劉麗環(huán), 常 晶,2, 馮 雪

(1. 空軍航空大學 基礎(chǔ)部, 長春 130022; 2. 吉林大學 數(shù)學學院, 長春 130012)

非線性發(fā)展方程在物理學、 化學、 力學及機械工程等領(lǐng)域應用廣泛, 關(guān)于其行波解的研究目前已有許多方法, 如齊次平衡法[1]、 雙曲函數(shù)法[2]、 正切函數(shù)法[3-4]、 雙線性方法[5]、F-展開法[6]等, 但這些方法求解速度均不理想, (G′/G)展開法[7]則很好地解決了該問題.

本文基于齊次平衡法和(G′/G)展開法求解KdV-mKdV方程和Zhiber-Shabat方程的行波解. 結(jié)果表明, (G′/G)展開法求解非線性方程行波解簡明、 有效.

1 KdV-mKdV方程

考慮如下形式的KdV-mKdV方程:

ut+2uux+3u2ux-uxxx=0.

(1)

先假設(shè)其行波解為

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-vt.

(2)

將式(2)代入式(1)可得, -vu′+2uu′+3u2u′-u?=0. 兩邊積分得

C-vu+u2+u3-u″=0,

(3)

其中C為常數(shù). 假設(shè)式(3)的解u(ξ)可表示成關(guān)于(G′/G)具有如下形式的多項式:

(4)

其中:ai≠0,m是待定常數(shù);G=G(ξ)滿足如下二階常微分方程:

G″+λG′+μG=0.

(5)

由式(4)及齊次平衡法可得3m=m+2, 即m=1, 于是

(6)

把式(6)代入式(3), 整理(G′/G)各次冪系數(shù)并令其等于零, 可得如下代數(shù)方程組:

利用Matlab數(shù)學軟件可得以下兩種情形的解.

情形1)

情形2)

在情形1)下, 可得方程(1)相應的行波解為:

1) 當λ2-4μ>0時,

2) 當λ2-4μ=0時,

3) 當λ2-4μ<0時,

其中

在情形2)下, 方程(1)相應的行波解為：

1) 當λ2-4μ>0時,

其中

2) 當λ2-4μ=0時,

其中

3) 當λ2-4μ>0時,

其中

2 Zhiber-Shabat方程

Zhiber-Shabat方程為

wxt+pew+qe-w+re-2w=0,

(7)

其中w為關(guān)于(x,t)的函數(shù). 對于方程(7), Conte等[8]獲得了兩類行波解, Tang等[9]利用分支理論討論了各種參數(shù)情形下行波解的存在性. 本文考慮應用(G′/G)展開法獲得其他形式的行波解.

為方便, 令u=ew, 則有

(lnu)xt+pu+qu-1+ru-2=0.

(8)

同理設(shè)其行波解為式(2)的形式, 將式(2)代入式(8)并化簡可得

-vu″u+v(u′)2+pu3+qu+r=0.

(9)

假設(shè)式(9)的解u(ξ)可表示成關(guān)于(G′/G)的式(4)形式的多項式, 則根據(jù)式(4)及齊次平衡法可得2m+2=3m, 即m=2, 于是

(10)

將式(10)代入式(9), 有

令式(11)中(G′/G)各次冪的各項系數(shù)為0, 則有下列代數(shù)方程組:

利用Matlab數(shù)學軟件可得很多組解, 本文任意選取其中的兩組解：

第一組行波解為

第二組行波解為

綜上, 本文利用(G′/G)展開法獲得了對KdV-mKdV方程和Zhiber-Shabat方程的行波解, 結(jié)果表明, 該方法能更直接、 更有效地求解非線性發(fā)展方程的行波解, 且可以得到其他方法不能得到的行波解.

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