徐 惠, 許永紅, 劉曉偉, 溫朝暉

(1. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030; 2. 蚌埠學(xué)院 數(shù)理系, 安徽 蚌埠 233030)

沖擊波理論在量子物理、 光學(xué)、 流體力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 目前已有很多研究結(jié)果[1-4]. 其中, 使用漸近方法求解沖擊波是一種較新的方法, 它改變了以往單純用數(shù)值模擬討論沖擊波的性態(tài), 而是通過解析理論得到?jīng)_擊波的近似表達(dá)式. 其優(yōu)點(diǎn)在于可以通過漸近表達(dá)式進(jìn)一步用解析運(yùn)算工具對沖擊波性態(tài)進(jìn)行更深入的研究[5-7]. 近年來, 許多漸近方法不斷被改進(jìn)[8-10]. 文獻(xiàn)[11-17]應(yīng)用漸近方法討論了一類非線性問題. 本文用一種改進(jìn)的漸近方法討論一類非線性擾動(dòng)Schr?dinger耦合系統(tǒng), 并得到了對應(yīng)沖擊波的近似解. 考慮如下非線性擾動(dòng)Schr?dinger耦合系統(tǒng):

其中:u(x,t),v(x,t)為對應(yīng)系統(tǒng)的物理場函數(shù);a為正參數(shù);f,g為擾動(dòng)項(xiàng), 是在相應(yīng)的變化范圍內(nèi)充分光滑的有界函數(shù). 系統(tǒng)(1)-(2)描述了一類光導(dǎo)纖維等方面的沖擊波傳播系統(tǒng)[18]. 本文用一個(gè)簡單的方法得到了系統(tǒng)(1)-(2)的漸近解.

先考慮如下典型的Schr?dinger耦合系統(tǒng):

引入行波變換ξ=x+ct, 其中c為波速. 利用G′/G方法[18]可得系統(tǒng)(3)-(4)具有如下的精確沖擊波解:

其中:σ>0為常數(shù);Ci(i=1,2)為任意常數(shù);

(7)

1 擾動(dòng)Schr?dinger耦合系統(tǒng)的近似解

由于非線性耦合系統(tǒng)(1)-(2)一般不能得到初等函數(shù)形式的精確解, 因此為了得到擾動(dòng)Schr?dinger耦合系統(tǒng)(1)-(2)沖擊波解的近似表示式, 先引入泛函[6]:

(8)

(9)

(10)

由式(9),(10), 有解

(11)

于是, 由式(8),(11), 可構(gòu)造求解u(x,t)的迭代式:

(12)

再由式(2), 可構(gòu)造求解v(x,t)的迭代式:

(13)

由式(5),(6), 選取初始迭代u0(x,t),v0(x,t)為

(14)

從而, 由式(12),(13)和式(5),(6),(14), 可得系統(tǒng)(1)-(2)的一次近似解:

2 應(yīng)用實(shí)例

為簡單, 考慮一個(gè)特殊的擾動(dòng)Schr?dinger耦合系統(tǒng), 其擾動(dòng)項(xiàng)為f(u,v)=εsinu,g(u,v)=εcosv, 其中ε為小參數(shù). 此時(shí)系統(tǒng)(1)-(2)為

由式(5),(6),(14), 選取初始近似u0(x,t),v0(x,t)為

其中B(x,t)由式(7)表示.

由式(12),(13)和式(17),(18), 可得系統(tǒng)(15)-(16)的一次近似解和二次近似解:

繼續(xù)利用同樣的方法可得擾動(dòng)Schr?dinger耦合系統(tǒng)(15)-(16)的更高次近似的沖擊波解un app(x,t),vn app(x,t)(n=3,4,…). 也可證明非線性擾動(dòng)Schr?dinger耦合系統(tǒng)(15)-(16)的沖擊波解有如下估計(jì)式[19]:u(x,t)=un app(x,t)+O(εn+1),v(x,t)=vn app(x,t)+O(εn+1), 0<ε?1. 因此, 利用本文提出的漸近方法得到的沖擊波近似解具有較好的精確度.

綜上所述, 由于沖擊波理論來源于一類復(fù)雜的自然現(xiàn)象, 因此需要簡化它為基本模型. 本文利用變分迭代理論用一個(gè)簡單而有效的方法得到了非線性擾動(dòng)Schr?dinger耦合系統(tǒng)的沖擊波漸近解. 由漸近方法求解模型的近似解, 不同于單純模擬得到的數(shù)值解. 由于漸近解具有解析形式的結(jié)構(gòu), 因此它還可以進(jìn)行微分、 積分等解析運(yùn)算, 從而進(jìn)一步了解相應(yīng)沖擊波解的更深層性態(tài).

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