趙 敏，陳 忠 （長江大學一年級教學工作部，湖北 荊州434025）

模糊圖像復原就是根據(jù)觀察到的退化圖像重建理論上清晰圖像的過程，是模式識別、圖像理解與分析、計算機視覺的基礎，并被廣泛地應用于醫(yī)學檢測、軍事探測、交通監(jiān)控和天文研究等重要領域。目前最重要且最困難的問題是無參數(shù) （Non－Parameter）模糊圖像的盲復原，即此時的模糊核對應于成像設備的運動軌跡，而不再是用一個函數(shù)便可簡單描述的直線運動情形。

對于模糊圖像的盲復原，現(xiàn)在主要采取2種復原思路：①模糊核的估計和清晰圖像的復原同時進行［1－2］；②先估計出模糊核，然后在已知模糊核的前提下進行圖像復原。第2種思路較第1種思路降低了問題求解的不適定性，便于穩(wěn)定和高效地復原模糊圖像。Fergus等［3］結合自然圖像的統(tǒng)計特征，在構建MAP（Maximum a Posterior）方程的基礎上，利用集學習 （Ensemble Learning）理論很好地估計了運動模糊核。由于該MAP過程涉及大量的變量，使得模糊核的估計速度非常緩慢。在圖像復原階段，基于最大似然函數(shù)的Richardson－Lucy（RL）算法因其高效和穩(wěn)定性得到廣泛的研究和應用［4－6］。針對RL算法缺乏對解強加平滑性約束的不足，Tai等［7］基于雙邊正則化 （Bilateral）理論構建了改進的RL算法。鑒于該算法的復原結果依然存在振鈴效應的問題，劉文等［8］在分析圖像紋理信息幾何特征的基礎上，基于非局部正則化 （Non－Local）理論提出了改進的RL算法，顯著提高了圖像復原的質量，但因過高的計算復雜度限制了其進一步的應用。為此，筆者采用先估計模糊核后復原模糊圖像的思路，借鑒Krishnan等［9］構建了一種改進的Richardson－Lucy正則化算法。

1 運動模糊核的估計

筆者所考慮的運動模糊情形為空間一致 （Uniform）的，即圖像中各點被模糊的程度均相同，此時模糊圖像的數(shù)學模型可以利用卷積的形式來表達：

式中，g為觀察到的模糊圖像；u為清晰圖像；k為模糊核（或可稱為點擴展函數(shù)PSF）；“?”表示卷積運算符；ε為服從獨立同分布的零均值高斯白噪聲。

對于運動模糊圖像的盲復原，筆者先估計模糊核，然后在估計模糊核的基礎上構建復原模型。在貝葉斯框架下，使用模糊核的擬合分布函數(shù)、噪聲分布估計函數(shù)和自然圖像的梯度估計分布函數(shù)等先驗知識建立MAP方程來估計模糊核，雖然能夠很好地得到模糊核的估計值［3，10］，但由于其過大的計算復雜度限制了其應用范圍。

為提高模糊核的估計精度，筆者在圖像的梯度空間構建相關的正則化模型。令x與y方向的梯度算子分別為 ▽x＝［1，－1］和▽y＝［1，－1］－1，對應的變量分別為x＝［▽xu，▽yu］1和y＝［▽xg，▽yg］1，并假設此時的加性高斯白噪聲為ω，則像素空間中的數(shù)學模型（1）在梯度空間中轉換成：

按照文獻［9］估計運動模糊核的思路，得到相對應的正則化模型：

因求解模型（3）是一個典型的非凸優(yōu)化問題，此時將其轉化成2個子問題的求解，即：

并分別利用收縮閾值迭代算法和加權迭代最小二乘算法求解子問題，即可穩(wěn)定有效地得到運動模糊核，接下來的工作便在估計模糊核的基礎上構建圖像復原模型。

2 改進的Richardson－Lucy正則化方法

模糊圖像的復原可看作是模糊成像 （1）的逆過程，即由觀測的模糊圖像g、模糊核k和圖像先驗信息估計清晰圖像u的過程。模糊圖像的復原是一個典型的不適定性問題，因模糊核的測量誤差或觀察圖像存在的污染噪聲都會對最終的復原結果產(chǎn)生較大的影響。在估計運動模糊核的基礎上，筆者在貝葉斯框架下來對模糊圖像進行復原，此時模糊圖像復原的過程可表示為［8］：

由條件概率公式可知：

聯(lián)立式（6）與式（7）得到：

式（8）即為改進的Richardson－Lucy正則化算法（MRL）。下面重點研究P（g，k｜u）和P（u）。為抑制復原圖像中的振鈴效應，充分利用圖像像素空間和梯度空間的統(tǒng)計性質，令P（g，k｜u）＝Pu（g，k｜u）P▽u（▽g，k｜▽u），此時式（8）轉換成：

因ε和ω均為服從獨立同分布的零均值高斯白噪聲，假設其標準差分別為σε和σω，則依據(jù)噪聲的分布特征有：

接下來考慮對自然圖像的梯度約束R（u）。該問題在本質上反映了對自然圖像梯度概率分布函數(shù)的擬合，筆者采用較為簡潔的Hyper－Laplacian函數(shù)作為先驗信息P（u）的逼近，即對應的R（u）＝｜▽u｜p。依Krishnan對自然圖像Hyper－Laplacian分布的研究，廣義系數(shù)p取0.8較為合適［11］，則模糊圖像復原對應的能量泛函為：

利用梯度下降法，可得到能量泛函（10）對應的迭代求解公式，即改進的Richardson－Lucy正則化算法：

式中，λ，γ＞0均為正則化參數(shù)。式（11）后2項為正則化項，用來克服原有RL算法易產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象的缺點。為增強MRL在復原模糊圖像中的反擴散能力，以銳化復原圖像的邊緣與輪廓，筆者在局部坐標系下對式（11）的最后1項進行離散，即：

利用傅里葉變換及其逆變換得到正則化項Φ（·）的表達式為：

式中，f和f－1分別表示傅里葉變換和傅里葉逆變換，且為f（·）的復共軛矩陣，設迭代初始值為u0＝g。

3 試驗結果及分析

為驗證MRL算法在模糊圖像復原中的有效性，現(xiàn)以未知模糊核的Girl圖像為例進行試驗，并與Fergus［3］和 Krishnan［9］的圖像復原結果 （見圖1）進行比較分析。試驗在 CPU Intel（R）2.0GHz、1G內(nèi)存、Matlab 7.0的環(huán)境下進行。正則化參數(shù)分別為λ＝1和γ＝0.5，且該迭代算法滿足如下的停機準則：

由圖1可以看出，F(xiàn)ergus的復原結果不能很好地再現(xiàn)目標圖像的紋理細節(jié)結構，且存在一定的振鈴效應；Krishnan方法雖在一定程度上能克服振鈴效應的產(chǎn)生，但由于所選取的超拉普拉斯先驗信息不能很好地擬合自然圖像的梯度分布，使得復原圖像存在過平滑的問題，這在局部放大圖像中可清晰地觀察到這一不足；筆者提出的改進的RL正則化算法對圖像復原的結果施加更強的約束性，即使模糊核估計存在一定的誤差，該算法依然能夠有效地復原模糊圖像，再現(xiàn)圖像中的紋理細節(jié)信息，并能有效地抑制復原圖像中產(chǎn)生振鈴效應。

圖1 模糊圖像Girl的復原結果比較

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