叢令梅,馬 俊,王克協(xié)

(1. 浙江海洋學(xué)院 數(shù)理與信息學(xué)院,浙江 舟山 316004;2. 吉林大學(xué) 物理學(xué)院,長春 130012)

流體飽和孔隙介質(zhì)聲學(xué)理論[1]廣泛應(yīng)用于地球物理勘探領(lǐng)域. 但在許多情況下,依據(jù)該理論預(yù)測的能量耗損和速度頻散比實(shí)際測量值低. Dvorkin等[2]將Biot流動(dòng)和噴射流動(dòng)綜合,建立了多孔隙介質(zhì)的Biot-噴射流統(tǒng)一模型(Biot-Squit模型),簡稱BISQ模型. 該模型增加了一個(gè)新的儲(chǔ)層參數(shù)——特征噴射流長度. 目前,人們對(duì)該模型的研究已取得較多成果[3-10]. 研究表明,噴射流動(dòng)機(jī)制是導(dǎo)致彈性波強(qiáng)頻散和高衰減的原因之一. 該模型目前已應(yīng)用到聲波測井研究中,如在BISQ模型下描述各向同性介質(zhì)地層中的井孔導(dǎo)波頻散和衰減與噴射流間的關(guān)系[11].

含油氣儲(chǔ)層典型的各向異性介質(zhì)是由周期薄互層(PTL)和裂隙定向分布(EDA)形成的橫向各向同性(TI)介質(zhì). Parra[12]在近似假設(shè)下,導(dǎo)出了考慮噴射流機(jī)制的橫向各向同性(VTI)孔隙介質(zhì)的彈性波場方程,由于引入兩個(gè)各向異性噴射流長度,因此其特點(diǎn)與各向同性的BISQ模型不同. 楊頂輝等[13]通過引入質(zhì)量耦合系數(shù)的各向異性,對(duì)該理論模型進(jìn)行了改進(jìn). 文獻(xiàn)[14-16]針對(duì)物探需要或波場模擬進(jìn)行了研究. 本文采用考慮噴射流機(jī)制的橫向各向同性BISQ模型模擬橫向各向同性孔隙地層,先理論求解該地層包圍的流體井孔體系的多極穩(wěn)態(tài)聲場,再研究各向異性噴射流長度變化對(duì)單極Stoneley波和偶極彎曲波頻散與衰減的影響.

1 理論求解具有噴射流機(jī)制的VTI地層中井孔聲導(dǎo)波場

研究具有噴射流機(jī)制的VTI地層中井孔多極聲導(dǎo)波場傳播特征,關(guān)鍵是求解該地層模型下井外位移場方程,再利用井壁邊界條件,得到井孔和地層體系聲導(dǎo)波場的特征方程——復(fù)頻散方程,通過數(shù)值求解復(fù)頻散方程可得導(dǎo)波的頻散與衰減.

對(duì)井外介質(zhì),用固相骨架位移u和液相位移V作為描述聲場的廣義坐標(biāo),由于VTI具有對(duì)鉛直軸的軸向?qū)ΨQ性,因此選擇以井軸為z軸的圓柱坐標(biāo)系. BISQ模型下VTI介質(zhì)穩(wěn)態(tài)的波場方程[12]為

(1)

其中:ω為頻率;σ為孔隙液體有效液應(yīng)力;σ為骨架應(yīng)力張量,在圓柱坐標(biāo)系中的分量與固、 液相相應(yīng)的應(yīng)變分量的關(guān)系為:

(2)

式中:eij和εij分別為固相和液相應(yīng)變分量;A,N,C,F,L為VTI介質(zhì)骨架彈性模量;

(3)

α=(2α1+α3)/3,α1=1-(2A-2N+F)/(3KS),α3=1-(2F+C)/(3KS),KS為骨架基質(zhì)壓縮模量,Kf為孔隙流體壓縮模量,α,α1,α3為孔隙壓力系數(shù);

式中:

ρ11=ρ1-ρ12,ρ22=ρ2-ρ12ρ12=(1-α∞)φρf,ρ1=ρs(1-φ),ρ2=ρfφ;

α∞為孔隙彎曲度,φ為孔隙度,ρs為骨架基質(zhì)密度,ρf為孔隙流體密度,η為流體動(dòng)力黏滯系數(shù),kH和kV分別為橫向和縱向滲透率.

各向異性噴射流因子

(4)

求解井外場引入位移勢(shì):

(5)

將式(5)和式(2)代入式(1)可得柱坐標(biāo)系下關(guān)于縱、 橫波勢(shì)函數(shù)滿足的波動(dòng)方程,在各向同性孔隙地層中,φ和φ′表示縱波場,χ,χ′和ψ,ψ′分別表示質(zhì)點(diǎn)偏振方向與水平面平行的橫波場(SH)和質(zhì)點(diǎn)偏振方向與水平面垂直的橫波場(SV),對(duì)于VTI介質(zhì),縱波(P)與SV波耦合,與SH波脫耦. 式(5)中勢(shì)函數(shù)解對(duì)n極場可表示為

選井內(nèi)流體位移勢(shì)U=Φ,井內(nèi)聲波場解的n級(jí)多極場頻率波數(shù)域勢(shì)函數(shù)[18]可表示為

Φn(r,θ,kz,ω)=AnIn(υr)cosn(θ-θ0),

(6)

(7)

其中上角標(biāo)(1)和(2)分別為井內(nèi)外的量. 將井內(nèi)外位移和應(yīng)力表達(dá)式代入式(7),整理后可得井內(nèi)一個(gè)權(quán)系數(shù)An和井外4個(gè)獨(dú)立權(quán)系數(shù)滿足的齊次代數(shù)方程組:

(8)

(9)

mij的具體形式可參見文獻(xiàn)[19],式(9)即為聲波沿井傳播簡正模式(簡稱模式波)滿足的特征方程. 由于該波導(dǎo)沿井軸方向是無限的,因此也稱該類波為(制)導(dǎo)波. 由于介質(zhì)耗散吸收,因此式(9)也稱為軸向波數(shù)kz滿足的復(fù)頻散方程. 在確定頻率下求出的根km(m=1,2,…)為復(fù)量,進(jìn)而可求出導(dǎo)波的相速度和品質(zhì)因數(shù)倒數(shù)表示的衰減系數(shù):

(10)

(11)

2 數(shù)值結(jié)果分析

本文數(shù)值求解井孔導(dǎo)波聲場,并考察各向異性噴射流長度變化對(duì)井孔傳播模式——單級(jí)Stoneley波和偶極彎曲波頻散與衰減的影響. 特征噴射流長度為一個(gè)不能直接測量的隱參數(shù),當(dāng)長度較小時(shí),噴射流效應(yīng)較明顯,隨著其值的增大,噴射流效應(yīng)減弱,若特征噴射流長度趨于無窮,則回到Biot介質(zhì)情況. 由文獻(xiàn)[2]可知,當(dāng)特征噴射流長度為毫米量級(jí)時(shí),其影響較明顯,為考察特征噴射流長度的影響,本文令縱、 橫向特征噴射流長度R1和R3在幾毫米之間變化.

井內(nèi)外介質(zhì)物理和幾何參數(shù)按井下常見情況選取: 井孔半徑a=0.1 m,井內(nèi)流體密度ρ0=1 000 kg/m3,流體聲速vf=1 500 m/s,孔隙度φ=0.1,固相密度ρs=2 445 kg/m3,液相密度為1 000 kg/m3,聲速為1 500 m/s,黏滯系數(shù)為0.001 kg/(m·s),雙相介質(zhì)地層其他參數(shù)列于表1.

表1 雙相介質(zhì)地層參數(shù)Table 1 Parameters of two phase poro-elastic formation

橫向各向同性BISQ模型下單極源激發(fā)Stoneley波的頻散和衰減曲線如圖1所示. 先固定特征噴射流長度R3,計(jì)算R1變化的頻散與衰減曲線(圖1(A),(B)),再固定R1改變R3進(jìn)行同樣計(jì)算(圖1(C),(D)). 其中相速度曲線用井孔流體聲速進(jìn)行歸一化. 實(shí)線對(duì)應(yīng)采用Biot模型時(shí)的結(jié)果,點(diǎn)線、 虛線和鎖線分別對(duì)應(yīng)特征噴射流長度為2,4,5 mm時(shí)的BISQ模型結(jié)果. 由圖1(A)和(C)可見,噴射流長度變化不影響橫向各向同性BISQ模型下井孔Stoneley波的頻散特性,與采用Biot模型的計(jì)算結(jié)果差別較小,但衰減差別較大,采用BISQ模型時(shí)井孔Stoneley波的衰減明顯增加,大于采用Biot模型時(shí)的衰減,理論和實(shí)際觀測結(jié)果相符.

圖1 單極Stoneley波的頻散(A),(C)和衰減(B),(D)曲線Fig.1 Curves of dispersion (A),(C) and attenuation (B),(D) for unipolar Stoneley waves

橫向各向同性BISQ模型下偶極源激發(fā)最低階彎曲波的頻散和衰減曲線如圖2所示,其中實(shí)線對(duì)應(yīng)Biot模型,點(diǎn)線、 虛線和鎖線分別對(duì)應(yīng)特征噴射流長度為2,4,5 mm時(shí)的BISQ模型結(jié)果. 由圖2可見: 橫向各向同性BISQ下彎曲波的相速度頻散受噴射流長度影響較小,即在截止頻率處采用橫向各向同性BISQ模型計(jì)算的彎曲波相速度小于采用未考慮噴射流機(jī)制Biot模型時(shí)的值;衰減明顯大于采用Biot模型時(shí)的衰減,其衰減曲線存在一個(gè)明顯的峰值,彎曲波比Stoneley波衰減曲線的變化復(fù)雜;當(dāng)大于某個(gè)頻率時(shí),衰減隨特征噴射流長度R1的增加而增大,隨R3增加而減小;當(dāng)小于某個(gè)頻率時(shí),衰減隨特征噴射流長度R1的增加而減小,隨R3增加而增大. 即彎曲波的衰減隨特征噴射流長度R1和R3的變化趨勢(shì)相反,且在某個(gè)頻率點(diǎn)發(fā)生變化趨勢(shì)反轉(zhuǎn). 在各向同性地層下,彎曲波的衰減在所有頻率范圍均隨特征噴射流長度單調(diào)變化[11],當(dāng)特征噴射流長度趨于無窮時(shí),回到純Biot介質(zhì)情況.

圖2 偶極彎曲波的頻散(A),(C)和衰減(B),(D)曲線Fig.2 Curves of dispersion (A),(C) and attenuation (B),(D) for dipole flexural waves

綜上所述,本文采用同時(shí)考慮Biot流動(dòng)和噴射流動(dòng)機(jī)制的橫向各向同性BISQ模型模擬實(shí)際地層,理論求解了橫向各向同性地層裸眼井孔聲場,得到了井孔導(dǎo)波的復(fù)特征方程,并計(jì)算考察了井孔導(dǎo)波單極Stoneley波和偶極彎曲波的頻散與衰減特性. 當(dāng)不考慮噴射流動(dòng)時(shí),所得結(jié)果與文獻(xiàn)[18]相符;退化到各向同性地層時(shí),所得結(jié)果與文獻(xiàn)[11]相符. 數(shù)值結(jié)果表明: 水平和垂直特征噴射流長度不影響井孔導(dǎo)波的頻散,但對(duì)井孔導(dǎo)波的衰減影響較大;當(dāng)橫向各向同性地層考慮噴射流機(jī)制時(shí),采用Biot理論模型的Stoneley波和彎曲波衰減均增大,更接近實(shí)際衰減值;Stoneley波衰減隨水平特征噴射流長度增加而增大,隨垂直特征噴射流長度增加而減小;彎曲波衰減隨水平和垂直特征噴射流長度改變的變化趨勢(shì)相反,且該變化趨勢(shì)在高頻和低頻時(shí)發(fā)生反轉(zhuǎn);導(dǎo)波特性隨水平和垂直特征噴射流長度改變的規(guī)律不同,其偶極彎曲波的衰減變化趨勢(shì)隨頻率增大發(fā)生反轉(zhuǎn).

[1] Biot M A. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluird-Saturated Porous Solid [J]. J Acoust Soc Am,1956,28(2): 179-191.

[2] Dvorkin J,Nur A. Dynamic Poroelasticity: A Unified Model with the Squirt and the Biot Mechanisms [J]. Geophysics,1993,58(4): 524-533.

[3] YANG Ding-hui,CHEN Xiao-hong. BISQ Model for Fluid-Filled,Porous Medium [J]. OGP,2001,36(2): 146-159. (楊頂輝,陳小宏. 含流體多孔介質(zhì)的BISQ模型 [J]. 石油地球物理勘探,2001,36(2): 146-159.)

[4] ZHU Jian-wei,HE Qiao-deng,TIAN Zhi-yu. BISQ-Based Seismic Wave Equation in Oil- and Water-Bearing Porous Media [J]. GPP,2001,40(4): 8-13. (朱建偉,何樵登,田志禹. 基于BISQ機(jī)制的含油水孔隙介質(zhì)地震波波動(dòng)方程 [J]. 石油物探,2001,40(4): 8-13.)

[5] YANG Kuan-de,YANG Ding-hui,WANG Shu-qiang. Wave-Field Simulation Based on the Biot-Squirt Equation [J]. Chinese J Geophys,2002,45(6): 853-861. (楊寬德,楊頂輝,王書強(qiáng). 基于Biot-Squirt方程的波場模擬 [J]. 地球物理學(xué)報(bào),2002,45(6): 853-861.)

[6] YANG Kuan-de,YANG Ding-hui,WANG Shu-qiang. Numerical Simulation by Staggered Grid Method for High Frequency Limited BISQ Equation [J]. OGP,2002,37(5): 463-468. (楊寬德,楊頂輝,王書強(qiáng). 基于BISQ高頻極限方程的交錯(cuò)網(wǎng)格法數(shù)值模擬 [J]. 石油地球物理勘探,2002,37(5): 463-468.)

[7] YANG Kuan-de,YANG Ding-hui,WANG Shu-qiang. Numerical Simulation of Elastic Wave Propagation Based on the Transversely Isotropic BISQ Equation [J]. Acta Seismologica Sinica,2002,24(6): 599-606. (楊寬德,楊頂輝,王書強(qiáng). 基于橫向各向同性BISQ方程的彈性波傳播數(shù)值模擬 [J]. 地震學(xué)報(bào),2002,24(6): 599-606.)

[8] NIE Jian-xin,YANG Ding-hui,YANG Hui-zhu. Inversion of Reservoir Parameters Based on the BISQ Model in Partially Saturated Porous Media [J]. Chinese J Geophys,2004,47(6): 1101-1105. (聶建新,楊頂輝,楊慧珠. 基于非飽和多孔隙介質(zhì)BISQ模型的儲(chǔ)層參數(shù)反演 [J]. 地球物理學(xué)報(bào),2004,47(6): 1101-1105.)

[9] CUI Zhi-wen,WANG Ke-xie,CAO Zheng-liang,et al. Slow Waves Propagation in BISQ Poroelastic Model [J]. Acta Physica Sinica,2004,53(9): 3083-3089. (崔志文,王克協(xié),曹正良,等. 多孔介質(zhì)BISQ模型中的慢縱波 [J]. 物理學(xué)報(bào),2004,53(9): 3083-3089.)

[10] HAO Zhen-jiang,CHEN Xiao-hong,LI Jing-ye. Time-Lapse Seismic Response Mechanism with Changes of Clay Content Based on BISQ Model [J]. Journal of China University of Petroleum: Edition of Natural Science,2009,33(4): 40-44. (郝振江,陳小宏,李景葉. 基于BISQ模型的泥質(zhì)含量變化時(shí)移地震響應(yīng)機(jī)制 [J]. 中國石油大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版,2009,33(4): 40-44.)

[11] CUI Zhi-wen,LIU Jin-xia,WANG Ke-xie. Influence of Squirt Flow on Guided Waves in a Borehole [J]. Journal of Jilin University: Science Edition,2005,43(6): 803-808. (崔志文,劉金霞,王克協(xié). BISQ模型中巖石噴射流對(duì)井孔聲導(dǎo)波的影響 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版,2005,43(6): 803-808.)

[12] Parra J O. The Transversely Isotropic Poroelastic Wave Equation Including the Biot and the Squirt Mechanisms: Theory and Application [J]. Geophysics,1997,62(1): 309-318.

[13] YANG Ding-hui,ZHANG Zhong-jie. Efects of the Biot and the Squirt Flow Coupling Interaction on Anisotropic Elastic Waves [J]. Chinese Sci Bull,2000,45(12): 1333-1340. (楊頂輝,張中杰. BIOT和噴射流動(dòng)耦合作用對(duì)各向異性彈性波的影響 [J]. 科學(xué)通報(bào),2000,45(12) : 1333-1340.)

[14] MENG Qing-sheng,HE Qiao-deng,ZHU Jian-wei,et al. Seismic Modeling in Isotropic Porous Media Based on BISQ Model [J]. Journal of Jilin University: Earth Science Edition,2003,33(2): 217-221. (孟慶生,何樵登,朱建偉,等. 基于BISQ模型雙相各向同性介質(zhì)中地震波數(shù)值模擬 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 地球科學(xué)版,2003,33(2): 217-221.)

[15] XUAN Yi-hua,HE Qiao-deng,MENG Qing-sheng,et al. Wave-Field Analysis for Two Phase EDA Medium Based on BISQ Mechanism [J]. OGP,2006,41(5): 550-556. (軒義華,何樵登,孟慶生,等. 基于BISQ機(jī)制的雙相EDA介質(zhì)的波場分析 [J]. 石油地球物理勘探,2006,41(5): 550-556.)

[16] LI Hong-xing,LIU Cai,TAO Chun-hui. Numerical Simulation of Elastic Wave Propagation by High-Order Staggered Grid Finite Difference Based on the Transversely Isotropic BISQ Equation [J]. OGP,2007,42(6): 686-693. (李紅星,劉財(cái),陶春輝. 基于橫向各向同性BISQ模型的彈性波高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分?jǐn)?shù)值模擬 [J]. 石油地球物理勘探,2007,42(6): 686-693.)

[17] Schmitt D P. Acoustic Multipole Logging in Transversely Isotropic Poroelastic Formation [J]. J Acoust Soc Am,1989,86(6): 2397-2421.

[18] ZHANG Bi-xing,DONG He-feng,WANG Ke-xie. Multipole Sources in a Fluid-Filled Borehole Surrounded by a Transversely Isotropic Elastic Solid [J]. J Acoust Soc Am,1994,96(4): 2546-2555.

[19] CONG Ling-mei. Theoretical and Numerical Analysis of Acoustic Fields Excited by a Multipole Source in Fluild-Filled Borehole Surrounded by the Transversely Isotropic Two-Phase Formation Including Biot-Squirt Mechanisms [D]. Changchun: Jilin University,2005. (叢令梅. BISQ橫向各向同性地層流體井孔中多極源激發(fā)聲波場的理論求解和數(shù)值分析 [D]. 長春: 吉林大學(xué),2005.)