曾 翔, 吳群英

(桂林理工大學(xué) 理學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

自Bozorgnia等[1]提出ND(negativelt dependent)相依概念以來(lái), 關(guān)于ND序列的研究已有許多結(jié)果, 例如文獻(xiàn)[2-4]分別研究了ND序列加權(quán)和的強(qiáng)大數(shù)律、 ND樣本最近鄰密度估計(jì)的相合性及線(xiàn)性模型估計(jì)的強(qiáng)相合性等, 但在ND相依樣本下研究具體的統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題目前還較少, 而ND相依概念在可靠性理論、 滲透理論和多元統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用廣泛, 因此本文在ND相依樣本下討論非參數(shù)回歸函數(shù)加權(quán)核估計(jì)的相合性.

若對(duì)?x1,x2,…,xn∈R, 都有

及

稱(chēng)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn(n≥2)是ND的. 如果對(duì)任意的n≥2,X1,X2,…,Xn都是ND的, 則稱(chēng)隨機(jī)變量列{Xn:n≥1}是ND列.

考慮非參數(shù)回歸模型

Yi=g(xi)+εi, 1≤i≤n,

(1)

其中:Yi是在固定點(diǎn)x1,x2,…,xn的n個(gè)觀(guān)察值, 假設(shè)0=x0≤x1≤…xn-1≤xn=1;g(x)是[0,1]上的未知回歸函數(shù),g(x)在[0,1]外的值定義為0; {εi}是隨機(jī)誤差序列,Eεi=0. Priestley等[5]對(duì)未知函數(shù)g(x)提出一種加權(quán)核估計(jì):

(2)

其中K(u)是可測(cè)函數(shù), 0

(H2)g(·)在[0,1]上滿(mǎn)足α(α>0)階Lipschitz條件；

(H3) 當(dāng)n→∞時(shí),hn→ 0,δn→ 0;

本文中C是與n無(wú)關(guān)的正常數(shù), 不同之處表示不同的值.

引理1在條件(H1)～(H6)下, 均有

|Egn(x)-g(x)|=o(τn),n→∞.

(3)

證明: 對(duì)于式(1),(2), 當(dāng)x?[0,1]時(shí),g(x)=0,E(εi)=0, 則

由條件(H2)知, ?M>0, 使得

(6)

又由式(6)和條件(H5)可知

從而由式(4),(5),(7)知, 當(dāng)n充分大時(shí), 式(3)成立.

引理2[1]設(shè){Xn:n≥1}是ND列, {fn:n≥1)是單調(diào)上升或單調(diào)下降列, 則{fn(xn):n≥1}仍是ND列.

(8)

從而

|gn(x)-g(x)|=o(τn) a.s.,n→∞.

(9)

由式(10)及引理1知, 定理的證明可歸結(jié)為證明如下等式：

(11)

由式(8)及條件(H6)并運(yùn)用引理3知, ?ε>0, 有

由式(12), 根據(jù)Borel-Cantelli引理知, 式(11)成立. 綜合引理1和式(10),(11), 可知式(9)成立. 證畢.

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