程 智, 李 華, 王曉燕, 杜先能

(1. 安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000; 2. 安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 合肥 230039)

Koszul代數(shù)在代數(shù)拓?fù)洹?李理論、 量子群及代數(shù)幾何領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-2].d-Koszul代數(shù)的相關(guān)概念最早由文獻(xiàn)[3-6]提出, Koszul代數(shù)是d-Koszul代數(shù)d=2的情形. 整體維數(shù)為3的Artin-Schelter正則代數(shù)在非交換代數(shù)中具有重要作用. 為了研究分次代數(shù)的Ext-代數(shù)的有限生成性, Green等[7]引入了δ-Koszul代數(shù)的概念; 為了決定單項(xiàng)式(monomial)代數(shù)是否是δ-Koszul代數(shù), Green等[8]引入了(d,a,b)-Koszul代數(shù)的概念, 可以視其為一類廣義的d-Koszul代數(shù).

Green等[8]利用Gr?bner基方法研究了一類δ-Koszul代數(shù), 稱為(d,a,b)-Koszul代數(shù). 其中

(1)

由(d,a,b)-Koszul代數(shù)的定義可見, 當(dāng)d=2(a=1, 且b=0)時(shí), (d,a,b)-Koszul代數(shù)即為Koszul代數(shù). 當(dāng)a=1,d≥2(b=0)時(shí), (d,a,b)-Koszul代數(shù)即為d-Koszul代數(shù). 并且(d,a,b)-Koszul代數(shù)必為一個(gè)d次代數(shù), 即其單模的分次投射分解P·中,P0,P1,P2分別是0,1和d次生成的. 本文中Λ=kQ/J是一個(gè)d次代數(shù), 其中:kQ為路代數(shù);Q為有限箭圖;J作為容許理想由一些d次關(guān)系生成. 設(shè)E(Λ)都是k上有限生成的代數(shù). 對(duì)于分次代數(shù)Λ, 所有的0次有限生成模范疇記為gr0(Λ), 對(duì)于分次模M=⊕iMi, 定義分次平移[n]: (M[n])i=Mi-n, 其中n為整數(shù). 如果M[n]∈gr0(Λ)有δ-Koszul投射分解, 則模M稱為(d,a,b)-Koszul模, 其中δ為式(1)定義的函數(shù).

記L (Λ)?為gr0(Λ)的全子范疇, 滿足對(duì)任意的X∈L(Λ), 設(shè)P·(X)為X∈gr0(Λ)的極小分次投射分解, 有g(shù)en(Pi)=i(i=0,1).

如果Λa=aΛ, 則代數(shù)Λ的元素a稱為正規(guī)的. 如果a既不是左零因子, 也不是右零因子, 則元素a∈Λ稱為正則的. 由Λ中元素a生成的理想記作(a).

定理1設(shè)分次代數(shù)A是(d,a,b)-Koszul代數(shù), 如果a∈Ad是正規(guī)正則元, 則B=A/(a)也是(d,a,b)-Koszul代數(shù).

對(duì)于Koszul代數(shù)及d-Koszul代數(shù)(d>2且d∈Z), 可以用類似本文的方法證明. Schelton等[9]利用譜序列方法得到了Koszul代數(shù)的相關(guān)結(jié)論.

設(shè)Ωi(X)是X的第i個(gè)合沖, D(Λ)是gr0(Λ)的全子范疇,d,a,b是非負(fù)整數(shù)且d+b>a, 令

D(Λ)={X∈gr0(Λ)|Ω0(X)[a]∈gr0(Λ),Ω1(X)[d+b]∈D(Λ)}.

引理1設(shè)X∈L(Λ), 如果Ω1(X)[d]∈D(Λ), 則X是(d,a,b)-Koszul模.

證明: 利用歸納法證明. 由X∈L(Λ), 存在投射模Pi, 滿足gen(Pi)=i(i=0,1), 即有正合列

0 →Ω1(X) →P1→P0→X→ 0.

根據(jù)Ω1(X)[d]∈D(Λ)知,Ω1(Ω1(X))[a]∈gr0(Λ), 于是對(duì)X的分次極小投射分解P·,Pi分別是δ(i)次生成的,i=0,1,2,3. 假設(shè)有分解:Pn→ … →P2→P1→P0→X→0, 使得Pi是δ(i)次生成的,i=1,2,…,n.

如果n=2m(≥2)為偶數(shù), 則Ωn-1(X)[δ(2m)]=Ker (Pn-1→Pn-2)[δ(2m)]∈C. 令K=Ω1(Ωn-1(X)[δ(2m)])[a]∈gr0(Λ), 于是gen(K)=δ(2m)+a=δ(2m+1), 即K=ΛKδ(n+1), 從而有δ(n+1)次生成的投射模Pn+1=Λ?Λ0Kδ(n+1), 使得

Pn+1→Pn→ … →P2→P1→P0→X→ 0.

(2)

如果n=2m+1(≥3)為奇數(shù), 則Ωn-2(X)[δ(2m-1)]=Ker (Pn-2→Pn-3)[δ(2m-1)]∈C. 令

K=Ω2(Ωn-2(X)[δ(2m-1)])[d+a]∈C?gr0(A),

于是K=AKδ(2m+1), 從而有δ(n+1)次生成的投射模Pn+1=A?A0Kδ(n+1)使得式(2)成立.

由歸納法知X有分次投射分解, 使得第i個(gè)投射模是δ(i)次生成的, 即X是d-Koszul模. 又由X取法的任意性知C?Kd(A).

引理2X是(d,a,b)-Koszul模的充要條件是對(duì)任意的j≠δ(n), 有Extn(X,A0[j])=0.

必要性. 設(shè)Exti(M,Λ0[j])=0,j≠δ(i), 則Hom(M,Λ0[j])=0,j≠δ(i), 從而M是0次生成的. 于是存在0次生成的投射模P0, 使得P0→M→ 0. 令K1=Ker(P0→M), 則

Hom(K1,Λ0[j])=Ext1(M,Λ0[j])=0,j≠δ(1),

從而K1是1次生成的, 存在1次生成的投射模P1, 使得P1→K1→ 0. 重復(fù)該步驟, 可以得到M的一個(gè)分次投射分解P·, 且Pi是δ(i)次生成的.

關(guān)于d-Koszul情形類似引理1和引理2的結(jié)論可參見文獻(xiàn)[10]. 下面給出定理1的證明. 一般地, 函子Hom及Ext都在分次模范疇中.

由于A0=B0, 于是簡(jiǎn)記?A0,?B0為?. 由于B=A/(a), 從而有短正合列0 →Aa→A→B→0. 對(duì)任意整數(shù)j, 用Homgr(A)(-,A0[j])作用, 根據(jù)長(zhǎng)正合列定理, 對(duì)任意整數(shù)n≥1, 有Extn(A,A0[j])=0, 由于Aa?A, 于是

Extn(B,A0[j]) ? Extn-1(Aa,A0[j])=0,n≥1,

從而對(duì)任意整數(shù)n≥2, 有Extn(B,A0[j])=0. 由于a∈Ad, 故Aa是d次生成的, 從而當(dāng)jd時(shí), Ker(Hom(A,A0[j]) → Hom(Aa,A0[j]))=0. 從而對(duì)任意的j≠d=δ(2), 有Ext1(B,A0[j])=0.

由于X0是半單模, 從而對(duì)任意的j≠d, 有Ext1(B?X0,A0[j])=0, 及對(duì)整數(shù)n≥2, 均有Extn(B?X0,A0[j])=0. 令C={X∈gr0(B)|X作為A模是(d,a,b)-Koszul模}, 而在gr0(B)中有短正合列

0 →Ω0(X) →B?X0→X→ 0.

(3)

對(duì)式(3)用Homgr(A)(-,A0[j])作用, 根據(jù)長(zhǎng)正合列定理, 當(dāng)整數(shù)n≥3時(shí), 對(duì)任意的j≠δ(n), 有

Extn-1(Ω0(X),A0[j]) ? Extn(X,A0[j])=0.

由于當(dāng)j≠d時(shí), Ext1(Ω0(X),A0[j])=Ext2(X,A0[j])=0, 于是對(duì)j≠d, 有Ext1(Ω0(X),A0[j])=0. 又由于當(dāng)j≠0時(shí), Hom(X,A0[j])=Hom(B?X0,A0[j])=0, 于是對(duì)任意的j≠d, 有

Ext1(Ω0(X),A0[j]) ? Ext2(X,A0[j])=0.

根據(jù)正合列(3)知, Hom(Ω0(X),A0[j])=0,j≤0. 又由于當(dāng)j≠1時(shí), Ext1(X,A0[j])=0, 于是當(dāng)j>1時(shí), Hom(Ω(X),A0[j])=0. 從而當(dāng)j≠1時(shí), Hom(Ω0(X),A0[j])=0.

由上面的討論可知,Ω0(X)[1]∈gr0(A), 根據(jù)正合列

0 →Ω1(X) →B?(Ω0(X)[1])0→Ω0(X)[1] → 0,

(4)

對(duì)式(4)用Homgr(A)(-,A0[j])作用, 再利用長(zhǎng)正合列定理, 通過類似的討論知, 對(duì)任意整數(shù)n≥1, 有Extn(Ω1(X),A0[j])=0,j≠δ(n+2), 又由于Hom(Ω1(X),A0[j])=0,j≠δ(2)=d. 于是Ω1(X)[d]∈D?gr0(A). 從而根據(jù)引理1可知,X作為B模是(d,a,b)-Koszul的. 取X為B0?A0, 可知B為(d,a,b)-Koszul代數(shù).

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