杜潤梅, 張玉娟, 祝英杰

(1. 吉林大學 數(shù)學研究所, 長春 130012; 2. 中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所, 長春 130033; 3. 長春大學 理學院, 長春 130022)

0 引 言

考慮如下系統(tǒng):

其中: 01;α,β>0,u0(x),v0(x)是非負的、 適當光滑的、 具有緊支集的有界函數(shù), 并且滿足適當?shù)募嫒菪詶l件.

基于Fujita[1]的工作, 關(guān)于擴散方程的臨界Fujita指標問題已得到廣泛關(guān)注和研究[2-8]. Ferreira等[4]考慮了帶有非線性邊界源的快擴散問題:

其中: 0

1) 如果0

2) 如果p0

3) 如果p>pc, 則初值較小時的解是全局存在的, 初值較大時的解在有限時間內(nèi)爆破.

本文主要研究系統(tǒng)(1)-(3)解的長時間行為, 即臨界全局存在性曲線和臨界Fujita曲線的問題.

1 主要結(jié)果

命題1假設(shè)α<(m+1)/2,β<(n+1)/2. 如果pq≤(m+1-2α)(n+1-2β)/4, 則系統(tǒng)(1)-(3)的所有非負非平凡解都是全局存在的.

證明: 對于(x,t)∈(1,+∞)×(0,T), 定義

命題2假設(shè)α<(m+1)/2,β<(n+1)/2. 如果pq>(m+1-2α)(n+1-2β)/4, 則當初值較大時, 系統(tǒng)(1)-(3)的非負解在有限時間內(nèi)爆破.

證明: 設(shè)

其中:T>0;

假設(shè)f1,f2是滿足如下條件的函數(shù):

f1(η1),f2(η2)≥0,f1(η1)′,f2(η2)′≤0,f1(η1)″,f2(η2)″≥0,η1,η2≥0.

(4)

經(jīng)過計算可知, 如果不等式組:

(5)

(6)

(7)

(8)

下面構(gòu)造滿足式(4)～(8)的函數(shù)f1,f2. 選取

(9)

(10)

其中00是待定常數(shù). 顯然,f1,f2滿足條件(4). 下面證明f1,f2滿足式(5)～(8). 先說明式(5)成立. 當η1≥A1/B1時,f1=0顯然成立. 當0<η1

即

(11)

將式(9),(10)代入式(7),(8), 可得

(12)

(13)

由于pq>(m+1-2α)(n+1-2β)/4, 并注意到0

由此可得不等式(12)和(13).

注1假設(shè)α<(m+1)/2,β<(n+1)/2. 由命題1和命題2知, 系統(tǒng)(1)-(3)的臨界全局存在性曲線是pq=(m+1-2α)(n+1-2β)/4.

命題3如果pq≠(m-α)(n-β), 則當初值較小時, 系統(tǒng)(1)-(3)的每個非負非平凡解都是全局存在的.

證明: 定義

其中:

B1=(λ1-1)m(n-β)/(pq-(m-α)(n-β))(λ2-1)mp/(pq-(m-α)(n-β));

B2=(λ1-1)nq/(pq-(m-α)(n-β))(λ2-1)(m-α)n/(pq-(m-α)(n-β)).

通過簡單計算可知:

由命題1～命題3可得:

定理1表明當pq<(m+1-2α)(n+1-2β)/4時, 系統(tǒng)(1)-(3)的非負非平凡解都是全局存在的; 當pq>(m+1-2α)(n+1-2β)/4時, 系統(tǒng)(1)-(3)的非負非平凡解當初值較小時是全局存在的, 當初值較大時在有限時間內(nèi)爆破.

定理2假設(shè)α>(m+1)/2或β>(n+1)/2, 則系統(tǒng)(1)-(3)的解當初值較大時在有限時間內(nèi)爆破.

考慮問題:

容易驗證(w,v0)是系統(tǒng)(1)-(3)的下解. 由文獻[6]中命題2.3知, (w,v0)對大初值在有限時間內(nèi)爆破. 因此, 系統(tǒng)(1)-(3)的解(u,v)也會在有限時間內(nèi)爆破. 證畢.

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