李 偉, 楊 航

(1. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012; 2. 中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所, 長春 130033)

去除觀測圖像中由于測量誤差而產(chǎn)生的噪聲是圖像處理中的重要問題. 圖像去噪方法主要分為空域法和變換域法兩類, 傳統(tǒng)的濾波方法屬于前者, 如均值濾波、 ROF模型和雙邊濾波等. 在變換域去噪方法中, 小波變換因其具有時(shí)頻局部特性和多分辨率特性, 已被廣泛應(yīng)用于各種圖像去噪處理中. 小波變換通常對圖像中的點(diǎn)奇異性表示較好, 但對邊緣、 紋理等信息表達(dá)能力有限, 不能對其進(jìn)行稀疏表達(dá), 進(jìn)而影響了去噪效果. 為了克服小波變換的局限性, 人們提出了曲波圖像表示方法, 該方法對圖像邊緣信息的表達(dá)比傳統(tǒng)的小波更有效. 曲波收縮是一個(gè)利用曲波變換能力得到圖像估計(jì)的技術(shù). 雖然曲波收縮方法一般優(yōu)于其他圖像去噪方法, 但大部分收縮去噪方法卻僅使用簡單的固定閾值. 在小波去噪方法中, 基于經(jīng)驗(yàn)Wiener濾波(WWF)方法是一種改進(jìn)的去噪方法, 它可以對每個(gè)小波系數(shù)采用Wiener估計(jì), 從而改善小波硬閾值的均方誤差(MSE)性能. 本文把Ghael的思想擴(kuò)展到曲波域中. 與WWF不同, 為減少振鈴效應(yīng)和保留邊緣, 先使用全變差(TV)估計(jì)設(shè)計(jì)Wiener濾波, 而TV模型可以通過使用分裂Bregman迭代算法得到有效解決, 然后使用曲波域的Wiener濾波估計(jì)圖像. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 該算法能獲得更高的峰值信噪比(PSNR).

1 曲波變換

曲波由平移低通尺度函數(shù)和各項(xiàng)異性伸縮、 平移、 旋轉(zhuǎn)的帶通曲波函數(shù)構(gòu)成. 與小波基函數(shù)[1]不同, 每個(gè)帶通曲波基函數(shù)的支撐區(qū)間都滿足寬度～長度2, 這種關(guān)系稱為各項(xiàng)異性尺度關(guān)系[2]. 曲波變換圖像去噪方法的基本原理是圖像經(jīng)過曲波變換, 噪聲信息在曲波域中一般表現(xiàn)為絕對值較小的曲波系數(shù), 通過某種規(guī)則確定某個(gè)閾值判斷噪聲和信號, 從而實(shí)現(xiàn)曲波變換圖像去噪. 曲波不僅具有多尺度特性, 還引入了一個(gè)方向參量. 所以對于具有光滑奇異性曲線的目標(biāo)函數(shù), 例如邊緣、 輪廓等特征, 曲波提供了穩(wěn)定、 高效的和近乎最優(yōu)的表示. 對于C2/C2空間的圖像(具有分段光滑邊界的分段光滑圖像), 曲波能夠提供最優(yōu)的表示[2].

曲波變換[3]分為第一代和第二代兩類. 第一代曲波變換的構(gòu)造思想是通過盡可能小的分塊將曲線近似到每個(gè)分塊中的直線上, 然后利用局部Ridgelet變換分析其特性. 第二代曲波變換建立在頻率域上, 實(shí)現(xiàn)過程無需用Ridgelet變換, 其曲波系數(shù)可以通過局部傅里葉基變換得到. 由曲波變換理論可知, 圖像信號對應(yīng)于相對較大的曲波系數(shù), 噪聲對應(yīng)于相對較小的曲波系數(shù), 所以可以選擇合適的閾值, 做到保留較大的曲波系數(shù)、 舍棄較小的曲波系數(shù), 實(shí)現(xiàn)含噪圖像的去噪處理.

本文使用實(shí)現(xiàn)更簡單的二代離散曲波變換[2]. 用μ表示一個(gè)三維索引(j,l,k), 其中j,l和k=(k1,k2)∈Z2分別表示尺度、 方向和平移參數(shù). 曲波的定義如下: 令x∈R2,

其中

θl=2π·2-[j/2]·l,l=0,1,2,…,

圖1 離散曲波變換頻域區(qū)域分割Fig.1 Region segmentation of discrete curvelet transform frequency-domain

其中徑向窗W(如Meyer小波窗)分離頻率域到|x|∈[2j,2j+1), 角度窗口V分離環(huán)形到楔形θl, 如圖1所示. 在頻域定義曲波

應(yīng)用Plancherel定理, 可得

對于N×N的圖像, 曲波變換及其逆變換都具有相同的計(jì)算復(fù)雜度O(N2logN).

2 Wiener濾波器

GW=Rx(Rx+σ2I)-1,

其中:Rx=E(xxT);I為單位矩陣;σ2為一個(gè)很小且不為零的數(shù).Rx的特征展開式表示為

式中:N1為矩陣Rx的秩, 且N1

(1)

其中

3 曲波域經(jīng)驗(yàn)Wiener濾波

經(jīng)典的圖像去噪問題：

y=x+n,

(2)

其中:y是含噪聲圖像;x是真實(shí)圖像;n是零均值方差為σ2的高斯白噪聲. 去噪的目的是從y中估計(jì)出x. 在曲波域中, 方程(2)變?yōu)?/p>

sj,i(k)=θj,i(k)+εj,i(k),

(3)

其中sj,i(k),θj,i(k),εj,i(k)分別表示觀測圖像y、 無噪聲圖像x和噪聲n在尺度j及方向l上的曲波系數(shù).

本文使用的第二代曲波變換. 曲波收縮方法有兩種: 硬閾值和軟閾值. 本文在曲波域中使用Wiener濾波去除圖像的噪音, Wiener濾波估計(jì)圖像的曲波系數(shù)為

(4)

為了構(gòu)造Wiener濾波, 必須先從噪聲圖像中估計(jì)出θj,i(k), 本文使用基于TV的方法[5]得到該估計(jì)值. 基于TV的方法可以保留邊緣信息, 而且還可以減少振鈴效應(yīng), 因此, 對設(shè)計(jì)濾波器很合適. TV擴(kuò)散模型[6-7]是目前最成功的圖像恢復(fù)工具之一:

(5)

(6)

綜上, 去噪算法步驟如下：

3) 通過計(jì)算曲波系數(shù)重建去噪圖像.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證曲波域經(jīng)驗(yàn)Wiener濾波方法, 下面進(jìn)行幾組實(shí)驗(yàn). 分別在“Lena”,“Cameraman”,“Barbara”和“Pepper”圖像上進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 并與曲波收縮算法[9]和基于TV模型的方法(分裂Bregman方法)[10]進(jìn)行峰值信噪比(PSNR)的比較, 結(jié)果列于表1. 由表1可見, 本文方法在PSNR上要優(yōu)于曲波硬閾值方法和基于TV模型的方法. 圖2和圖3分別為含噪的“Lena”圖像和“Barbara”圖像用不同方法的去噪結(jié)果. 其中,

表1 不同實(shí)驗(yàn)的PSNR對比結(jié)果(dB)

(A) σ=20噪聲圖像, PSNR=22.11 dB; (B) 基于TV模型的方法, PSNR=31.23 dB; (C) 曲波收縮(硬閾值), PSNR=30.89 dB; (D) 曲波域的經(jīng)驗(yàn)Wiener濾波器, PSNR=32.42 dB.圖2 Lena圖像的去噪結(jié)果Fig.2 Denoising of Lena image

(A) σ=20噪聲圖像, PSNR=22.12 dB; (B) 基于TV模型的方法, PSNR=26.87 dB; (C) 曲波收縮(硬閾值), PSNR=28.75 dB; (D) 曲波域的經(jīng)驗(yàn)Wiener濾波器, PSNR=29.51 dB.圖3 Barbara圖像的去噪結(jié)果Fig.3 Denoising of Barbara image

綜上可見, 本文提出了一種基于經(jīng)驗(yàn)Wiener濾波的曲波去噪算法, 基本思路是通過由ROF模型獲得的估計(jì)圖像設(shè)計(jì)Wiener濾波. ROF模型可以通過分裂Bregman迭代快速解決, 使用曲波域中Wiener濾波去除含噪圖像的噪聲. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 該算法優(yōu)于已有的相關(guān)算法.

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