王明孝，張之孔

（68029部隊，甘肅 蘭州 730020）

GPS測量已經(jīng)成為常規(guī)測量的一種主要方式，但是GPS測量的高程是WGS－84坐標系下的大地高H大，表示的是該點至參考橢球面的鉛垂距離。但是在實際工程應(yīng)用中采用的是正常高程系下的正常高H正，即該點至似大地水準面的鉛垂距離。因此，為便于工程應(yīng)用，將大地高轉(zhuǎn)換成正常高就成了現(xiàn)實工作的需要。地面點的大地高H大和H正之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中：ζ表示似大地水準面至參考橢球面的高差，稱為高程異常。顯然要求取正常高就必須測定高程異常值ζ。目前，常用的用于高程轉(zhuǎn)換的方法有很多。而通過擬合獲取高程異常的方法已得到廣泛應(yīng)用，但是任何單一的擬合模型都具有一定的缺點，本文采用加權(quán)二次曲面擬合和曲面函數(shù)擬合2種模型對控制點的高程異常分別進行擬合，再以LINGO軟件為工具，加入約束條件，同時賦予這2種擬合模型不同的權(quán)重，通過線性規(guī)劃求解各模型的權(quán)重，從而組成新的擬合模型，再對控制點高程進行重新擬合，得到更為科學(xué)準確的擬合結(jié)果。

1 加權(quán)二次曲面高程擬合

1.1 常規(guī)二次曲面擬合

二次曲面擬合的數(shù)學(xué)模型為

式中：x，y分別為點的高斯平面坐標，a0，…，a5為擬合系數(shù)。

由式（2）可知，二次曲面方程有6個待定系數(shù)，因此，至少需要6個高程異常已知點才能進行計算。二次曲面擬合模型是將高程異常近似看作一定區(qū)域內(nèi)各點坐標的曲面函數(shù)，用已聯(lián)測水準的GPS點的平面坐標和高程異常來擬合這一函數(shù)［1］。

1.2 加權(quán)二次曲面擬合

如果加入未知點到已知點的距離倒數(shù)平方這個值作為評價各已知點對整個模型的貢獻度，即進行定權(quán)，求出函數(shù)的擬合系數(shù)，進而確定一定區(qū)域高程異常與點的平面坐標的函數(shù)關(guān)系，這就是加權(quán)二次曲面擬合。其基本思想是：以待求點為計算中心，取擬合半徑內(nèi)的已聯(lián)測點到中心點的距離的平方倒數(shù)為該已聯(lián)測點的權(quán)，即離待求點越近權(quán)值越大，反之亦然。利用這個擬合函數(shù)擬合得到待測點的高程異常，從而求出該點的正常高［2］。因此，加權(quán)二次曲面擬合是對二次曲面擬合模型的進一步優(yōu)化，設(shè)待擬合點的坐標為（xp，yp），則已聯(lián)測點原坐標（xi，yi）簡化為相對坐標）的公式為

假設(shè)參與擬合的點數(shù)為n，可列出誤差方程

表示成矩陣形式為

式中：V＝［v1v2…vn］T為改正數(shù)向量，A＝［a0a1a2a3a4a5］T為擬合系數(shù)向量，ζ為高程異常值向量，系數(shù)矩陣

引入距離定權(quán)，聯(lián)測點（xp，yp）的權(quán)值為

則擬合半徑內(nèi)的已聯(lián)測點的權(quán)陣為

由最小二乘原理VTPεV＝min，如果測區(qū)內(nèi)已聯(lián)測點的個數(shù)大于6個，用最小二乘原理求得系數(shù)向量為

利用系數(shù)矩陣A和式（2）就可以求出待定點的高程異常ζ（Xp，Yp），再根據(jù)正常高和大地高之間的關(guān)系就可以求出正常高。加權(quán)二次曲面高程擬合模型的特點是，對于每一個待求點都能根據(jù)其各自權(quán)陣構(gòu)造一個與之對應(yīng)的二次曲面函數(shù)，實現(xiàn)變系數(shù)二次曲面擬合。

2 多面函數(shù)高程擬合

2.1 多面函數(shù)高程擬合原理

多面函數(shù)法從幾何觀點出發(fā)，解決根據(jù)數(shù)據(jù)點形成一個平差的數(shù)學(xué)曲面問題。此方法的基本思想是：任何數(shù)學(xué)表面和不規(guī)則的圓滑表面，總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的總和，以任意精度逼近［3］。當參與擬合的點數(shù)為n時，其方程的形式為

式中：ρi為待定參數(shù)，F(xiàn)（x，y，xi，yi）為x，y的二次核函數(shù)，常用的二次核函數(shù)為

式中：δ2為任意常數(shù)，稱為光滑因子。k的取值有多種，比較典型的是當k＝0.5時為正雙曲面函數(shù)，k＝－0.5為倒雙曲面函數(shù)。由此可以看出核函數(shù)的選取不是唯一的。

若有n個已知點，則可以選取其中m個點（m≤n）作為核函數(shù)的中心點，記為（xi，yi），令

則所選的各已知點應(yīng)該滿足

由此列出誤差方程

表示為向量

采用最小二乘平差得

由式（15）即可求得任意未知點的高程異常ζ，進而求得未知點的正常高。

2.2 多面函數(shù)高程擬合參數(shù)選取

由于多面函數(shù)法基于純數(shù)學(xué)的逼近理論，因此，擬合效果與核函數(shù)的選擇密切相關(guān)。為計算方便，本文將正雙曲面函數(shù)作為本次實驗的核函數(shù)，并且將光滑因子定義為0.8，得

3 組合模型的建立與求解

組合模型是將不同的GPS高程擬合模型進行組合，且盡可能地提高擬合精度和可靠性。本文所建立的組合模型是在加權(quán)二次曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法的基礎(chǔ)上，利用最小二乘法原理，以擬合絕對誤差平方和最小為目標，賦予2種擬合模型不同的權(quán)重，并規(guī)劃求取權(quán)重系數(shù)而建立起新的擬合模型［4］。

設(shè)（i＝1，2，…，n；j＝1，2）為高程異常的擬合值，（i＝1，2，…，n；j＝1，2）為高程異常的真值，Pj為第j種方法的權(quán)，則有

從式（17）可以看出，建立加權(quán)組合模型的關(guān)鍵在求取每種單一模型在組合模型中所占的權(quán)重。根據(jù)式（18）可得到基于該組合模型的擬合殘差為

矩陣形式為

則有

至此，可以建立起求取最優(yōu)權(quán)重的規(guī)劃模型

通過LINGO軟件計算式（21），就可以得出本文所采用的2種幾何模型在擬合絕對誤差平方和最小的條件下的權(quán)重，從而建立起基于二次曲面函數(shù)和多面函數(shù)的優(yōu)化組合模型［5］。

4 算例分析

實驗區(qū)為酒泉某千萬千瓦級風(fēng)電場，區(qū)域地形平坦，控制點分布如圖1所示，16個GPS控制點全部用幾何方法聯(lián)測了其正常高且精度滿足四等水準。本次實驗均勻地選取其中的10個點D33、D34、D35、D38、D48、D50、D51、D52、D54、D66用作擬合模型參數(shù)計算，在進行多面函數(shù)擬合時，將這10個點都作為核函數(shù)的中心點參與計算，擬合點成果如表1所示。其余6個點D36、D37、D47、D49、D53、D65作為檢核點以檢查模型擬合的精度，為了驗證各擬合方法的精度，分別按照加權(quán)二次曲面擬合方法、曲面函數(shù)擬合方法計算得到6個檢核點的高程異常，結(jié)果如表2所示。

圖1 控制點分布圖

表1 高程異常擬合點成果

表2 高程異常擬合結(jié)果統(tǒng)計

從表2可以看出，采用2種不同的方法，在不同的點位，擬合結(jié)果與真值的差值均不一致，總體上加權(quán)二次曲面法擬合方法要高于多面函數(shù)擬合的內(nèi)符合精度，但是由于加權(quán)二次曲面擬合方法與已知點距離密切相關(guān)，當待擬合點在區(qū)域邊緣，精度會受到一定的影響，如果權(quán)值最大的已知點位本身存在較大的誤差，那么待擬合點的精度也會下降。而多面函數(shù)擬合法是從幾何觀點出發(fā)，是根據(jù)數(shù)據(jù)點形成一個平差的數(shù)學(xué)曲面，而核函數(shù)選取是一個比較困難的問題［6］，因此，擬合結(jié)果也會出現(xiàn)個別點較大的誤差，導(dǎo)致2種方法會交叉出現(xiàn)較好的擬合數(shù)值。

為了得到更優(yōu)的擬合結(jié)果，通過本文提到的組合模型的方法進行計算。根據(jù)表2和式（20），可以計算出

在LINGO軟件中按式（21）編制計算程序如下：

p1＋p2＝1；

min＝428＊p1＾2＋619＊p2＾2＋274＊p1＊p2；

p1＞＝0；

p2＞＝0；

end

計算得到權(quán)重系數(shù)P＝（0.623 544 6，0.376 455 4）?？梢钥闯觯訖?quán)二次曲面擬合模型占的權(quán)重較大，這也歸于加權(quán)二次曲面法擬合方法總體上要高于多面函數(shù)擬合的內(nèi)符合精度。至此有了2個模型的權(quán)重參數(shù)，通過式（18）就可以構(gòu)建出基于這2個模型的組合模型，進而可計算出基于該組合模型的高程異常擬合值，擬合結(jié)果及內(nèi)符合精度見表3，在此基礎(chǔ)上繪制出較差折線如圖2所示。

表3 基于組合模型的高程異常擬合結(jié)果統(tǒng)計

從表2、表3及圖2的對比中可以看出，組合模型擬合的內(nèi)符合精度較前2種方法都有所提高，雖然從對單個點擬合結(jié)果的比較來看，采用組合模型進行擬合可能會導(dǎo)致相對于單個模型有精度損失，但是其數(shù)值整體表現(xiàn)更加平穩(wěn)，不會出現(xiàn)單個模型下擬合出極值的現(xiàn)象，也就是說誤差的跳躍性有所減小，結(jié)果更加穩(wěn)定。

圖2 各方法擬合檢核點差值

5 結(jié)束語

目前，用于高程異常擬合的方法多種多樣，并且得到越來越廣泛的應(yīng)用。但高程異常在空間上表現(xiàn)為復(fù)雜的不規(guī)則曲面，而任何單一的擬合模型都有其本身的缺點，因此，使用單個模型擬合出的高程異常值往往都會有缺點。本文將加權(quán)二次曲面擬合和多面函數(shù)擬合2種方法組合，以擬合絕對誤差平方和最小為目標，賦予各擬合模型不同的權(quán)重，利用LINGO軟件規(guī)劃求取權(quán)重系數(shù)，從而建立起新的擬合模型。擬合的精度和穩(wěn)定性有一定程度的提高，具有一定的實踐指導(dǎo)意義。而多面函數(shù)擬合法的核函數(shù)選取仍是一個難題，需要在具體實踐中不斷完善。

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