宋曉光 崔 立，2 鄭建榮

1.華東理工大學(xué)，上海，200237 2.浙江天馬軸承股份有限公司，杭州，310015

0 引言

斜齒輪具有嚙合性好、傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，在各種機(jī)械設(shè)備中都有廣泛的應(yīng)用。目前對(duì)于斜齒輪非線性動(dòng)力學(xué)已有學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究［1］，王立華等［2］建立了適合斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)耦合振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，并求解得到了斜齒輪橫向、軸向、擺動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)響應(yīng)。李素有等［3］建立了考慮嚙合綜合誤差和時(shí)變剛度的斜齒輪副間隙非線性扭振模型，得到了斜齒輪副在外轉(zhuǎn)矩作用下受靜態(tài)傳動(dòng)誤差激勵(lì)的非線性穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)。

近年來(lái)，關(guān)于齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)的研究已開(kāi)始考慮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的耦合影響。崔亞輝等［4-5］、衛(wèi)一多等［6］建立了考慮齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度、靜態(tài)傳動(dòng)誤差的齒輪-轉(zhuǎn)子耦合模型，得到了不平衡質(zhì)量對(duì)運(yùn)動(dòng)分叉的影響以及齒側(cè)間隙對(duì)振幅跳躍特性的影響，但未進(jìn)一步考慮軸承的耦合影響。Cai等［7-8］建立了含有非線性油膜力、非線性嚙合力的齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并采用相圖、功率譜、Poincaré映射、Lyapunov指數(shù)確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式。Baguet等［9］建立了齒輪滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用Newmark法求解并獲得了軸承激勵(lì)和嚙合激勵(lì)。Byrtus等［10］使用模態(tài)綜合法建立了斜齒輪軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，將時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、非線性軸承力等因素引入系統(tǒng)模型中，研究了斜齒輪系統(tǒng)的分叉和混沌現(xiàn)象，但未考慮轉(zhuǎn)軸剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。

本文考慮了多自由度、多非線性以及柔性轉(zhuǎn)子對(duì)系統(tǒng)的影響，以斜齒輪軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立了斜齒輪軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，用數(shù)值法對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解，研究轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)軸剛度、不平衡力的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 非線性動(dòng)力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

建立斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如下：

式中，M、X、C、G、K分別為斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、振動(dòng)位移矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣；P（t）為載荷矩陣，包括外力、齒輪嚙合力和不平衡力、非線性軸承力、重力。

式（1）中各矩陣可以采用整體法對(duì)齒輪、滾動(dòng)軸承和彈性軸的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和載荷矩陣進(jìn)行組裝得到。

根據(jù)有限元理論，將彈性軸劃分為若干軸段，每個(gè)軸段單元采用兩節(jié)點(diǎn)Euler梁?jiǎn)卧Ｐ?，每個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮6個(gè)自由度，包括橫向彎曲振動(dòng)（沿y、z軸）、軸向振動(dòng)（沿x軸）、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)（繞x軸）、扭擺振動(dòng)（繞y、z軸）。通過(guò)Euler梁?jiǎn)卧Ｐ?，根?jù)有限元理論，可得到軸段節(jié)點(diǎn)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和載荷矩陣。

建立考慮時(shí)變剛度、齒側(cè)間隙和不平衡質(zhì)量的斜齒輪動(dòng)力學(xué)方程，求解得到齒輪的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣。

考慮滾動(dòng)軸承的徑向間隙建立動(dòng)力學(xué)方程，得到軸承的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和載荷矩陣［11］。根據(jù)支承滾動(dòng)軸承在轉(zhuǎn)子上的位置，將軸承各矩陣組裝到對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上，得到齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整體參數(shù)矩陣。

1.2 斜齒輪嚙合模型

齒輪在嚙合傳動(dòng)過(guò)程中，輪齒的彈性變形隨時(shí)間不斷變化，因此，齒輪的嚙合剛度也是隨時(shí)間變化的。本文在考慮計(jì)算時(shí)變剛度時(shí)，采用影響函數(shù)法［12］來(lái)計(jì)算嚙合線上每點(diǎn)的時(shí)變剛度。

設(shè)齒側(cè)間隙為2lb，采用分段函數(shù)表示齒側(cè)間隙，其函數(shù)關(guān)系式如下：

式中，Δd為兩斜齒輪在嚙合線方向上的變形量。

輪齒間的嚙合力包括彈性力和阻尼力，時(shí)變嚙合力可表示為

式中，km（t）為時(shí)變嚙合剛度；cm為嚙合阻尼。

Δd可表示為

式中，x1、y1、z1和x2、y2、z2分別為主被動(dòng)齒輪沿x、y、z方向的振動(dòng)位移；βb為斜齒輪基圓上的螺旋角；rb1、rb2分別為主被動(dòng)齒輪基圓半徑；θ1x、θ2x，θ1y、θ2y和θ1z、θ2z分別為繞x軸的扭轉(zhuǎn)角、繞y軸擺動(dòng)的角和繞z軸擺動(dòng)的角；αt、αn分別為端面壓力角和法向壓力角；em為由實(shí)際齒廓偏離理論位置引起的齒輪靜態(tài)傳動(dòng)誤差。

斜齒輪在嚙合傳動(dòng)過(guò)程中，其振動(dòng)形態(tài)包括彎曲、扭轉(zhuǎn)，如圖1所示。

圖1 斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型

考慮到斜齒輪副可能存在質(zhì)量偏心，將在斜齒輪嚙合傳動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生離心力，可建立齒輪的動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中，ωr1、ωr2分 別 為 主 被 動(dòng) 齒 輪 的 角 速 度；I1x、I2x，I1d、I2d分別為主被動(dòng)齒輪繞軸向和徑向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；R1、R2分別為主被動(dòng)齒輪節(jié)圓半徑；m1、m2分別為主被動(dòng)齒輪的質(zhì)量；T1、T2分別為主被動(dòng)齒輪所受的轉(zhuǎn)矩；β為斜齒輪分度圓上的螺旋角；e1、e2分別為主被動(dòng)齒輪上的偏心距。

整理上述齒輪動(dòng)力學(xué)方程，得到齒輪質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和受力矩陣：

式中，Mg1、Mg2，Kg1、Kg2，Cg1、Cg2，F(xiàn)g1、Fg2分別為主、被動(dòng)齒輪的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣；Kg12、Cg12分別為兩齒輪嚙合的耦合剛度矩陣、耦合阻尼矩陣。

將得到的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、載荷矩陣組裝到式（1）中的各矩陣中。

2 計(jì)算方法

首先求解轉(zhuǎn)子、齒輪和軸承的剛度，分別代入斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中，并按式（1）組裝到剛度矩陣中。然后采用Runge-Kutta法對(duì)建立的非線性動(dòng)力學(xué)方程組進(jìn)行求解。最后通過(guò)時(shí)域圖、頻譜圖、相圖以及Poincaré截面進(jìn)行分析，判斷系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

3 結(jié)果分析

對(duì)某斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，考慮了齒側(cè)間隙為80μm，主、被動(dòng)輪偏心距e1、e2均為0。支承選用型號(hào)同為7205的兩個(gè)球軸承，兩齒輪軸長(zhǎng)度相同，均為300mm。分析轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)軸剛度比、不平衡力等對(duì)系統(tǒng)非線性響應(yīng)的影響。

表1 斜齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

在其他參數(shù)不變的情況下，對(duì)不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，得到斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖（圖2）。

為分析圖2中各轉(zhuǎn)速的非線性運(yùn)動(dòng)行為，求解非線性方程組得到頻譜圖和Poincaré截面，分析斜齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)速下的運(yùn)動(dòng)行為。

圖3為系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速n為2500r／min時(shí)的頻譜圖和Poincaré截面，圖3中軸承振動(dòng)頻率fb為

圖2 系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化響應(yīng)分叉圖

式中，α0為初始接觸角；Dm、Dw分別為軸承的中徑和球徑；nb為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)。

圖3 轉(zhuǎn)速為2500r／min時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

齒輪振動(dòng)頻率fg為

式中，z1為主動(dòng)輪的齒數(shù)。

頻譜圖中只有軸承和齒輪的整數(shù)倍頻率；Poincaré截面中只有一個(gè)點(diǎn)。由此可知，此時(shí)系統(tǒng)為一周期運(yùn)動(dòng)。

圖4為轉(zhuǎn)速為3600r／min時(shí)的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統(tǒng)除了軸承和齒輪的整數(shù)倍頻率外，還有齒輪的0.5倍頻；由Poincaré截面可知，系統(tǒng)為兩周期運(yùn)動(dòng)。

圖5為轉(zhuǎn)速為3100r／min時(shí)的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統(tǒng)除了軸承和齒輪的整數(shù)倍頻率外，還出現(xiàn)了邊頻帶；由Poincaré截面可知，系統(tǒng)在圖上為一個(gè)閉環(huán)。由此可知，系統(tǒng)此時(shí)處于擬周期運(yùn)動(dòng)。

圖6為系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速為5600r／min時(shí)的頻譜圖和Poincaré截面。從頻譜圖可以看出，系統(tǒng)出現(xiàn)了連續(xù)頻譜；由Poincaré截面可知，系統(tǒng)在圖上反映出不規(guī)則圖形。由此可知，系統(tǒng)此時(shí)處于混沌運(yùn)動(dòng)。

圖4 轉(zhuǎn)速為3600r／min時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖5 轉(zhuǎn)速為3100r／min時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖6 轉(zhuǎn)速為5600r／min時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

根據(jù)各轉(zhuǎn)速下頻譜圖和Poincaré截面的分析，從圖2可以得出，當(dāng)轉(zhuǎn)速為2000～2300r／min時(shí)，系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)；轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大到3100r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為3300～3400r／min時(shí)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)；隨著轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到4400r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速后，系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為5000～5100r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為5600～6100r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到6400r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于擬周期運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到7200r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)。

綜上可知，斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了多種形式的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

3.2 轉(zhuǎn)軸剛度的影響

在保證其他參數(shù)不變的情況下，軸長(zhǎng)增大到400mm，轉(zhuǎn)軸剛度由 2.61×107N／m 減小到1.14×107N／m，對(duì)不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，得到圖7所示的斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖。

圖7 轉(zhuǎn)軸剛度減小時(shí)系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化響應(yīng)分叉圖

根據(jù)頻譜圖和Poincaré截面分析方法，對(duì)圖7進(jìn)行分析。當(dāng)轉(zhuǎn)速為2000～2300r／min時(shí)，系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)2900r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于擬周期運(yùn)動(dòng)；隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)開(kāi)始處于混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為3200～5000r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)再次處于擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為5400～5800r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到6100r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到6600r／min后，系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)。

綜上所述，隨著轉(zhuǎn)軸剛度比的減小，振動(dòng)分叉圖上的混沌區(qū)間明顯減小，系統(tǒng)的振幅發(fā)生改變。

3.3 不平衡力的影響

保證其他參數(shù)不變的情況下，加入齒輪不平衡力，分別設(shè)定主、被動(dòng)輪的偏心距e1、e2為20μm，對(duì)不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，得到了圖8所示的斜齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的分叉圖。

圖8 存在不平衡力時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化分叉圖

根據(jù)頻譜圖和Poincaré截面分析方法，對(duì)圖8進(jìn)行分析。當(dāng)轉(zhuǎn)速為2000～2300r／min時(shí)，系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到3000r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于擬周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為3200～3600r／min時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)始處于混沌運(yùn)動(dòng)；隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為4600～4700r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為5100r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為5200～5500r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于擬周期運(yùn)動(dòng)；隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)增大，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到6600r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)轉(zhuǎn)速為7600～7700r／min時(shí)，系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)；隨后系統(tǒng)再次處于周期運(yùn)動(dòng)。

綜上所述，當(dāng)增大齒輪的不平衡力后，振動(dòng)分叉圖上的混沌區(qū)間明顯增大，混沌運(yùn)動(dòng)的區(qū)間也發(fā)生改變。

4 結(jié)論

（1）隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)閿M周期運(yùn)動(dòng)，又從擬周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速繼續(xù)上升時(shí)，混沌運(yùn)動(dòng)又將變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)；臨界轉(zhuǎn)速附近為混沌運(yùn)動(dòng)。

（2）隨著轉(zhuǎn)軸剛度的減小，系統(tǒng)混沌區(qū)間減小，柔性轉(zhuǎn)軸對(duì)減少系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的區(qū)間有利；混沌運(yùn)動(dòng)的區(qū)間也發(fā)生改變；轉(zhuǎn)軸剛度的改變還可改變振幅大小。

（3）當(dāng)齒輪具有不平衡質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)混沌區(qū)間增大，混沌運(yùn)動(dòng)的區(qū)間也發(fā)生改變。

（4）本文為斜齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)選取提供了依據(jù)，可通過(guò)合理選擇柔性轉(zhuǎn)軸剛度、不平衡質(zhì)量使得齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)避開(kāi)混沌運(yùn)動(dòng)。

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