袁 緣, 張誠斌, 李輝來

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

關(guān)于期權(quán)定價問題的研究目前已有很多結(jié)果. Brennan等[1]對期權(quán)定價做出了奠基性的工作, 其模型是: 假設(shè)在完美市場下, 設(shè)非杠桿企業(yè)價值為P, 杠桿企業(yè)價值為Q, 企業(yè)的債務(wù)利率為i, 所得紅利為B, 企業(yè)的債務(wù)成本為C(P), 債務(wù)面值為A, 債務(wù)到期日為T, 非杠桿企業(yè)價值P滿足如下隨機(jī)常微分方程:

(1)

則在帶紅利支付時, 杠桿企業(yè)價值Q滿足如下方程:

Mauer等[2]研究了代理成本和融資決策的期權(quán)問題; Sarkar[3]研究了稅務(wù)對投資期權(quán)的影響; Leland[4]研究了波動率為常數(shù)時的債務(wù)價值問題, 并進(jìn)一步討論了企業(yè)資本問題[5]; Jiang等[6]討論了期權(quán)理論問題; Harris等[7]研究了各行業(yè)的杠桿比例問題; Hackbarth等[8]討論了再融資情況下的企業(yè)資本問題; Egami[9]研究了企業(yè)擴(kuò)張期權(quán)時資本結(jié)構(gòu)的一系列問題. 在上述工作的基礎(chǔ)上, 本文進(jìn)一步研究Brown運(yùn)動和Poisson過程下期權(quán)定價的性質(zhì).

假設(shè): 1) 企業(yè)經(jīng)營良好, 不受企業(yè)財務(wù)的影響; 2) 企業(yè)原來決定的資本結(jié)構(gòu)不會發(fā)生變化; 3) 市場趨于穩(wěn)定, 企業(yè)發(fā)行的債券市場值不會發(fā)生變動.

1 主要結(jié)果

假設(shè)企業(yè)的資產(chǎn)價值S服從下列模型:

(3)

其中:μ(t)為企業(yè)的預(yù)期增長率;σ(t)為瞬時波動率; ex(t)-1表示在t時刻的跳躍高度. 用λ表示Possion過程N(yùn)(t)t≥0的強(qiáng)度, 即在dt內(nèi)出現(xiàn)一次跳的概率為λdt.

假設(shè)在t時刻企業(yè)的價值為F(S,t), 則由Brown運(yùn)動的It公式, 有

(4)

其中〈·,·〉表示L2(0,T)上的內(nèi)積,L2(0,T)由一些隨機(jī)過程X(·)組成, 并且

由Brown運(yùn)動和Possion過程的性質(zhì)可知: 〈dW,dW〉=dt, 〈dW,dt〉=o(dt), 〈dN,dN〉=λt, 〈dN,dt〉=o(dt), 〈dN,dW〉=o(dt), 〈dt,dt〉=o(dt), 則〈dS,dS〉=S2(σ2+(ex-1)2λ)dt, 從而有

假設(shè)一個投資者進(jìn)行如下投資組合: 先買入一份公司資產(chǎn)H(S,t), 再賣出一份公司債務(wù)F(S,t), 記所得價值為V(t), 則

V(t)=H(S,t)S-F(S,t).

(6)

設(shè)ΔV,ΔS,ΔF分別是Δt時間內(nèi)V,S,F的變化, 則

(7)

由于投資者在Δt內(nèi)獲得一定價值的同時也會失去一些利息收入AΔt, 因此在Δt內(nèi)的收益為ΔV(t)-AΔt. 由于ΔV(t)-AΔt是無風(fēng)險的, 所以由無套利原理, 有ΔV(t)-AΔt=r(t)VΔt.

設(shè)紅利率為g(t), 則支付紅利為g(t)H(S,t)Sdt, 故

ΔV(t)-AΔt=r(t)VΔt-g(t)H(S,t)Sdt,

從而有

(8)

下面求解方程, 設(shè)u=Feβ(t),y=Seα(t), 則

將式(9)代入式(8), 并消去e-β(t), 可得

(10)

設(shè)α(t)和β(t)是如下常微分方程初值問題的解：

易得

則問題(8)等價于

(11)

令y=eh, 則ymDmu=D0(D0-1)…(D0-m+1), 其中D0=d/dx, 則式(11)變?yōu)?/p>

(12)

進(jìn)一步, 由于τ=T-t, 則式(12)可化為

(13)

考慮

(14)

引入式(14)的懲罰問題:

(15)

其中:K是敲定價;

(16)

定義1如果函數(shù)βε(x)滿足如下條件:

(x)≤0;

(17)

(18)

則稱βε(x)為R上的懲罰函數(shù).

引理1[6]設(shè)uε(x,t)是懲罰問題(15)的解, 則當(dāng)ε→0時, 在DT={(x,t)|a

引理2[7]對于期權(quán)定價, 若t1≥t2, 則u(s,t2)≥u(s,t1).

2 期權(quán)的性質(zhì)

定理1在期權(quán)定價中, 若T1≥T2, 則當(dāng)0≤t≤T2時,u(S,t;T1)≥u(S,t;T2).

證明: 設(shè)

H(x,τ)=uε(x,τ,T1)-uε(x,τ,T2) (τ=T2-t),

(19)

其中uε(x,τ,Ti)=ui(x,τ), 且ui(x,τ)滿足式(15). 考慮區(qū)域x∈R, 0≤τ≤T2, 把ui(x,τ)(i=1,2)代入式(15)后相減并運(yùn)用微分中值定理, 可知H(x,τ)滿足:

(20)

其中

ζ(x)=uε(x,0,T1)-uε(x,0,T2)=uε(x,0,T1)-Aε(K-ex).

(21)

因為在x∈R, 0≤τ≤T2中,uε(x,τ,T2)滿足式(15), 故uε(x,0,T2)=Aε(K-ex). 同理在x∈R, 0≤τ1≤T1中, 可得uε(x,τ1,T1)滿足式(15), 故uε(x,0,T1)=Aε(K-ex). 由t=T-τ, 得

uε(x,T1,T1)=Aε(K-ex),

再由引理2可得

ζ(x)=uε(x,T2,T1)-Aε(K-ex)=uε(x,T2,T1)-uε(x,T1,T1)≥0.

應(yīng)用比較原理, 知H(x,τ)≥0, 即uε(x,τ,T1)≥uε(x,τ,T2).

令ε→0, 得u(S,t;T1)≥u(S,t;T2).

定理1表明, 在到期日前的任意一個時刻, 到期時間越長, 看跌期權(quán)價格越大.

定理2在期權(quán)定價中, 若σ1≥σ2, 則u(S,t;σ1)≥u(S,t;σ2).

證明: 設(shè)

H(S,τ)=u1(x,τ)-u2(x,τ),

(22)

其中ui(x,τ)=uε(x,τ,σi), 則H(x,τ)滿足方程:

及初始條件

H(x,0)=u1(x,0)-u2(x,0)=0.

(24)

由引理3可知式(23)右端非負(fù), 從而利用比較原理, 得H(x,τ)≥0, 即uε(x,τ,σ1)≥uε(x,τ,σ2). 令ε→0, 得u(S,t;σ1)≥u(S,t;σ2).

定理2表明, 波動率越大, 看跌期權(quán)價格越大.

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[2] Mauer D C, Sarkar S. Real Options, Agency Conflicts, and Optimal Capital Stucture [J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29(6): 1405-1428.

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