葛新民，謝關寶，范宜仁，盧志遠，霍寧寧

（1.中國石油大學地球科學與技術學院，山東 青島266555；2.中國石油大學CNPC測井重點實驗室，山東 青島266555；3.中國石油化工股份有限公司石油工程技術研究院，北京100101；4.中國石油新疆油田公司勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依834000）

0 引 言

多孔介質巖石的孔隙結構對于非均質復雜儲層的測井評價具有重要意義，是儲層類型劃分、流體識別及儲量計算的重要參數。巖石孔隙的曲折度是定量分析孔隙結構及其復雜程度的關鍵參數之一，國內外學者對該參數開展了大量的理論和實驗分析工作。Perkins等［1］推導了電曲折度與電阻增大率和孔隙度的關系；Koponen等［2］建立了曲折度與孔隙度的經驗公式；Adisoemarta等［3］認為曲折度是電流傳播方向與流體流動方向之間的夾角及膠結指數的函數；Olny等［4］通過聲學方法得到了曲折度的表達關系式；Fellah等［5］通過人造玻璃球試驗研究了曲折度與孔隙度、孔隙結構的關系；Attia等［6］研究了含水飽和度、孔隙度、膠結指數等對曲折度的影響。本文采用等效雙孔介質理論，將復雜的巖石—孔隙系統(tǒng)等效成柱狀雙孔毛細管模型并引入電、聲曲折度概念，采用歐姆定律一維波動方程的線性歐拉解，證明了聲、電曲折度的一致性，分析了曲折度的影響因素及其在彈性參數計算中的應用。

1 等效雙孔介質模型及電學參數

沉積、成巖及后生改造作用使得儲層的原生孔隙受到破壞，導致孔隙類型、孔隙大小及分布的復雜性。對于孔隙－裂縫或孔隙－溶孔系統(tǒng)，其儲集空間均可以看成是2組不同性質孔隙的組合，因此，采用雙組分孔隙模型進行巖石等效是行之有效的。圖1顯示的是真實的孔隙結構到抽象的等效雙孔介質模型的示意圖。圖1（a）為某巖心樣品的背散射掃描電鏡（BSE）照片（黑色部分為孔隙、灰白色部分為骨架，可看出不同大小的孔隙雜亂分布在骨架中），圖1（b）為簡化后的等效雙孔介質模型（圓圈部分代表大孔隙，長條部分代表小孔隙或裂縫）。

圖1 等效雙孔介質模型示意圖

從孔隙拓撲學觀點可知，無論是孔隙還是裂縫，都可等效為具有一定直徑和長度的直圓柱體。對于等效雙孔介質，假設巖石孔隙由大孔和小孔組成，且兩者相互連通，則其剖面模型可以簡化為相互連通的柱狀毛細管模型。圖2是雙孔介質的等效巖石組分模型［7］。巖石由骨架、大孔隙部分、小孔隙部分（灰色部分代表巖石骨架，白色部分代表不同大小的孔隙）。為了定量描述各孔隙體積，定義孔隙組分比，表示不同孔隙的體積比，即

圖2 雙孔介質的巖石等效組分物理模型

假設大孔隙部分Vp的直徑為Dp，橫截面積為Sp，孔隙長度為lp；小孔隙部分Va的直徑為Da，橫截面積為Sa，孔隙總長度為l（見圖3），則式（1）可變?yōu)?/p>

巖石的總孔隙度為

由式（2）和式（3）可得

若巖石中不存在導電礦物，根據并聯導電原理可得到等效雙孔介質巖石的總電阻為

式中，Rw為地層水電阻率，Ω·m；ρp、ρa分別為大孔隙和小孔隙部分的電阻，Ω。

巖石完全含水時的電阻率可以表示為

結合阿爾奇公式及式（7）可得到地層因數

從式（8）可知，巖石的地層因數是孔隙組分比c和孔隙度的函數，說明巖石的電學性質不僅受到巖石孔隙度的影響，而且還受到孔隙組分及相對含量的影響。

圖3 等效雙孔介質剖面參數

Perkins等推導出了電曲折度與地層因數和孔隙度的關系為（其物理模型見圖4，圖4中L和A分別為巖石的長度和截面積；Lw和Aw分別代表電流通過等效孔道的長度和截面積）［1，8］

式（9）說明，電曲折度是地層因數和孔隙度的函數，隨著地層因數和孔隙度乘積的增大而增大，結合式（8）可知，電曲折度受孔隙組分比和孔隙度的雙重影響。

圖4 電曲折度巖石等效結構

2 一維波動方程與聲曲折度計算

由于多孔介質中孔隙大小、孔隙方向及其與巖層夾角不同，聲波在不同的孔隙中存在不同的衰減特征，這種衰減特性與各組分孔隙比例有關。如圖1（b）所示，當聲壓作用在巖石兩端時，大孔隙部分發(fā)生震動，但小孔隙（裂縫）部分還不能完全發(fā)生震動。這可近似認為小孔隙介質的密度要大于大孔隙介質，因此聲波在大孔隙中衰減快，在小孔隙中衰減慢。聲波在不同孔隙中的衰減差異可用聲曲折度ks表示，當聲曲折度等于1時，說明大小孔隙內聲波的衰減速度相同［9］。

采用歸一化的歐拉公式求解一維波動方程。如圖2所示，X方向的聲波速度可以寫成［9－10］

式中，ks為聲曲折度；ω為角頻率；ρ0為流體密度；p為聲壓。

對于非黏性流體，雙孔介質中各組分孔隙的聲波速度方程可以寫為

雙孔介質中聲波速度與孔隙截面積有關，因此，各組分孔隙中的聲波速度存在以下關系

由時間平均方程可知，X方向的平均聲波速度可以等效為各組分聲波速度的體積平均［10］

雙孔介質中聲壓的X方向微分方程可以寫為

可解出聲曲折度ks為

將式（8）代入式（16）替換孔隙組分比c，可得

式（17）表明，聲曲折度與電曲折度在數值上是相等的，即電－聲曲折度在表征巖石孔隙結構時具有同一性。

3 曲折度影響因素分析及其在巖石彈性參數中的應用

圖5是不同孔隙度、不同孔隙組分比時曲折度的變化曲線。從圖5中可知，當孔隙度分布在1%～40%之間時，曲折度隨著孔隙組分比的增大而呈指數衰減?？紫督M分比從0變化到2時，曲折度衰減最厲害；當孔隙組分比大于2時，曲折度隨孔隙組分比的變化幅度非常緩慢。由于孔隙組分比定義為小孔隙體積與大孔隙體積的比值，當巖石以大孔隙組分為主時，隨著小孔隙組分的增大，其曲折度變化十分劇烈；但當巖石以小孔隙組分為主時，其曲折度變化十分緩慢，幾乎不受影響。從圖5中還可以看出，巖石的曲折度隨著孔隙度的增大而減小，但其幅度變化非常小，說明影響巖石曲折度的主要因素是孔隙結構而非孔隙度。

圖5 曲折度與孔隙組分比、孔隙度的關系

圖6 氦氣法孔隙度與浮重法孔隙度對比

為了研究曲折度與巖石彈性參數之間的關系，選取了我國西部某盆地的孔隙性碳酸鹽巖儲層的巖心進行了常溫常壓下的巖石聲學、電學參數測試。所取樣品巖性為白云巖，其氦氣孔隙度分布在4%～26.82%，氦氣滲透率分布在（0.036 2～1 210）×10－3μm2之間，非均質性十分嚴重。為了使巖心完全飽和，采用20MPa恒定壓力進行48h的鹽水飽和，同時用浮重法測試其孔隙度。飽和鹽水為NaCl溶液，濃度為50 000mg／L，測試環(huán)境為常溫常壓（25℃、1MPa），巖心測試結果見表1。巖石的曲折度用式（17）計算。圖6為氦氣法孔隙度與浮重法孔隙度的對比，兩者十分一致，均落在45°線左右，平均絕對誤差為0.255%，平均相對誤差為1.85%。圖7和圖8分別是曲折度與體積模量和剪切模量的交會圖，從圖7、圖8可知，曲折度隨著體積模量和剪切模量的增大而增大，且呈較好的線性關系，其復相關系數分別為0.904和0.915。經擬合，實驗的曲折度（ks）與體積模量（K）和剪切模量（G）的關系為

表1 巖心樣品聲、電測試結果表

式中，K和G分別代表體積模量和剪切模量，×104MPa。

式（18）和式（19）表明，若已知巖石的電阻率和孔隙度，便可以求得曲折度并可直接通過擬合法得到巖石的體積模量、剪切模量等，進而計算巖石的泊松比、縱橫波速度比等其他彈性參數。巖石的體積模量和剪切模量與巖石曲折度的關系可寫成通式

式中，a和b分別為擬合參數，不同地區(qū)具有不同的值；ks為巖石曲折度；Y為巖石的體積模量或剪切模量，×104MPa。

4 結 論

（1）通過等效雙孔介質模擬可知，巖石的電曲折度和聲曲折度在數值上是相等的，證明了聲曲折度和電曲折度在表征孔隙結構的一致性。

（2）巖石的曲折度主要受控于孔隙結構而非孔隙度。曲折度與孔隙組分比呈良好的指數衰減關系。當孔隙組分比小于2時，曲折度隨孔隙組分比的增大而迅速減小，當孔隙組分比大于2時，曲折度隨孔隙組分比增大而逐漸減小，但減小幅度非常小。

（3）曲折度與巖石的體積模量、剪切模量存在良好的正相關線性關系。對于聲波測井數據不全的井，可通過曲折度進行巖石彈性參數的估算。

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