Yetter-Drinfeld模范疇上的弱相對(duì)Hopf?；径ɡ?/h1>
2013-12-03 03:37:24王圣祥郭雙建
吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版) 2013年2期
王圣祥, 郭雙建
(1. 東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 南京 210096; 2. 滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 滁州 239000)
B?hm等[1]引入了弱Hopf代數(shù)的定義并證明了弱Hopf模的基本定理; Zhang等[2]證明了弱相對(duì)Hopf模的基本定理; Doi[3]將Hopf模的概念及Hopf?；径ɡ硗茝V到Y(jié)etter-Drinfeld模范疇中; 文獻(xiàn)[3-4]進(jìn)一步研究了Yetter-Drinfeld模范疇. 本文討論Yetter-Drinfeld模范疇中的弱Hopf代數(shù)[5-6]及Yetter-Drinfeld模范疇中弱相對(duì)Hopf模[7]的基本定理.
采用文獻(xiàn)[8]的記法、 概念和結(jié)論. 除非特別指出, 本文討論的向量空間均指域k上的向量空間, 用?代替?k. 對(duì)于域k上的雙代數(shù)H, 它的乘法、 單位、 余乘、 余單位分別記為μH,ηH,ΔH,εH; 對(duì)于雙代數(shù)H的余乘, 記為Δ:H→H?H,Δ(h)=∑h1?h2. 如果(M,σ)是左H-余模,m∈M, 記σ(m)=∑m(-1)?m(0)∈H?M.
如果H既是一個(gè)k-代數(shù), 又是一個(gè)k-余代數(shù), 且滿足:
則H稱為弱雙代數(shù)[1], 其中x,y,z∈H.
如果存在k-線性映射S:H→H, 滿足:
∑x1S(x2)=εt(x), ∑S(x1)x2=εs(x), ∑S(x1)x2S(x3)=S(x),
則H稱為弱Hopf代數(shù)[1].
映射εt,εs:H→H定義如下:εt(h)=ε(11h)12,εs(h)=11ε(h12).εt和εs分別稱為目標(biāo)映射和源映射, 其像分別記為Ht和Hs.
cU,W:U?W→W?U,cU,W(u?w)=∑u(-1)→w?u(0),w∈W,u∈U.
3)H是左L-余模代數(shù):
σH(xy)=∑x(-1)y(-1)?x(0)y(0),σH(1H)=1L?1H;
4)H是L-左余模余代數(shù):
5)H是左L-模代數(shù):
l→(xy)=∑(l1→x)(l2→y),l→1H=ε(l)1H;
6)H是左L-余模余代數(shù):
Δ(l→x)=∑(l1→x1)?(l2→x2),εH(l→x)=εH(x)εL(l).
2)S(x1)x2S(x3)=S(x).
2)ρ(l→a)=∑l1→a(0)?l2→a(1),ρ(1A)=1(0)?εt(1(1));
2)σM(m·a)=∑m(-1)a(-1)?m(0)·a(0), ?m∈M,a∈A;
4)l→(m·a)=∑(l1→m)(l2→a), ?l∈L,m∈M,a∈A;
5)ρM(l→m)=∑(l1→m(0))(l2→m(1)), ?l∈L,m∈M.
(v?a)x=v?ax,ρV?A(v?a)=∑v?a(0)?a(1).
1) ∑m(0)εH(m(1)x)=∑m·1(0)εH(1(1)x);
2)Mco H={m∈M|ρM(m)=∑m(0)?εt(m(1))=∑m·1(1)?1(2)},
N={n∈M|ρM(m)=∑m·1(0)?1(1)}
3)Aco H={a∈A|ρ(a)=∑a1(0)?1(1)};
4) 映射F:Mco H?Aco HA→M,F(m?a)=m·a是一個(gè)弱(H,A)-相對(duì)Hopf模同構(gòu), 其逆映射為G(m)=∑P(m(0))?φ(m(1)).
證明: 1)
2) 設(shè)m∈N, 則
所以N?Mco H. 若m∈Mco H, 則
因此,N=Mco H. 設(shè)m∈Mco H, 則
因此l→m∈Mco H. 由于
因此∑n(-1)?n(0)∈L?Mco H.
3) 由2)可知.
4) 易證F是L-線性、L-余線性的和A-線性、H-余線性的. 設(shè)P(m)=∑m(0)·φ(SH(m(1))),m∈M, 則P(m)∈Mco H. 由于
因此P(m)∈Mco H.
證畢.
[1] B?hm G, Nill F, Szlachnyi K. Weak Hopf Algebras: Ⅰ. Integral Theory andC-Structure [J]. J Algebra, 1999, 221(2): 385-438.
[2] ZHANG Liang-yun, ZHU Sheng-lin. Fundamental Theorems of Weak Doi-Hopf Modules and Semisimple Weak Smash Product Hopf Algebras [J]. Comm Algebra, 2004, 32(9): 3403-3415.
[3] Doi Y. Hopf Modules in Yetter-Drinfeld Categories [J]. Comm Algebra, 1998, 26(9): 3057-3070.
[4] Caenepeel S, WANG Ding-guo, YIN Yan-min. Yetter-Drinfeld Modules over Weak Bialgebras [J]. Ann Univ Ferrara, 2005, 51(1): 69-98.
[5] Bulacu D. A Clifford Algebra Is a Weak Hopf Algebra in a Suitable Symmetric Monoidal Category [J]. J Algebra, 2011, 332(1): 244-284.
[6] ZHANG Liang-yun. The Structure Theorems of Weak Hopf Algebras [J]. Comm Algebra, 2010, 38(4): 1269-1281.
[7] Bulacu D, Caenepeel S, Torrecillas B. Doi-Hopf Modules and Yetter-Drinfeld Modules for Quasi-Hopf Algebras [J]. Comm Algebra, 2006, 34(9): 3413-3449.
[8] Montgomery S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings [M]. Providence: Amer Math Soc, 1993.
王圣祥, 郭雙建
(1. 東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 南京 210096; 2. 滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 滁州 239000)
B?hm等[1]引入了弱Hopf代數(shù)的定義并證明了弱Hopf模的基本定理; Zhang等[2]證明了弱相對(duì)Hopf模的基本定理; Doi[3]將Hopf模的概念及Hopf?；径ɡ硗茝V到Y(jié)etter-Drinfeld模范疇中; 文獻(xiàn)[3-4]進(jìn)一步研究了Yetter-Drinfeld模范疇. 本文討論Yetter-Drinfeld模范疇中的弱Hopf代數(shù)[5-6]及Yetter-Drinfeld模范疇中弱相對(duì)Hopf模[7]的基本定理.
采用文獻(xiàn)[8]的記法、 概念和結(jié)論. 除非特別指出, 本文討論的向量空間均指域k上的向量空間, 用?代替?k. 對(duì)于域k上的雙代數(shù)H, 它的乘法、 單位、 余乘、 余單位分別記為μH,ηH,ΔH,εH; 對(duì)于雙代數(shù)H的余乘, 記為Δ:H→H?H,Δ(h)=∑h1?h2. 如果(M,σ)是左H-余模,m∈M, 記σ(m)=∑m(-1)?m(0)∈H?M.
如果H既是一個(gè)k-代數(shù), 又是一個(gè)k-余代數(shù), 且滿足:
則H稱為弱雙代數(shù)[1], 其中x,y,z∈H.
如果存在k-線性映射S:H→H, 滿足:
∑x1S(x2)=εt(x), ∑S(x1)x2=εs(x), ∑S(x1)x2S(x3)=S(x),
則H稱為弱Hopf代數(shù)[1].
映射εt,εs:H→H定義如下:εt(h)=ε(11h)12,εs(h)=11ε(h12).εt和εs分別稱為目標(biāo)映射和源映射, 其像分別記為Ht和Hs.
cU,W:U?W→W?U,cU,W(u?w)=∑u(-1)→w?u(0),w∈W,u∈U.
3)H是左L-余模代數(shù):
σH(xy)=∑x(-1)y(-1)?x(0)y(0),σH(1H)=1L?1H;
4)H是L-左余模余代數(shù):
5)H是左L-模代數(shù):
l→(xy)=∑(l1→x)(l2→y),l→1H=ε(l)1H;
6)H是左L-余模余代數(shù):
Δ(l→x)=∑(l1→x1)?(l2→x2),εH(l→x)=εH(x)εL(l).
2)S(x1)x2S(x3)=S(x).
2)ρ(l→a)=∑l1→a(0)?l2→a(1),ρ(1A)=1(0)?εt(1(1));
2)σM(m·a)=∑m(-1)a(-1)?m(0)·a(0), ?m∈M,a∈A;
4)l→(m·a)=∑(l1→m)(l2→a), ?l∈L,m∈M,a∈A;
5)ρM(l→m)=∑(l1→m(0))(l2→m(1)), ?l∈L,m∈M.
(v?a)x=v?ax,ρV?A(v?a)=∑v?a(0)?a(1).
1) ∑m(0)εH(m(1)x)=∑m·1(0)εH(1(1)x);
2)Mco H={m∈M|ρM(m)=∑m(0)?εt(m(1))=∑m·1(1)?1(2)},
N={n∈M|ρM(m)=∑m·1(0)?1(1)}
3)Aco H={a∈A|ρ(a)=∑a1(0)?1(1)};
4) 映射F:Mco H?Aco HA→M,F(m?a)=m·a是一個(gè)弱(H,A)-相對(duì)Hopf模同構(gòu), 其逆映射為G(m)=∑P(m(0))?φ(m(1)).
證明: 1)
2) 設(shè)m∈N, 則
所以N?Mco H. 若m∈Mco H, 則
因此,N=Mco H. 設(shè)m∈Mco H, 則
因此l→m∈Mco H. 由于
因此∑n(-1)?n(0)∈L?Mco H.
3) 由2)可知.
4) 易證F是L-線性、L-余線性的和A-線性、H-余線性的. 設(shè)P(m)=∑m(0)·φ(SH(m(1))),m∈M, 則P(m)∈Mco H. 由于
因此P(m)∈Mco H.
證畢.
[1] B?hm G, Nill F, Szlachnyi K. Weak Hopf Algebras: Ⅰ. Integral Theory andC-Structure [J]. J Algebra, 1999, 221(2): 385-438.
[2] ZHANG Liang-yun, ZHU Sheng-lin. Fundamental Theorems of Weak Doi-Hopf Modules and Semisimple Weak Smash Product Hopf Algebras [J]. Comm Algebra, 2004, 32(9): 3403-3415.
[3] Doi Y. Hopf Modules in Yetter-Drinfeld Categories [J]. Comm Algebra, 1998, 26(9): 3057-3070.
[4] Caenepeel S, WANG Ding-guo, YIN Yan-min. Yetter-Drinfeld Modules over Weak Bialgebras [J]. Ann Univ Ferrara, 2005, 51(1): 69-98.
[5] Bulacu D. A Clifford Algebra Is a Weak Hopf Algebra in a Suitable Symmetric Monoidal Category [J]. J Algebra, 2011, 332(1): 244-284.
[6] ZHANG Liang-yun. The Structure Theorems of Weak Hopf Algebras [J]. Comm Algebra, 2010, 38(4): 1269-1281.
[7] Bulacu D, Caenepeel S, Torrecillas B. Doi-Hopf Modules and Yetter-Drinfeld Modules for Quasi-Hopf Algebras [J]. Comm Algebra, 2006, 34(9): 3413-3449.
[8] Montgomery S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings [M]. Providence: Amer Math Soc, 1993.
