姜志俠, 李延忠, 李 軍, 孟品超, 尹偉石

(長春理工大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 長春 130022)

Duffing方程是非線性理論中常用的微分方程, 其模型具有代表性. 關(guān)于Duffing方程解的存在性及數(shù)值計(jì)算方法的研究目前已有許多結(jié)果[1-5].

對于二階微分方程

x″=f(t,x),

(1)

王懷忠等[1]證明了在滿足限制共振條件

(2)

下, 方程(1)存在唯一的T周期解. 其中:f(t,x)=f(t+T,x)在 R×R → R上連續(xù), 且關(guān)于x二次連續(xù)可微;N為一個(gè)非負(fù)整數(shù).

對無強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)的Duffing方程u″+g(u)=0, 劉淑媛等[3]利用山路引理證明了超線性Duffing方程周期解的存在性, 并給出一種求Duffing方程周期解的Mountain Pass算法； 李勇等[5]應(yīng)用同倫算法, 構(gòu)造性地證明了Poincare-Birkhoff定理, 使得用同倫算法求出周期解的數(shù)值實(shí)現(xiàn)成為可能.

1 問題的轉(zhuǎn)化

設(shè)x(t,P)是方程(1)帶有初始值

x(0)=P0,x′(0)=P1

(3)

x(T,P*)=x(0,P*),x′(T,P*)=x′(0,P*)

(4)

時(shí), 微分方程(1)有一個(gè)T周期解. 因此, 對于最優(yōu)化問題

(5)

如果存在滿足J(P*)=0的一個(gè)全局最優(yōu)解P*, 則方程(1)以P*為始點(diǎn)的解即為一個(gè)周期解. 其中X(T,P)=(x(T,P),x′(T,P))T, 且X(0,P)=(x(0,P),x′(0,P))T=P.

無約束最優(yōu)化問題(5)的Karush-Kuhn-Tucker(KKT)一階必要性條件[6]為

‖X(T,P*)-P*‖2=0,

(6)

由文獻(xiàn)[7]可得:

定理1對滿足條件(2)的微分方程(1), 如果存在Pk∈R(k=1,2,…), 使得

(7)

則當(dāng)k→ +∞時(shí),Pk→P*, 且J(P*)=minJ(Pk)=0.

因此, 求解微分方程(1)的周期解問題可以轉(zhuǎn)化為求解相關(guān)的無約束最優(yōu)化問題(5), 且以問題(5)最優(yōu)解為始點(diǎn)的方程(1)的解是周期解. 馮子璇等[7]使用擬牛頓法求解轉(zhuǎn)化后的最優(yōu)化問題, 用得到的全局最優(yōu)解作為微分方程(1)周期解的初始值得到了周期解.

在實(shí)際問題中, 常會碰到目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)的平方和形式, 即最小二乘問題, Levenberg-Marquardt型方法是求解這類問題最有效的方法之一, 特別是對于殘差為零或接近于零的問題. 針對奇異非線性方程組, 文獻(xiàn)[8]給出了Levenberg-Marquardt方法的一種新的參數(shù)迭代方法, 并證明了在弱于非奇異性條件的局部誤差有界條件下, Levenberg-Marquardt方法仍具有局部二次收斂速度. 本文提出一種基于Levenberg-Marquardt型算法求解微分方程的周期解算法.

2 最優(yōu)化問題的求解方法

對問題(5), 記f(P)=X(T,P)-X(0,P),M(P)為f(P)的Jacobian矩陣, 令F(P)=‖X(T,P)-X(0,P)‖2/2,H(x)為F(P)的Hessian矩陣, 則可得:G(P)=2M(P)Tf(P),H(P)=2M(P)TM(P)+2Q(P), 其中:

隨著P逐漸接近最優(yōu)解, ‖X(T,P)-X(0,P)‖的值逐漸趨于零,Q(P)也趨于零. 因此, 當(dāng)‖X(T,P)-X(0,P)‖在最優(yōu)解處很小時(shí), 使用Levenberg-Marquardt方法所用的搜索方向作為優(yōu)化過程的搜索方向更有效.

Levenberg-Marquardt方法所用的搜索方向dk是一組線性等式的解： (M(Pk)TM(Pk)+λkI)dk=-M(Pk)f(Pk), 其中λk決定搜索方向和幅值大小, 只要λk足夠大, 即可保證f(Pk+dk)Fk(P*), 則λk減少, 令λk=λk/(1+α*); 否則λk增加,λk=λk+(Fk(P*)-Fp(Pk))/α*. Levenberg-Marquardt方法具有較好的魯棒性和迭代效率, 在Matlab優(yōu)化工具箱中實(shí)現(xiàn)該方法的默認(rèn)函數(shù)是Lsqnonlin函數(shù).

算法步驟如下:

1) 計(jì)算f(Pk),M(Pk),F(Pk)；

2) 計(jì)算搜索方向dk： (M(Pk)TM(Pk)+λkI)dk=-M(Pk)f(Pk);

3) 迭代Pk+1=Pk+λkdk: 如果‖M(Pk+1)‖<ε, 停止； 否則, 轉(zhuǎn)4)；

4) 如果k=n, 則令P1=Pk+1, 返回1)； 否則, 轉(zhuǎn)5)；

5) 按下式計(jì)算線性預(yù)測平方和Fl(Pk+1):fl(Pk+1)=M(Pk)Tdk+F(Pk),Fl(Pk+1)=fl(Pk+1)T×fl(Pk+1); 通過對F(Pk+1)和F(Pk)做三次內(nèi)插值, 計(jì)算Fl(Pk+1)的極小值Fk(P*), 將最小化的估計(jì)步長記為α*;

6) 計(jì)算步長： 若Fl(Pk+1)>Fk(P*), 則令λk=λk/(1+α*)； 否則, 令λk=λk+(Fk(P*)-Fl(Pk))/α*, 再令k=k+1, 返回1).

3 算 例

考慮如下周期邊值問題:

(8)

方程(8)滿足限制共振條件(2), 因此有唯一周期解. 使用Levenberg-Marquardt方法, 在Matlab2011版軟件中編程實(shí)現(xiàn), 其中M(P)為f(P)的Jacobian矩陣, 由于f(P)=X(T,P)-X(0,P)沒有連續(xù)的表達(dá)式, 故用差商代替M(P). 圖1～圖3為得到的周期解相關(guān)曲線. 表1列出了以(5.237 935 1,6.650 527 3)為初始點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

圖1 x與t的關(guān)系曲線 圖2 x′與t的關(guān)系曲線 圖3 x′與x的關(guān)系曲線 Fig.1 Related curve of x vs t Fig.2 Related curve of x′ vs t Fig.3 Related curve of x vs x′

表1 數(shù)值結(jié)果

續(xù)表1

由圖1～圖3及表1可見, 使用Levenberg-Marquardt方法求解Duffing方程的周期解有效, 本文算法利用最優(yōu)化方法逐次求解了微分方程數(shù)值周期解的初始點(diǎn), 避免了數(shù)值算法對初始點(diǎn)選擇依賴性而產(chǎn)生的計(jì)算困難.

感謝吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院徐旭和韓月才教授的悉心指導(dǎo).

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