潘 駿 靳方建 陳文華 王 孟 許銳敏 朱旭洋

浙江理工大學(xué)浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，310018

0 引言

產(chǎn)品在設(shè)計(jì)初期，都存在某些設(shè)計(jì)缺陷，可靠性與性能參數(shù)都不能立刻達(dá)到所規(guī)定指標(biāo)的要求，必須經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)-分析-改進(jìn)-再試驗(yàn)的過程，來提高產(chǎn)品的可靠性，即進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)［1］。試驗(yàn)過程中，產(chǎn)品的質(zhì)量缺陷得到暴露，且被有效地糾正，使產(chǎn)品的可靠性得到增長(zhǎng)。可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)過程中，產(chǎn)品在各個(gè)時(shí)刻的失效數(shù)據(jù)來源于變化的母體，需要通過建立產(chǎn)品的可靠性增長(zhǎng)模型［2-4］來反映產(chǎn)品可靠性的增長(zhǎng)規(guī)律。

1972年，Crow［5］提出了 AMSAA（army materiel systems analysis activity）模型，并系統(tǒng)地解決了AMSAA模型的統(tǒng)計(jì)推斷問題［6-7］，但是該模型僅適用于單臺(tái)或多臺(tái)產(chǎn)品異步糾正的情況［1］。對(duì)于多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正的問題，美軍標(biāo)（美國(guó)軍用標(biāo)準(zhǔn)）MIL-HDBK-189和國(guó)軍標(biāo)（中國(guó)軍用標(biāo)準(zhǔn)）GJB／Z77將多臺(tái)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間進(jìn)行簡(jiǎn)單的累加，折合到單臺(tái)產(chǎn)品上，采用單臺(tái)AMSAA模型來處理失效數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)［8-9］在假設(shè)同型產(chǎn)品之間失效相互獨(dú)立的前提下提出了AMSAA-BISE（AMSAA-Beijing institute of structure and environment）模型，但是，其推導(dǎo)過程及公式與多臺(tái)產(chǎn)品異步糾正時(shí)的AMSAA模型相同。美軍標(biāo)／國(guó)軍標(biāo)和AMSAA-BISE兩種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果往往高于產(chǎn)品的實(shí)際可靠性水平［10-11］。

在多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)過程中，一個(gè)產(chǎn)品出現(xiàn)失效，將對(duì)所有產(chǎn)品進(jìn)行糾正，若糾正有效，則該失效在所有參試樣品中只發(fā)生一次。這相當(dāng)于在針對(duì)某一失效的可靠性壽命試驗(yàn)中，只出現(xiàn)一次產(chǎn)品失效。本文擬根據(jù)多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)的上述特點(diǎn)，提出一個(gè)新方法，即先采用多層Bayes方法估計(jì)產(chǎn)品失效的概率，結(jié)合加權(quán)最小二乘估計(jì)法，求得各個(gè)失效的發(fā)生時(shí)刻期望值，再用其替代單臺(tái)AMSAA模型中的失效時(shí)間來評(píng)估產(chǎn)品可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)結(jié)果。同時(shí)，通過對(duì)美軍標(biāo)／國(guó)軍標(biāo)的統(tǒng)計(jì)方法、AMSAA-BISE模型和本文所提出的方法進(jìn)行蒙特卡羅模擬比較，來驗(yàn)證所提出的統(tǒng)計(jì)分析方法的有效性。

1 多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)

假定有s臺(tái)同型產(chǎn)品進(jìn)行同步投試、同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，所有失效均需作糾正性修復(fù)，且對(duì)每個(gè)失效所采取的糾正措施均有效，糾正完成后，所有產(chǎn)品繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)。當(dāng)s臺(tái)產(chǎn)品總失效次數(shù)達(dá)到n次時(shí)，則所有產(chǎn)品同時(shí)停止試驗(yàn)，觀測(cè)到的失效時(shí)刻為0＜t1＜t2＜…＜tn。

美軍標(biāo) MIL-HDBK-781［12］在4.3.2條中規(guī)定，必須采用單臺(tái)AMSAA模型來評(píng)估多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正時(shí)的可靠性增長(zhǎng)結(jié)果：通過綜合多臺(tái)產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)，在一個(gè)累積的試驗(yàn)時(shí)間基準(zhǔn)上，將多臺(tái)產(chǎn)品當(dāng)作一個(gè)單獨(dú)的產(chǎn)品，使用單臺(tái)AMSAA模型來分析失效數(shù)據(jù)。如果可以根據(jù)失效數(shù)據(jù)求出各次失效的發(fā)生時(shí)刻期望值［1，13］，就可根據(jù)單臺(tái)AMSAA模型來對(duì)產(chǎn)品的可靠性增長(zhǎng)結(jié)果進(jìn)行評(píng)估。

為估計(jì)各次失效的發(fā)生時(shí)刻期望值，現(xiàn)對(duì)可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)特征進(jìn)行分析。在多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)過程中，投入s臺(tái)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾的壽命試驗(yàn)，由于當(dāng)發(fā)生第m（m＝1，2，…，n）次失效時(shí)，會(huì)對(duì)所有產(chǎn)品進(jìn)行糾正，可認(rèn)為只出現(xiàn)一次失效。若把前m-1次失效時(shí)間看成是第m次失效的無失效觀測(cè)時(shí)間，則試驗(yàn)可敘述為：針對(duì)第m次失效，對(duì)s臺(tái)同型產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，當(dāng)有一個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)試驗(yàn)截止，則有0＝t0＜t1＜t2＜…＜tm，那么，第i次失效的失效數(shù)據(jù)模型可記為（s，ri，ti）（i＝1，2，…，m），其中ri為時(shí)刻ti時(shí)的產(chǎn)品失效個(gè)數(shù)。當(dāng)i≤m-1時(shí)，ri＝0；當(dāng)i＝m時(shí)，ri＝1。

綜上所述，可獲得如下信息：

（1）t0＝0時(shí)，產(chǎn)品失效概率P0＝0。

（2）由于0＝t0＜t1＜t2＜…＜tm，記Pi＝P（t＜ti），則有P1≤P2≤ … ≤Pm。

對(duì)于第m次失效，假設(shè)其失效時(shí)間服從分布參數(shù)為λm的指數(shù)分布，基于多層Bayes方法，計(jì)算出分布參數(shù)和失效時(shí)刻期望值，進(jìn)而替代單臺(tái)AMSAA模型中的失效時(shí)間，最終確定模型參數(shù)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行估計(jì)。

2 失效概率Pi的Bayes估計(jì)

2.1 確立先驗(yàn)分布

采用Bayes估計(jì)首先需要確定先驗(yàn)分布，若試驗(yàn)進(jìn)行到ti時(shí)刻無產(chǎn)品失效，則有理由判定試樣在（0，ti）內(nèi)的可靠度很高，即失效概率Pi的先驗(yàn)分布的密度函數(shù)應(yīng)是關(guān)于Pi的單調(diào)遞減函數(shù)。由于0≤Pi≤1，而不完全β分布B（θL，θU，u，v）要求其變量x滿足0≤x≤1，且其密度函數(shù)為［13-14］

在選取參數(shù)u≤1和v＞1的情況下，可保證概率密度函數(shù)f（x；θL，θU，u，v）是關(guān)于x 的單調(diào)遞減函數(shù)。通過改變x 的變化區(qū)間（θL，θU），可使之滿足各種試驗(yàn)情況，所以可以選定失效概率Pi的先驗(yàn)分布為不完全β分布B（θL，θU，u，v）。

根據(jù)Bayes估計(jì)的穩(wěn)定性［15］，概率密度函數(shù)尾部越密的先驗(yàn)分布會(huì)造成Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性越差。結(jié)合文獻(xiàn)［14］中關(guān)于不完全β分布的密度函數(shù)的討論，在v一定且u≤1時(shí)，隨著u取值的減小，密度函數(shù)曲線尾部越來越細(xì)密，由此可確定u＝1。確定v的具體取值比較困難，但根據(jù)不完全β分布的密度函數(shù)的性質(zhì)，在u＝1的情況下，v取值越大，密度函數(shù)曲線尾部越細(xì)密?？衫枚鄬酉闰?yàn)分布的知識(shí)，給定一個(gè)取值上限C，認(rèn)為參數(shù)v服從區(qū)間［1，C］上的均勻分布，即

其中，常數(shù)C一般取3～7為宜［13］。

由于θL、θU分別為失效概率Pi取值區(qū)間的下限和上限，所以取θU＝1合理。為保證Pi的估計(jì)值滿足模型條件應(yīng)滿足

綜上所述，失效概率Pi的先驗(yàn)分布可具體確定為

2.2 估計(jì)失效概率

由于產(chǎn)品在tm時(shí)刻發(fā)生失效，現(xiàn)可分兩種情況來確定θL的取值并估計(jì)失效概率Pi。

在時(shí)刻ti內(nèi)有s個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)，有ri＝0個(gè)失效，則其似然函數(shù)為L(zhǎng)（0，Pi）＝ （1-Pi）s。于是在平方損失函數(shù)下，以式（2）為先驗(yàn)分布的Pi的Bayes估計(jì)為

（2）當(dāng)i＝m時(shí)，由于產(chǎn)品在tm時(shí)刻發(fā)生失效，且失效現(xiàn)象的發(fā)生在一定程度上具有隨機(jī)性，為了不丟失在tm時(shí)刻一個(gè)產(chǎn)品已經(jīng)失效且其他時(shí)間區(qū)間內(nèi)產(chǎn)品均未出現(xiàn)失效的信息，根據(jù)中位秩，初步假定tm時(shí)刻的失效概率

是合理的，于是可取θL＝P′。由不完全β分布B（P′，1，1，v）得到Pm的先驗(yàn)分布為

此函數(shù)顯然是關(guān)于Pm單調(diào)遞減的，是可以作為Pm的先驗(yàn)分布的。由于在時(shí)刻tm內(nèi)s個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)，有rm＝1個(gè)失效，則其似然函數(shù)為

于是在平方損失函數(shù)下，以式（4）為先驗(yàn)分布的Pm的Bayes估計(jì)為

3 多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)的評(píng)估方法

3.1 可靠性分布參數(shù)和特征值的估計(jì)

假定產(chǎn)品的第m次失效的發(fā)生時(shí)刻tm服從指數(shù)分布，其分布函數(shù)為

式中，δmi為用ln（1-＾Pi）代替ln（1-Pi）所引起的誤差。

采用加權(quán)最小二乘估計(jì)法，在

的意義下，求得參數(shù)λm的估計(jì)值為

式中，ωi為權(quán)系數(shù)。

則產(chǎn)品第m次失效的發(fā)生時(shí)刻tm的期望值Tm為

3.2 可靠性增長(zhǎng)結(jié)果的評(píng)估

根據(jù)多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)于第m次失效，由式（7）和式（8）可求得產(chǎn)品失效發(fā)生時(shí)刻tm的期望值Tm：

為利用單臺(tái)AMSAA模型［1］進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)結(jié)果的評(píng)估，可將期望失效時(shí)刻Tm看作單臺(tái)產(chǎn)品投入可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)時(shí)的觀測(cè)失效時(shí)間，即對(duì)單臺(tái)產(chǎn)品進(jìn)行失效截尾可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，產(chǎn)品在該試驗(yàn)中相繼故障時(shí)刻為

則單臺(tái)AMSAA模型參數(shù)a、b的無偏估計(jì)為［1］

則Tn時(shí)刻產(chǎn)品的平均故障間隔時(shí)間（mean time between failures，MTBF），即多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)截止時(shí)刻tn時(shí)產(chǎn)品的MTBF值θ的無偏估計(jì)為

4 MATLAB仿真分析

4.1 建立仿真模型

為驗(yàn)證所提出的統(tǒng)計(jì)分析方法的可行性和統(tǒng)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性，現(xiàn)利用MATLAB7.0軟件進(jìn)行仿真分析。Crow在AMSAA模型中假定，可靠性增長(zhǎng)的過程中，產(chǎn)品失效是按照非齊次泊松過程發(fā)生的，即失效次數(shù)服從參數(shù)為a、b的非齊次泊松過程。利用非齊次泊松過程的性質(zhì)［16］和仿真理論，設(shè)定試驗(yàn)投入樣本數(shù)為s，產(chǎn)生的失效個(gè)數(shù)為n，非齊次泊松過程參數(shù)為a、b，則仿真模型［10］可按以下步驟建立：

（1）模擬單臺(tái)產(chǎn)品的失效時(shí)間序列。根據(jù)非齊次泊松過程的性質(zhì)，首先應(yīng)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生n個(gè)在（0，1）區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)Ri（i＝1，2，…，n），對(duì)其作變換Ni＝-lnRi，產(chǎn)生指數(shù)Ni；根據(jù)泊松過程的性質(zhì)，Si＝Si-1＋Ni為齊次泊松過程時(shí)間序列，對(duì)齊次泊松過程的發(fā)生時(shí)間作變換Ti＝ （Si／a）（1／b），則Ti為滿足參數(shù)為a、b的非齊次泊松過程的單臺(tái)產(chǎn)品失效時(shí)間序列。

（2）模擬多臺(tái)產(chǎn)品同步投試、同步糾正的失效時(shí)間序列。對(duì)于樣本數(shù)為s的可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)，對(duì)步驟（1）進(jìn)行s次獨(dú)立的模擬，產(chǎn)生s組失效時(shí)間序列。根據(jù)同步糾正理論，觀測(cè)到的失效時(shí)間為多臺(tái)產(chǎn)品每個(gè)對(duì)應(yīng)失效的最早發(fā)生時(shí)間。對(duì)獲得的s組相同長(zhǎng)度的模擬時(shí)間序列，取對(duì)應(yīng)次序的數(shù)據(jù)最小值作為同步糾正時(shí)間，即得到多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正的失效時(shí)間。

（3）模型參數(shù)評(píng)估和MTBF計(jì)算。對(duì)模擬產(chǎn)生的多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正的失效時(shí)間，利用本文提出的數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行評(píng)估，獲得可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)后的參數(shù)和可靠性水平。為了便于比較和分析數(shù)據(jù)處理結(jié)果，利用美軍標(biāo)／國(guó)軍標(biāo)的處理方法和AMSAA-BISE模型對(duì)模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。模擬數(shù)據(jù)的理論結(jié)果可利用多臺(tái)產(chǎn)品產(chǎn)生n個(gè)失效所需的試驗(yàn)時(shí)間和非齊次泊松過程參數(shù)進(jìn)行計(jì)算得到。

（4）對(duì)上述三步進(jìn)行10 000循環(huán)模擬，分別獲得三種數(shù)據(jù)處理方法處理結(jié)果的平均值與理論模擬結(jié)果的平均值，并進(jìn)行結(jié)果比較和分析。

4.2 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證所提出的統(tǒng)計(jì)方法的精確性，現(xiàn)以模型參數(shù)的估計(jì)精度為衡量指標(biāo)。根據(jù)非齊次泊松過程的性質(zhì)，只有當(dāng)0＜b＜1時(shí)，產(chǎn)品可靠性才處于增長(zhǎng)過程之中。這里，任意假定模型參數(shù)取值：a＝0.5，b＝0.5，n＝7，C ＝5。根據(jù)上述分析和模型進(jìn)行仿真模擬，各種方法對(duì)仿真數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 仿真計(jì)算結(jié)果

通過對(duì)比分析仿真估計(jì)結(jié)果可得：由于試驗(yàn)樣本量增加時(shí)，所有樣品的試驗(yàn)時(shí)間總和會(huì)隨之增大，則在產(chǎn)生的故障數(shù)不變的情況下，試驗(yàn)總時(shí)間長(zhǎng)的產(chǎn)品的壽命值較大，所以理論模擬結(jié)果隨樣品量的增加而變大。由于美軍標(biāo)／國(guó)軍標(biāo)中是將多臺(tái)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間進(jìn)行簡(jiǎn)單累加來作為單臺(tái)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間，所以，其評(píng)估方法估計(jì)的結(jié)果大于理論模擬結(jié)果；AMSAA-BISE模型假設(shè)同型產(chǎn)品之間失效相互獨(dú)立，沒有考慮失效的相關(guān)性，且其推導(dǎo)過程及公式與多臺(tái)產(chǎn)品異步糾正時(shí)的AMSAA模型相同，所以其估計(jì)結(jié)果也大于理論模擬結(jié)果。本文所提出方法的計(jì)算結(jié)果與理論模擬結(jié)果接近，且誤差隨樣品量的變化不大，能夠較好地估計(jì)可靠性增長(zhǎng)結(jié)果，反映真實(shí)的試驗(yàn)情況。

5 結(jié)語

本文根據(jù)多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)均為單一產(chǎn)品失效的特點(diǎn)，提出了基于單一產(chǎn)品失效數(shù)據(jù)的同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法。給出了失效的可靠性分布參數(shù)和特征值的計(jì)算方法，更好地反映了試驗(yàn)各個(gè)階段的實(shí)際情況；基于各個(gè)發(fā)生失效的時(shí)間期望值，利用單臺(tái)可靠性增長(zhǎng)AMSAA模型來進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)結(jié)果評(píng)估，使評(píng)估結(jié)果更好地反映出可靠性增長(zhǎng)后的產(chǎn)品可靠性水平。蒙特卡羅模擬分析的結(jié)果表明，與現(xiàn)有方法相比，本文所提出方法的分析計(jì)算結(jié)果較接近于理論值，能較好地估計(jì)可靠性增長(zhǎng)結(jié)果，反映真實(shí)的可靠性增長(zhǎng)過程。另外，本文在推導(dǎo)過程中假設(shè)產(chǎn)品失效服從指數(shù)分布，對(duì)于失效服從其他分布類型的產(chǎn)品，亦可采用類似的分析方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，從而為不同失效分布類型的產(chǎn)品進(jìn)行多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)提供了統(tǒng)計(jì)分析方法和思路，可解決多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理問題。

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