韓 玉, 金應(yīng)華, 吳武清

(1. 東北電力大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 吉林 132013; 2. 廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣州 510006; 3. 中國人民大學(xué) 商學(xué)院, 北京 100872)

0 引 言

考慮自回歸條件久期(ACD)模型:

(1)

為了刻畫經(jīng)過周期性調(diào)整的金融久期數(shù)據(jù), 文獻(xiàn)[1]提出了模型(1), 給出了模型(1)參數(shù)的擬似然估計(jì), 并證明了該估計(jì)的一致性和漸近正態(tài)性. 由于模型(1)有效地刻畫了金融市場上交易的時(shí)間間隔, 因此受到研究者的廣泛關(guān)注， 目前已有許多推廣模型， 如： 對(duì)數(shù)自回歸條件久期模型(Log-ACD)[2]、 指數(shù)自回歸條件久期模型(exponential ACD)[3]、 Box-Cox自回歸條件久期模型[4]和門限自回歸條件久期模型[5]等.

由Owen[6-7]提出的經(jīng)驗(yàn)似然方法是一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷方法, 該方法具有類似于自助法的抽樣特性. 用經(jīng)驗(yàn)似然方法構(gòu)造的置信區(qū)間除了具有區(qū)域保持性、 變換不變性及置信域的形狀由數(shù)據(jù)自行決定等優(yōu)點(diǎn)外, 還有Bartlett糾偏性及無需構(gòu)造軸統(tǒng)計(jì)量等特征. 此外, 應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)似然進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷還可避免方差的估計(jì). 文獻(xiàn)[8]應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)似然方法研究了自回歸模型的統(tǒng)計(jì)推斷問題; 文獻(xiàn)[9]應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)似然方法于GARCH模型, 構(gòu)建了參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量, 并給出了該估計(jì)量的漸近分布; 其他一些相關(guān)研究參見文獻(xiàn)[10-14]. 本文將經(jīng)驗(yàn)似然方法應(yīng)用到自回歸條件久期模型, 提出了參數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量, 并證明了該統(tǒng)計(jì)量的極限分布為χ2-分布.

1 主要結(jié)果及證明

(2)

Ik是k階單位矩陣;ρ(G)表示矩陣G的譜半徑. 由假設(shè)(H1)成立, 有

(3)

其中

(4)

ψt(θ)為xt的函數(shù),θ為模型(1)的參數(shù)向量. 由式(4)知, 得分函數(shù)表示為

信息矩陣表示為

令

(5)

其中λ(θ)是Lagrange乘子, 滿足

(6)

引理1若定理1的條件成立, 則存在θ0的鄰域Θ0、 常數(shù)C>0及ρ∈(0,1), 使得對(duì)任意的正數(shù)l>0, 有:

證明: 根據(jù)文獻(xiàn)[15]式(A.5)及式(1),(2), 易得

(7)

(8)

其中C1為常數(shù). 由于對(duì)任意的l∈(0,1), 有x(1-x)0, 所以對(duì)任意的l∈ (0,1), 有

其中C2為常數(shù). 因?yàn)棣?是Θ的內(nèi)點(diǎn), 所以存在θ0的某一鄰域Θ0, 滿足β0=min{β1:θ∈Θ0}>0. 又因?yàn)镚的任意元素是非負(fù)的, 所以有cTuuTc≤cTGc/β0, 進(jìn)而

uTGjuuTGj1u≤uTGjGGj1u/β0=uTGj+j1+1u/β0,

于是， 有

(10)

由式(7),(10), 有

(11)

又由式(8),(9),(11), 對(duì)某個(gè)l0∈(0,1), 有

(12)

其中:ρ∈(0,1);C>0為常數(shù). 類似地, 可以證明

(13)

聯(lián)合式(12)～(14), 可知引理1中1)成立. 類似地, 可證明引理1中2)成立.

引理2若定理1的條件成立, 則有:

證明: 1),2)顯然, 只證3).

由引理1, 有

(15)

引理3假設(shè)定理1的條件成立, 則有:

op(1)表示對(duì)任意常數(shù)M>0,θ∈Vn={θ: |θ-θ0|≤n-0.5M}一致成立.

(16)

利用式(16), 有

(17)

即結(jié)論1)成立.

由引理2中1)知,E‖Dt(θ0)‖2<∞. 類似地, 有

(18)

利用式(17),(18), 有

所以結(jié)論2)成立.

取ε>0, 得

由引理2中2)及控制收斂定理和遍歷性定理知, 結(jié)論3)成立.

考慮θ∈Vn, 利用Taylor展開和結(jié)論1)～3), 有

再利用遍歷性定理可知, 結(jié)論4)成立.

下面證明定理1. 記

(19)

(20)

令λ=κν, 其中:‖ν‖=1;

(23)

對(duì)Q2n(θ,λ)關(guān)于θ的第i項(xiàng)求導(dǎo), 得

(24)

利用方程(24)、 引理1中3)、 引理3中1)和3), 可得

其中γt由式(23)確定.

對(duì)Q2n(θ,λ)關(guān)于λ求導(dǎo), 得

由引理3中3), 對(duì)任意的θ∈Vn, 一致地有

類似可得

(27)

其中op(1)表示對(duì)任意的θ∈Vn一致成立. 由式(25)～(27), 可得

(28)

其中op(1)表示對(duì)任意的θ∈Vn一致成立.

利用引理3中4), 對(duì)任意的θ∈Vn, 可得

因此, 有

(29)

(30)

定理1證畢.

2 應(yīng)用實(shí)例

下面在有限樣本的情況下利用隨機(jī)模擬給出ACD模型參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量結(jié)果. 考慮如下ACD模型:

xt=ψtεt,ψt=ω+αxt-1+βψt-1,

(31)

表1 置信水平為0.90時(shí)的經(jīng)驗(yàn)似然覆蓋率(ECP)和擬極大似然估計(jì)覆蓋率(QCP)

表2 置信水平為0.95時(shí)的經(jīng)驗(yàn)似然覆蓋率(ECP)和擬極大似然估計(jì)覆蓋率(QCP)

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