邰志艷, 李慶春

(1. 吉林醫(yī)藥學院 數(shù)學教研室, 吉林 吉林 132013； 2. 北華大學 數(shù)學學院, 吉林 吉林 132013)

廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣在計算數(shù)學、 數(shù)學物理、 優(yōu)化理論等領(lǐng)域應用廣泛, 但其實際判別卻很困難[1-16]. 本文利用局部α-雙對角占優(yōu)矩陣理論給出幾種新的廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣的判別方法, 推廣和改進了文獻[2]的主要結(jié)果.

1 定義及引理

定義1設A=(aij)∈Mn(C), 若|aii|≥ri(A), ?i∈N, 則稱A為對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D0. 若|aii|>ri(A), ?i∈N, 則稱A為嚴格對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D. 若存在正對角矩陣X, 使得AX∈D, 則稱A為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈D*.

定義2設A=(aij)∈Mn(C), N1∩N2=?, N1⊕N2=N, 若?i∈N1及?j∈N2, 存在α∈(0,1], 使得

(1)

且

?,

則稱A為局部α-雙對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈LD0(α).

若式(1)中均為嚴格不等式, 則稱A為局部α-雙嚴格對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈LD(α). 若式(1)中至少有一個為嚴格不等式, 且A為不可約矩陣, 則稱A為不可約局部α-雙對角占優(yōu)矩陣, 記為A∈ILD0(α).

引理1[1]設A=(aij)∈Mn(C), 若存在α∈(0,1], 使得|aii|>αri(A)+(1-α)Ci(A), 則A∈D*.

引理2[1]設A=(aij)∈Mn(C)是不可約矩陣, 若存在α∈(0,1], 使得?i∈N, 有|aii|≥αri(A)+(1-α)Ci(A), 且

J={j∈N: |ajj|>αrj(A)+(1-α)Cj(A)}≠?,

則A∈D*.

2 主要結(jié)果

定理1設A=(aij)∈Mn(C), 若A是局部α-雙嚴格對角占優(yōu)矩陣, 則A∈D*.

證明： 由Ω+≠?知,Ω+=N, 即?i∈N, 均有

記

?i∈N1,

(2)

(3)

X=diag(di:di=d,i∈N1;di=1,i∈N2),

則矩陣AX=(bij)滿足當i∈N1時, 由d>hi及式(2)有

從而

(4)

將式(4)兩端分別乘以α, 得

|bii|>αri(B)+(1-α)Ci(B).

當j∈N2時, 由d

即

(5)

將式(5)兩端分別乘以α, 得

|bjj|>αrj(B)+(1-α)Cj(B).

(6)

綜上知B滿足引理1的條件, 從而B∈D*, 進而A=BX-1∈D*.

定理2設A=(aij)∈Mn(C), 若A是不可約局部α-雙對角占優(yōu)矩陣, 則A∈D*.

證明： 記

由A是不可約局部α-雙對角占優(yōu)矩陣知,J*≠?, 且Ω+≠?. 不難驗證?i∈N, 均有

若存在i∈N1, 滿足

(7)

其中Aii(i=1,2)是以 Ni(i=1,2)中的元素為行、 列足碼的A的主子陣, 從而由式(7)知A是可約矩陣, 與已知矛盾.

若存在j∈N2, 滿足

則由A是不可約局部α-雙對角占優(yōu)矩陣知, 存在i∈N1, 使得

構(gòu)造正對角矩陣D=diag(di:di=d,i∈N1;di=1,i∈N2), 則矩陣B=AD=(bjj)n×n, 滿足當i∈N1時, 由d≥hi及hi所設, 仿定理1的證明, 得

|bii|≥αri(B)+(1-α)Ci(B).

當j∈N2時, 由d≤Hj及Hj所設, 仿定理1的證明, 得

|bjj|≥αrj(B)+(1-α)Cj(B).

再由J*≠?知, 存在j∈N, 使得式(6)成立.

綜上知,B滿足引理2的條件, 從而B∈D*, 進而A=BD-1∈D*.

定理3設A=(aij)∈Mn(C),aii≠0(i∈N), N=N1+N2, N1∩N2=?, 若?i∈N1,j∈N2, 則存在α∈(0,1], 使得

且J*≠?(J*同定理2); 若?i∈NJ*, 有非零元素鏈aii1,ai1i2,…,aip j, 使得j∈J*, 則A∈D*.

證明： 若A是不可約矩陣, 則由定理2知,A∈D*. 若A是可約矩陣, 則存在置換矩陣P, 使得

(8)

其中Aii(1≤i≤k)是ni階不可約矩陣.

再由J*≠?及?i∈NJ*有非零元素鏈aii1,ai1i2,…,aip j, 使得j∈J*和式(8)知,

由Aii不可約及定理2知,Aii∈D*.

同時, 由J*≠?知, 存在i∈Nii, 使得

再由A是不可約矩陣及引理2知,Aii∈D*.

綜上知, ?i∈{1,2,…,k}, 有Aii∈D*. 由式(8)知PAPT∈D*, 又由P是置換矩陣知,A∈D*.

綜上所述, 本文給出了局部α-雙對角占優(yōu)矩陣的概念, 并應用局部α-雙對角占優(yōu)矩陣的理論給出了廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣的幾個新的充分條件, 推廣和改進了文獻[2]的主要定理, 拓展了廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣的判定準則.

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