范勝雪, 宋衛(wèi)東

(安徽師范大學 數(shù)學計算機科學學院, 安徽 蕪湖 241000)

1 預備知識

設(shè)N是4n維的四元Kaehler流形, 其中四元數(shù)結(jié)構(gòu)I,J,K滿足下列關(guān)系:

IJ=-JI=K,JK=-KJ=I,KI=-IK=J,I2=J2=K2=-Id,

其中Id表示(1,1)型張量場. 本文對各類指標的取值范圍約定如下:

A,B,C,…=1,…,n,I(1),…,I(n),J(1),…,J(n),K(1),…,K(n);

α,β,γ,…=I(1),…,I(n),J(1),…,J(n),K(1),…,K(n);

i,j,k,…=1,2,…,n;φ=I,J,K.

e1,…,en,eI(1)=Ie1,…,eI(n)=Ien,eJ(1)=Je1,…,eJ(n)=Jen,eK(1)=Ke1,…,eK(n)=Ken,

使得限制在Mn上時, {ei}與Mn相切. 在此標架下,I,J,K有如下形式:

(1)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

仿文獻[1]中引理2.2的證明可得:

2 主要結(jié)果

(8)

由Mn的緊致性, 對式(8)兩邊積分, 再由引理2得

?α,k.

(9)

故Mn具有平行平均曲率向量.

注1當p=0時, 由定理1知Mn即為極小子流形.

1) 當c>0時, 若Mn的第二基本形式模長平方S

2) 當c<0時,Mn是極小子流形;

3) 當c≥0時, 若Mn關(guān)于平均曲率向量ξ的第二基本形式模長平方Sξ≠c(nδαβ+3)/4, 則Mn是極小子流形.

(10)

由Cauchy不等式, 有

(11)

當c>0 時, 由式(3)得

又由式(10)～(12)得

n2H2(S-(n+3)c/4)≥0.

(13)

由引理1的第二式得

(14)

證明: 由式(2)～(6), 經(jīng)計算得

(16)

(17)

(18)

(19)

利用式(1),(2),(5)得

(20)

從而由式(15)～(21)及引理3, 并且Mn是緊致的, 再利用Green散度定理, 即得所證結(jié)論.

證明: 當c>0時, 必有S<(n+1)c/6<(n+3)c/4, 由定理2知,H=0, 則定理3的積分不等式變?yōu)?/p>

(22)

因此, 當c>0時, 若S≤(n+1)c/6, 則Mn全測地或S=(n+1)c/6.

[1] LI Hai-zhong. A Global Theorem of Pseudo-umbilical Submanifolds [J]. J of Math, 1988, 8(2): 161-165. (李海忠. 關(guān)于偽臍子流形的一個整體定理 [J]. 數(shù)學雜志, 1988, 8(2): 161-165.)

[2] HU Xian-ju, WANG Li-juan, SONG Wei-dong. 2-Harmonic Totally Real Submanifolds in a Complex Projective Space [J]. College Mathematics, 2009, 25(1): 88-91. (胡顯舉, 王麗娟, 宋衛(wèi)東. 復射影空間中的2-調(diào)和全實子流形 [J]. 大學數(shù)學, 2009, 25(1): 88-91.)

[3] JIANG Guo-ying. The First and Second Variation Formula of 2-Harmonic Mapping [J]. Chinese Annal of Mathematics: Ser A, 1986, 7(4): 389-402. (姜國英. 2-調(diào)和映照及其第一、 第二變分公式 [J]. 數(shù)學年刊: A輯, 1986, 7(4): 389-402.)

[4] ZHU Ye-cheng, SONG Wei-dong. 2-Harmonic Submanifolds in a Complex Space Form [J]. Journal of Mathematical Research & Exposition, 2008, 28(3): 727-732.

[5] LIU Min, SONG Wei-dong. Totally Real 2-Harmonic Submanifolds in the Complex Projective Space [J]. J of Math, 2012, 32(1): 129-134. (劉敏, 宋衛(wèi)東. 復射影空間CPn+p中的全實2-調(diào)和子流形 [J]. 數(shù)學雜志, 2012, 32(1): 129-134.)

[6] CHEN Bang-yen, Ogiue K. On Totally Real Submanifolds [J]. Trans of the Amer Math Soc, 1974, 193: 257-266.

[8] WU Bao-qiang, XU Xiang-hong. Totally Real Pseudo-umbilical Submanifolds of a Quaternion Projective Space [J]. J of Math, 2005, 25(1): 13-20.

[9] 紀永強. 子流形幾何 [M]. 北京: 科學出版社, 2004: 1-267.