[18] ZHANG Liqian,JAMES L,XU Shengyuan.On positive realness of descriptor systems circuits and systems I:Fundamental theory and applications[J]. IEEE Transactions,2002,49(3):401-407.

Analysis of robustH∞stability for time delay network control system

SUN Xiaoling， YANG Liyun， BAO Dongdong， QIU Jiqing

(School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China)

This paper considers the event driven of controller and actuator, clock-driven of sensors, constant sampling period and less than one sampling period of uncertain time delay, and changes state feedback network control system with state constrained to uncertain discrete time varying system. It uses Lyapunov theory and linear matrix inequality method to obtain the necessary and sufficient conditions of robust stability. By using the Matlab LMI toolbox to solve the condition, the system stability can be determined, and the system robust control law can also be obtained. Simulation example proves the effect of the analysis method and stability criterion.

network control system; robust stability; linear matrix inequality; uncertain delay; control constraints

1008-1542(2013)04-0297-05

10.7535/hbkd.2013yx04007

O231MSC(2010)主題分類93D05

A

2013-02-27；

2013-03-26；責(zé)任編輯：張 軍

孫曉嶺(1986-)，男，河北邯鄲人，碩士，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)中優(yōu)化控制方面的研究。

E-mail:779821086@qq.com