任長(zhǎng)宇,牛 穎,袁洪君

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

0 引言及主要結(jié)果

(1)

文獻(xiàn)[7]中,取

其中Ω為 Rn中的嚴(yán)格k-1-凸區(qū)域. 為了得到解的最大模估計(jì),文獻(xiàn)[6-7]對(duì)ψ有增長(zhǎng)階的限制:

|ψ(x,t,z)|≤C0(1+|z|), ?(x,t,z)∈QT×R.

(2)

本文考慮如下拋物型k-Hessian方程第一初邊值問(wèn)題:

(3)

即

?1

如果λ(D2u)∈Γk,則稱(chēng)一個(gè)C2類(lèi)函數(shù)u為可容許函數(shù),也稱(chēng)函數(shù)u是k-凸的. 顯然,對(duì)于可容許函數(shù)u,問(wèn)題(3)中的方程為拋物型完全非線性偏微分方程.

基本假設(shè)條件如下:

(H3) 問(wèn)題(3)中ψ和φ滿足直到二階為止的銜接條件.

本文的主要結(jié)果如下:

定理1假設(shè)條件(H1)～(H3)成立,則問(wèn)題(3)存在可容許解u∈K,其中

若ψu(yù)≥0,則解是唯一的.

-Dtφ(x,t)+F(D2φ(x,t))=ψ(x,t,φ(x,t)), ?(x,t)∈Ω×{t=0}.

1 解的一階導(dǎo)數(shù)估計(jì)

令v(x,t)為如下以t為參數(shù)橢圓方程Dirichlet問(wèn)題的解：

(4)

對(duì)于ut的估計(jì),有如下結(jié)論:

顯然,如果G在邊界?pQT上某點(diǎn)P0達(dá)到其最小值,則存在一個(gè)可控常數(shù)C>0,使得ut≥-C. 假設(shè)G在QT內(nèi)部某點(diǎn)P0達(dá)到其最小值,不妨設(shè)該最小值為負(fù)數(shù),則有

(5)

ujt+(M-u)-1utuj=0,

(6)

并且矩陣

(uijt+(M-u)-1(uituj+ujtui+utuij)+2(M-u)-2uiujut)=(uijt+(M-u)-1utuij)≥0.

(7)

對(duì)問(wèn)題(3)中的方程關(guān)于t微分,有

-utt+Fijuijt=ψt+ψu(yù)ut,

(8)

因此,存在可控常數(shù)C>0,使得ut≥-C.

類(lèi)似地可估計(jì)ut的上界. 令G=ut(M+u)-1. 如果G在邊界?pQT上某點(diǎn)P0達(dá)到其最大值,則存在一個(gè)可控常數(shù)C>0,使得ut≤C. 假設(shè)G在QT內(nèi)部某點(diǎn)P0達(dá)到其最大值,則有

證明：由定理2,只需估計(jì)|Du|在QT內(nèi)部的界即可. 考慮檢驗(yàn)函數(shù)

W=weav2,

將式(13)兩端同時(shí)乘以w2Fij,有

wFijwij-Fijwiwj+2aw2vFijvij+2aw2Fijvivj≤0.

(15)

(16)

于是

(17)

由式(16)可得

從而

再由式(17),有

(18)

為了估計(jì)式(18)的右端項(xiàng),將問(wèn)題(3)中的方程關(guān)于xk微分,兩邊同乘uk后再求和,得

(19)

(20)

由式(12),(16)有

(21)

將式(20),(21)代入式(15)得

即

注意到Fijuij=k,并且上式右側(cè)有界,因此存在可控常數(shù)C1>0,使得2a(1-2av2)Fijuiuj≤C1. 選擇a>0充分小,使得(1-2av2)≥1/2,則有

Fijuiuj≤C,

(22)

這里C>0為可控常數(shù).

不失一般性,可以假設(shè)矩陣(uij)在P0點(diǎn)是對(duì)角矩陣. 因此,在P0點(diǎn)

還可以假設(shè)在P0點(diǎn)|Du|≤nu1. 由式(12),(16),u11=-2avw2<0. 利用f(λ)的如下性質(zhì)[9-10]:

?λ∈Γk,λj<0,

從而可得|Du|≤M1.

2 解的二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)

定理5的證明可以分為|D2u|在QT拋物邊界?pQT上的先驗(yàn)估計(jì)和在QT內(nèi)部的先驗(yàn)估計(jì)兩部分.

1) |D2u|在?pQT上的先驗(yàn)估計(jì).

由問(wèn)題(3)的初值條件,u(x,0)=φ(x,0),?x∈Ω,所以只需做u(x,t)在?Ω×[0,T]上的估計(jì)即可. 對(duì)?x0∈?Ω,通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)平移和旋轉(zhuǎn),不妨設(shè)x0為坐標(biāo)原點(diǎn),xn為?Ω的內(nèi)法向量. 于是在x0附近,?Ω可表示[8]為

其中κα為?Ω在x0點(diǎn)的主曲率. 由邊值條件u(x,t)=φ(x,t),?(x,t)∈?Ω×[0,T]可知,在(x0,t)點(diǎn),有

?α,β≤n-1,

(23)

從而得到了u的切向二階導(dǎo)數(shù)估計(jì)|uαβ(x0,t)|≤C,?α,β≤n-1.

?x∈Ωδ.

(24)

Lv≤-ε(1+∑Fii), (x,t)∈Qδ,v≥0, (x,t)∈?pQδ.

證明：由d(x)的定義,對(duì)任意的β

Ld2=2dLd+2FijDidDjd=2dLd+2Fnn,

Ld=-Dtd+FijDijd=FijDijd.

顯然存在依賴(lài)于?Ω和δ的可控常數(shù)C0>0,使得

|Ld|≤C0(1+∑Fii).

(25)

因此

Lv≤C1+C0(s+Nδ)+(C0(s+Nδ)-3ε)∑Fii-NFnn, (x,t)∈Qδ.

不失一般性,可假設(shè)f1≥…≥fn,于是有∑Fii=∑fi,Fnn≥fn. 由代數(shù)-幾何平均不等式,有

ε∑Fii+NFnn≥nε(Nf1…fn)1/n≥εnμ0N1/n=c1N1/n,

(26)

-Lh≤β(1+∑Fii), (x,t)∈Qδ.

證明：由引理1,可以選擇A?B?1,使得

Av+Bρ2-h≥0于?pQδ, L(Av+Bρ2-h)≤0于Qδ.

由拋物算子的極值原理知,Av+Bρ2-h≥0于Qδ. 注意到在(x0,t0)點(diǎn),Av+Bρ2-h=0,這蘊(yùn)含了Dn(Av+Bρ2-h)(x0,t0)≥0,即引理2成立.

為了估計(jì)可容許解的切、 法方向的混合二階導(dǎo)數(shù),將問(wèn)題(3)中的方程關(guān)于xm微分,得

-utm+Fijuijm=ψm+ψu(yù)um.

顯然,對(duì)每個(gè)m=1,2,…,n,有

(27)

|uαn(x0,t)|≤C, ?α

(28)

從而建立了可容許解u在?Ω×[0,T]上的切、 法方向二階混合導(dǎo)數(shù)的先驗(yàn)估計(jì).

下面做法向的二階導(dǎo)數(shù)Dnnu估計(jì). 由于Δu>0,只需推導(dǎo)出它的上界即可,即

Dnnu≤C于?Ω×[0,T].

(29)

與估計(jì)切向二階導(dǎo)數(shù)時(shí)所用的方法(23)一樣,在x∈?Ω點(diǎn),有

Dξη(u-φ)=-Dν(u-φ)Π(ξ,η),

其中:ξ,η為?Ω在x點(diǎn)的單位切向量;ν為單位內(nèi)法向量;Π(ξ,η)為?Ω的第二基本型.

引理3存在一致的常數(shù)c0>0,使得

d(x,t)=d(λ′(Dξηφ-Dν(u-φ)Π(ξ,η)))≥c0, ?(x,t)∈?Ω×[0,T].

證明：考慮d(x,t)在?Ω×[0,T]上的最小值點(diǎn)(x0,t0),只需證明d(x0,t0)≥c0>0即可. 在x0點(diǎn)選擇一個(gè)直角坐標(biāo)系e1,e2,…,en,使得en為?Ω的內(nèi)法方向,(Dαβu(x0,t0))(1≤α,β≤n-1)為對(duì)角矩陣,并且D11u(x0,t0)≤…≤Dn-1,n-1u(x0,t0). 由d(x,t)的定義知,

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中引理6.2,對(duì)(x0,t0)點(diǎn)附近的點(diǎn)(x,t)∈?Ω×[0,T],有

(30)

于是對(duì)于邊界?Ω×[0,T]上(x0,t0)點(diǎn)附近的點(diǎn),由式(23)有

(31)

(32)

其中

下面證明式(29). 由引理3知

?(x,t)∈?Ω×[0,T].

假設(shè)Dnnu(x,t)沒(méi)有上界,則由文獻(xiàn)[8]中引理1.2及Sk(λ)的嚴(yán)格單調(diào)性,有

矛盾. 從而式(29)成立.

其中a>0為待定常數(shù). 顯然只需得到W的上界估計(jì)即可.

在(x0,t0)處微分問(wèn)題(3)中的方程兩次,再利用先驗(yàn)估計(jì)及函數(shù)F的凹性,有

其中C>0為可控常數(shù). 式(34)兩端同時(shí)乘以Fiiλ1,對(duì)1≤i≤n求和,再利用式(37),(33),(35)及(36)有

(38)

注意到Sk(λ)的一個(gè)性質(zhì)[11]:

則有f1λ1≥Cn,k,其中Cn,k>0為僅依賴(lài)于n,k的常數(shù). 于是由式(38)即可得到λ1的上界.

綜合1),2),即可完成定理5的證明.

[1] Chow B. Deforming Convex Hypersurfaces by the Square Root of the Scalar Curvature [J]. Inventiones Mathematicae,1987,87: 63-82.

[2] Andrews B,McCoy J. Convex Hypersurfaces with Pinched Principal Curvatures and Flow of Convex Hypersurfaces by High Powers of Curvature [J]. Trans Amer Math Soc,2012,364(7): 3427-3447.

[3] Ivochkina N M,Ladyzhenskaya O A. The First Initial-Boundary Value Problem for Evolutions Generated by Traces of Ordermof the Hessian of the Unknown Surface [J]. (Russian) Acad Sci Docl Math,1995,50(1): 61-65.

[4] LIU Hui-zhao,WANG Guang-lie. The First Initial-Boundary Value Problem for the Complete-Nonlinear Parabolic Equations Generated by Eigenvalues of Hessian Matrix [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Jilinensis,1998(1): 27-37. (劉輝昭,王光烈. Hessian矩陣特征值生成的完全非線性拋物方程第一初邊值問(wèn)題 [J]. 吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1998(1): 27-37.)

[5] REN Chang-yu. The First Initial-Boundary Value Problem for Fully Nonlinear Parabolic Equations Generated by Functions of the Eigenvalues of the Hessian [J]. J Math Anal Appl,2008,339(2): 1362-1373.

[6] WANG Xu-jia. A Class of Fully Nonlinear Elliptic Equations and Related Functionals [J]. Indiana Univ Math J,1994,43(1): 25-54.

[7] CHOU Kai-seng,WANG Xu-jia. A Variational Theory of the Hessian Equation [J]. Comm Pure Appl Math,2001,54(9): 1029-1064.

[8] Caffarelli L,Nirenberg L,Spruck J. The Dirichlet Problem for Nonlinear Second-Order Elliptic Equations,Ⅲ: Functions of the Eigenvalues of the Hessians [J]. Acta Math,1985,155(1): 261-301.

[9] LI Yan-yan. Some Existence Results for Fully Nonlinear Elliptic Equations of Monge-Ampere Type [J]. Comm Pure Appl Math,1990,43(2): 233-271.

[10] Guan B. The Dirichlet Problem for Hessian Equations on Riemannian Manifolds [J]. Calc Var Part Differ Equa,1999,8(1): 45-69.

[11] WANG Xu-jia. Thek-Hessian Equation [C]//Geometric Analysis and PDEs. Lecture Notes in Math. Dordrecht: Springer,2009: 177-252.