魏淑紅

（甘肅建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

求截面內(nèi)力和畫內(nèi)力圖，不僅是強(qiáng)度、剛度計(jì)算的需要，也是位移計(jì)算和分析超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，尤其是彎矩圖應(yīng)用很廣，它是建筑力學(xué)課程重要的基本功之一，也是教學(xué)中的難點(diǎn)，如何快速而準(zhǔn)確地畫出彎矩圖是本文要討論的問題。

為畫彎矩圖方便對其正負(fù)規(guī)定是：彎矩使梁的下側(cè)纖維受拉為正，上側(cè)纖維受拉為負(fù)。對其數(shù)值的簡便計(jì)算是：梁內(nèi)任一截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和，若外力矩使所考慮的梁段產(chǎn)生下凸彎曲變形時(shí)取正號，反之，取負(fù)號。此規(guī)律可記為“下凸彎矩正”。

1 掌握荷載與彎矩圖形狀的規(guī)律

繪制內(nèi)力圖的基本方法是內(nèi)力方程法，它是通過分段、列方程、描點(diǎn)等來繪制內(nèi)力圖的，比較繁瑣。通常用它繪制簡單荷載作用下懸臂梁、簡支梁的內(nèi)力圖總結(jié)出荷載與內(nèi)力圖變化的規(guī)律，利用這些規(guī)律來繪制內(nèi)力圖可使計(jì)算工作量大為減少?，F(xiàn)總結(jié)荷載與彎矩圖關(guān)系為：（1）梁上某段無荷載作用，彎矩圖是直線圖；（2）梁上某段有均布荷載作用，彎矩圖是二次拋物線，拋物線的凸向與均布荷載指向相對應(yīng)。當(dāng)均布荷載向下，彎矩圖為向下凸的拋物線；當(dāng)均布荷載向上，彎矩圖為向上凸的拋物線；（3）梁在集中力作用處，彎矩圖有尖點(diǎn)，尖點(diǎn)方向與集中力指向相對應(yīng)。當(dāng)集中力向下，尖點(diǎn)向下；當(dāng)集中力向上，尖點(diǎn)向上；（4）梁在集中力偶作用處，彎矩圖發(fā)生突變，突變量的絕對值等于集中力偶的力偶矩。若從左向右作圖，力偶為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向上突變；力偶為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向下突變。反之，相反；（5）絕對值最大的彎矩總是出現(xiàn)在集中力作用處、集中力偶作用處或剪力為零的截面上。

以上是利用了荷載與彎矩圖形狀之間的一些對應(yīng)關(guān)系而總結(jié)的規(guī)律，它除了可以幫助檢查作圖的正確性外，利用它可避免列方程的麻煩而直接畫出彎矩圖。為了對這一規(guī)律便于記憶，用口訣表述彎矩圖：沒有荷載直線圖，均布荷載拋物線，集中荷載有尖點(diǎn)，力偶荷載有突變。

2 結(jié)合疊加法畫彎矩圖

通?？上确侄吻蟪鰞啥私孛娴膹澗兀缓罄茂B加法將該區(qū)段的彎矩圖繪出。例如，某一梁段AB上作用有荷載及兩端截面彎矩如圖1（a）所示，則AB的彎矩圖如圖1（c），其作法：先畫兩端彎矩MA、MB的豎標(biāo)并連成虛直線得M1圖，再以虛直線為基線疊加相應(yīng)簡支梁AB如圖1（b）在荷載作用下的MO圖，拋物線中點(diǎn)的豎標(biāo)恒為ql2/8，圖1（c）并垂直于桿件軸線，AB中點(diǎn)的彎矩值MAB中=（MA+MB）/2+ql2/8；即得總M圖。同理，當(dāng)A、B間無荷載作用時(shí)，直接用實(shí)線連接兩截面的彎矩值即可；當(dāng)A、B跨中受集中荷載作用時(shí)，用虛線連接兩截面的彎矩值，并以此虛線為基線疊加相應(yīng)簡支梁的彎矩圖形且中點(diǎn)的豎標(biāo)恒為plAB/4，其總彎矩圖中點(diǎn)的彎矩值為MAB中=（MA+MB）/2+plAB/4。由此得出結(jié)論：任意段梁都可以當(dāng)作簡支梁，用疊加法來作該段的彎矩圖。

圖1

3 迅速畫彎矩圖舉例

為迅速而準(zhǔn)確地繪制梁的彎矩圖，在掌握上述內(nèi)容的基礎(chǔ)上，還可以利用一些特點(diǎn)來幫助快速畫彎矩圖。如自由端、簡支端、鉸結(jié)點(diǎn)鄰近截面若有外力偶作用，則該截面彎矩等于外力偶，若無外力偶作用則彎矩值為零且彎矩圖的斜率不變。對于剛架彎矩圖還要掌握一些特點(diǎn)，例如剛結(jié)點(diǎn)處力矩平衡,對于兩桿剛結(jié)點(diǎn)，如結(jié)點(diǎn)上無力偶作用,則桿端彎矩?cái)?shù)值必相等且受拉側(cè)相同。外力與桿軸重合不產(chǎn)生彎矩，如果外力與桿軸平行產(chǎn)生的彎矩為常數(shù)。結(jié)構(gòu)對稱，荷載對稱，則彎矩圖也對稱,不求或少求支反力等，這些都將給繪制彎矩圖的工作帶來極大方便。

例1 試畫出圖2所示多跨靜定梁的彎矩圖。

解：本題可以不求支反力，但畫彎矩圖要從自由端E開始。自由端截面有外力偶m作用，則該截面彎矩等于外力偶且為常數(shù)，E D段彎矩圖為水平線。鉸結(jié)點(diǎn)F無外力偶作用，則MF=0，DF段無均布荷載，彎矩圖為斜直線，又由于鉸F處無集中力作用，彎矩圖切線的斜率不變，所以FC段與DF段的彎矩圖在過鉸F的同一直線上，根據(jù)比例關(guān)系得MC=m。同理可得CG、GB、BH、HA段彎矩圖。

例2 試用最簡便的方法分別畫出圖3、圖4所示剛架的彎矩圖。

解：（1）分析圖3：剛架對稱、荷載對稱，則彎矩圖必對稱。用疊加法畫橫梁DE的彎矩圖時(shí)，要向下疊加一拋物線且最大值為ql2/8，拋物線的頂點(diǎn)落在鉸C處，因?yàn)殂qC處無力偶，彎矩值為零，由此可得DE段的彎矩圖。由剛結(jié)點(diǎn)D、E的力矩平衡得MDA、MEB的彎矩值也是ql2/8且同在外側(cè)受拉。而MAD=MBE=0且DA、EB段無荷載彎矩圖為直線，于是可快速畫出剛架的彎矩圖即M圖。

（2）分析圖4：也是剛架對稱、荷載對稱，雖然支座形式不對稱，但反力RB的方向確定，支座A反力的分量XA與YA的合力RA應(yīng)與支座B處的反力RB對稱，即兩邊支座反力方向均與斜桿軸線重合，因此，兩斜桿的彎矩為零。根琚剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡得MCD=MDC=0，桿CD的彎矩圖即簡支梁CD的彎矩圖，MCD中=pl/4。

4 結(jié)語

綜上所述，掌握好荷載與彎矩圖形的規(guī)律，應(yīng)用疊加法畫彎矩圖是一種簡捷而有效的方法。如果我們還能經(jīng)?？偨Y(jié)彎矩圖形特點(diǎn)，在實(shí)踐中不斷探索，掌握一些規(guī)律，如懸臂端、鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)、外力與桿軸重合或平行、對稱性、不求或少求支反力等，這些技巧都能幫助我們迅速而準(zhǔn)地畫出彎矩圖。

[1] 于英.建筑力學(xué)（第二版）[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2007.

[2] 孔七一.應(yīng)用力學(xué)[M].北京：人民交通出版社，2005.