孫 艷, 馬文聯(lián)

(長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130022)

0 引 言

近年來(lái), 關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的研究已有許多結(jié)果[1-7]. 文獻(xiàn)[1]給出了描述脊錐神經(jīng)系統(tǒng)中回歸神經(jīng)反饋現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型, 目前該模型已被廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域?qū)ι窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的研究中[2-3]. 考慮到神經(jīng)元信息傳導(dǎo)速度對(duì)神經(jīng)系統(tǒng)調(diào)節(jié)反饋?zhàn)饔镁哂袦笮? 文獻(xiàn)[4]以Fitz-Hugh方程為基礎(chǔ), 建立了兩個(gè)神經(jīng)元的時(shí)滯回歸神經(jīng)反饋模型:

(1)

其中:v(t)和w(t)分別為兩個(gè)相鄰神經(jīng)元的膜電位差；μ[v(t-τ)-v0]為膜電流, 若μ>0, 則表示神經(jīng)元v(t)受興奮性的刺激作用, 若μ<0, 則表示神經(jīng)元v(t)受抑制作用, 無(wú)論刺激作用或抑制作用, 都在時(shí)間上存在滯后τ；a,b,ρ均為正實(shí)數(shù)參數(shù), 刻畫(huà)兩個(gè)神經(jīng)元之間的相互作用.

文獻(xiàn)[5]以(μ,τ)為參數(shù)討論了系統(tǒng)(1)的Hopf分支, 給出了計(jì)算過(guò)程, 并判定了Hopf分支的穩(wěn)定性； 文獻(xiàn)[6]給出了系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性區(qū)域劃分及周期運(yùn)動(dòng)分析; 文獻(xiàn)[7]以時(shí)滯τ為參數(shù), 對(duì)系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和局部Hopf分支進(jìn)行了理論分析.

本文利用零點(diǎn)分布定理[8]和規(guī)范型理論[9], 以滯量τ為分支參數(shù), 討論具有時(shí)滯的神經(jīng)反饋模型(1)的局部Hopf分支, 并利用Matlab軟件對(duì)理論分析結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證, 給出了Hopf分支全局存在性的數(shù)值結(jié)果.

1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及局部Hopf分支的存在性

對(duì)系統(tǒng)(1), 假設(shè)

(2)

成立, 則系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為E*=(v0,w0), 其中w0=(v0+a)/b, 而v0滿足如下條件：

(3)

令x=v-v0,y=w-w0, 則系統(tǒng)(1)可化為

(4)

系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)(0,0)處的線性部分為

(5)

系統(tǒng)(5)的特征方程為

λ2+pλ-μλe-λτ-μρbe-λτ+q=0,

(6)

下面給出系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析. 當(dāng)τ=0時(shí), 方程(6)變?yōu)?/p>

λ2+(p-μ)λ+(q-μρb)=0.

(7)

為方便, 假設(shè):

(H2)q<(p2-μ2)/2,q2>μ2ρ2b2或(p2-2q-μ2)2<4(q2-μ2ρ2b2);

(H3)q2<μ2ρ2b2或q>(p2-μ2)/2, (p2-2q-μ2)2=4(q2-μ2ρ2b2).

引理1若條件(H1)成立, 則方程(7)恒有兩個(gè)嚴(yán)格負(fù)實(shí)部的根.

證畢.

下面討論τ≠0時(shí), 方程(6)根的分布情況. 令λ=iω(ω>0)是方程(6)的根, 代入方程(6)有

(8)

即

ω4+(p2-2q-μ2)ω2+(q2-μ2ρ2b2)=0.

(9)

引理21) 若條件(H1)成立, 則滿足條件(H2)時(shí), 方程(6)無(wú)純虛根;

2) 滿足條件(H3)時(shí), 方程(6)在τ=τj處有一對(duì)簡(jiǎn)單的純虛根±iω0, 其中:

證明: 當(dāng)如下條件成立時(shí), 方程(9)沒(méi)有正實(shí)根, 進(jìn)而方程(6)無(wú)純虛根:

p2-2q-μ2>0,q2-μ2ρ2b2>0或(p2-2q-μ2)2<4(q2-μ2ρ2b2);

(10)

當(dāng)如下條件成立時(shí), 方程(9)有唯一的正實(shí)根, 此時(shí)方程(6)有一對(duì)簡(jiǎn)單的純虛根±iω0:

q2-μ2ρ2b2<0或p2-2q-μ2<0, (p2-2q-μ2)2=4(q2-μ2ρ2b2).

(11)

根據(jù)零點(diǎn)分布定理[8], 可得方程(6)根的分布情況.

引理4對(duì)系統(tǒng)(1), 假設(shè)式(2)成立, 則有：

1) 若條件(H1),(H2)成立, 對(duì)于τ≥0, 方程(6)的所有根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部；

2) 若條件(H1),(H3)成立, 則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí), 方程(6)的所有根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部; 當(dāng)τ=τ0時(shí), 除有一對(duì)純虛根±iω0外, 其他根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部; 當(dāng)τ∈[τj,τj+1)時(shí), 方程(6)有2(j+1)個(gè)具嚴(yán)格正實(shí)部的根.

通過(guò)以上分析, 可以確定系統(tǒng)(1)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

定理1對(duì)系統(tǒng)(1), 假設(shè)式(2)成立, 則有:

1) 若條件(H1),(H2)成立, 對(duì)于τ≥0時(shí), 則系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；

2) 若條件(H1),(H3)成立, 則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí), 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)τ>τ0時(shí), 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)不穩(wěn)定;τ=τj是系統(tǒng)(1)的Hopf分支點(diǎn).

2 Hopf分支方向與穩(wěn)定性

下面利用Hassard等[9]的規(guī)范型理論和中心流形定理研究系統(tǒng)(1)的局部Hopf分支性質(zhì). 令x(t)=v(τt)-v0,y(t)=ω(τt)-ω0, 則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(12)

線性部分為

(13)

特征方程

(14)

不失一般性, 設(shè)τ=τ0+σ(σ∈R), 則σ=0時(shí), 方程(12)在τ0處產(chǎn)生Hopf分支.

記C=C([-τ0,0],R2), 對(duì)于φ∈C, 定義線性算子族：

(15)

由Riesz表示定理知, 存在一個(gè)有界變差矩陣η(θ,σ):θ∈[-τ0,0], 使得

(16)

(17)

其中Xt=(xt,yt)T. 對(duì)φ∈C1([-τ0,0],R2), 定義

對(duì)ψ∈C1([0,τ0],R2), 定義A=A(0)的伴隨算子A*為

對(duì)φ∈C[-τ0,0],ψ∈C[0,τ0], 定義雙線性內(nèi)積為

(18)

令q(θ)和q*(s)分別是A和A*對(duì)應(yīng)于特征根iω0和-iω0的特征向量, 于是

Aq(θ)=iω0q(θ),A*q*(s)=-iω0q*(s).

q(θ)=(1,β)Teiω1θ,θ∈[-τ0,0);q*(s)=(γ1,γ2)eiω1s,s∈[-τ0,0],

其中:

設(shè)Xt是方程(12)當(dāng)σ=0時(shí)的解, 定義

在中心流形Ω0上, 有

(19)

(20)

由式(17),(19), 得

其中

通過(guò)比較系數(shù)得

(2iω0-A)W20(θ)=H20(θ), -AW11(θ)=H11(θ).

(21)

令

則有:

與式(20)的系數(shù)比較, 得

(22)

計(jì)算得

因此, 可得

(23)

從而有:

定理2原點(diǎn)附近中心流形Ω0上的分支周期解可由下式描述:

(24)

其中:

分支方向由μ2確定, 若μ2>0(μ2<0), 則方程(1)的分支周期為上臨界(下臨界); 分支周期解的穩(wěn)定性由β2確定, 若β2<0(β2>0), 則方程(1)的分支周期解穩(wěn)定(不穩(wěn)定); 分支周期解的周期由τ2確定, 若τ2>0(τ2<0), 則分支周期將增大(減小).

3 局部及全局Hopf分支數(shù)值模擬

下面對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行數(shù)值模擬, 并給出一個(gè)Hopf分支全局存在性的數(shù)值結(jié)果. 根據(jù)文獻(xiàn)[4]給出的參數(shù)取值條件, 取系統(tǒng)(1)的參數(shù)值為：ρ=0.8,a=0.8,b=0.8,μ=-0.21, 其中μ=-0.21<0, 表示抑制性的神經(jīng)反饋?zhàn)饔? 此時(shí), 系統(tǒng)(1)為

(25)

易知, 系統(tǒng)(25)存在唯一平衡點(diǎn)E*=(v0,w0)=(-1.27,-0.587 5).

根據(jù)引理2及定理2的公式計(jì)算易得：

顯然有μ2>0,β2<0. 于是, 系統(tǒng)(25)在τ=τ0=0.835處發(fā)生上臨界Hopf分支, 且周期解是漸近穩(wěn)定的.

圖1和圖2分別給出了系統(tǒng)(25)在時(shí)滯參數(shù)τ<τ0和τ>τ0時(shí)的數(shù)值模擬結(jié)果. 當(dāng)分支參數(shù)時(shí)滯τ=0.8<0.83=τ0時(shí), 由圖1可見(jiàn), 平衡點(diǎn)E*為系統(tǒng)(25)的穩(wěn)定焦點(diǎn), 即平衡點(diǎn)為漸近穩(wěn)定的； 當(dāng)分支參數(shù)時(shí)滯τ=1.2>0.83=τ0時(shí), 由圖2可見(jiàn), 系統(tǒng)(25)產(chǎn)生了一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)(周期解). 事實(shí)上, 當(dāng)分支參數(shù)從τ<τ0增至τ>τ0時(shí), 平衡點(diǎn)E*改變了原有的穩(wěn)定性, 成為不穩(wěn)定焦點(diǎn), 在穩(wěn)定性發(fā)生改變時(shí), 上臨界發(fā)生Hopf分支, 從而產(chǎn)生穩(wěn)定的周期解.

圖1 當(dāng)τ=0.8<0.83=τ0時(shí), 系統(tǒng)(25)的相圖和波圖Fig.1 Waveforms and phase orbit of system (25) when τ=0.8<0.83=τ0

圖2 當(dāng)τ=1.2>0.83=τ0時(shí), 系統(tǒng)(25)的相圖和波圖Fig.2 Waveforms and phase orbit of system (25) when τ=1.2>0.83=τ0

數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了局部Hopf分支的存在性及周期解的穩(wěn)定性. 如果使分支參數(shù)時(shí)滯τ繼續(xù)增大(滿足τ>τ0), 當(dāng)分支參數(shù)時(shí)滯分別為τ=100和τ=1 000時(shí), 則數(shù)值模擬結(jié)果如圖3和圖4所示. 由圖3和圖4可見(jiàn), 系統(tǒng)(25)仍然存在穩(wěn)定的極限環(huán)(周期解), 此即為一個(gè)Hopf分支全局存在性的數(shù)值結(jié)果.

圖3 當(dāng)τ=100>0.83=τ0時(shí), 系統(tǒng)(25)的相圖和波圖Fig.3 Waveforms and phase orbit of system (25) when τ=100>0.83=τ0

圖4 當(dāng)τ=1 000>0.83=τ0時(shí), 系統(tǒng)(25)的相圖和波圖Fig.4 Waveforms and phase orbit of system (25) when τ=1 000>0.83=τ0

[1] Milton J. Dynamics of Small Neural Populations [M]. Rhode Island: Ame Math Soc Providence, 1996.

[2] DAI Zhi-juan. Exponential Stability and Existence of Periodic Solutions for a Class of Recurrent Neural Networks with Delays [J]. Journal of Southeast University: English Edition, 2006, 22(2): 286-293.

[3] LUO Ying-hua, PENG Shi-guo. The Global Exponential Stability of Negative Feedback Terms with Continuous Time-Delays of BAM Neural Network [J]. Journal of Guangdong University of Technology, 2009, 26(1): 29-32. (羅營(yíng)華, 彭世國(guó). 負(fù)反饋?lái)?xiàng)具連續(xù)時(shí)滯BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性 [J]. 廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 26(1): 29-32.)

[4] Plant R E. A FitzHugh Differential-Difference Equation Modeling Recurrent Neural Feedback [J]. SIAM J Appl Math, 1981, 40(1): 150-162.

[5] Castelfranco A M, Stech H W. Periodic Solutions in a Model of Recurrent Neural Feedback [J]. SIAM J Appl Math, 1987, 47(3): 573-588.

[6] YUE Xi-ting. Hopf Bifurcation Analysis and Stable Doma in Decomposition of Delayed Neural Network Model with Two Neuron [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University, 2006, 23(4): 536-543. (岳錫亭. 一類二階時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的劃分及Hopf分支分析 [J]. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 23(4): 536-543.)

[7] MA Wen-lian, SUN Yan, WEI Jun-jie, et al. Stability and Hopf Bifurcation for Recurrent Neural Feedback Systems with Delay [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Jilinensis, 1999(2): 23-27. (馬文聯(lián), 孫艷, 魏俊杰, 等. 時(shí)滯回歸神經(jīng)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性及Hopf分支 [J]. 吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 1999(2): 23-27.)

[8] Cooke K L, Grossman Z. Discrete Delay, Distributed Delay and Stability Switches [J]. J Math Anal Appl, 1982, 86(2): 592-627.

[9] Hassard B D, Kazarinoff N D, Wan Y H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.