杜 偉，鄧?yán)^新，曲壽利，王世星

（1.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院，四川成都610059；2.四川省蜀通巖土工程公司，四川成都610000；3.油氣藏地質(zhì)及開(kāi)發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（成都理工大學(xué)），四川成都610059；4.中國(guó)石油化工股份有限公司石油物探技術(shù)研究院，江蘇南京211103）

利用地震屬性進(jìn)行裂隙預(yù)測(cè)需要對(duì)含裂隙孔隙介質(zhì)中彈性波傳播特征進(jìn)行系統(tǒng)研究，并建立介質(zhì)（裂隙）特征參數(shù)與地震波傳播特征之間的聯(lián)系。最常用的裂隙模型主要有Hudson裂隙模型和線性滑動(dòng)模型兩類(lèi)。其中Hudson裂隙模型是基于散射理論來(lái)分析含幣形裂隙彈性固體的平均波場(chǎng)特性，而線性滑動(dòng)—界面裂隙模型是將裂隙看作無(wú)限薄的高柔度薄層或滿(mǎn)足線性滑動(dòng)邊界條件的“弱”面［1－2］。Bakulin等將 Hudson裂隙模型與線性滑動(dòng)裂隙模型有機(jī)的聯(lián)系起來(lái)，并詳細(xì)討論了定向裂隙可能形成的各向異性介質(zhì)類(lèi)型及相應(yīng)地震波傳播的規(guī)律［3］。

由于含裂隙孔隙介質(zhì)中孔隙和裂隙在尺度上的差異，在彈性波的作用下介質(zhì)中會(huì)形成介觀尺度上的孔隙流體流動(dòng)，這種流體流動(dòng)耗散機(jī)制可使巖石介質(zhì)在地震頻段也表現(xiàn)出較為明顯的速度頻散和衰減特征［4－8］。我們將周期性層狀孔隙介質(zhì)中厚度較薄的一層替換為具有高孔隙度的柔性層［9］，即裂隙在背景孔隙介質(zhì)中呈定向等間距分布，給出含裂隙孔隙介質(zhì)中縱波衰減和速度頻散的理論計(jì)算模型，相對(duì)于Brajanovski等提出傳播矩陣法一文中所介紹的方法［6］更為簡(jiǎn)潔且物理意義明確。同時(shí)，將這種效應(yīng)與描述裂隙的重要參數(shù)聯(lián)系起來(lái)，在一定程度上提高了含裂隙孔隙介質(zhì)中彈性波傳播的預(yù)測(cè)和模擬的能力，為更有效的利用地震或測(cè)井信息進(jìn)行含裂隙孔隙儲(chǔ)層的預(yù)測(cè)及評(píng)價(jià)提供依據(jù)。

1 含定向裂隙的孔隙介質(zhì)簡(jiǎn)化模型

以裂隙型碳酸鹽巖儲(chǔ)層或碎屑砂巖儲(chǔ)層為代表的裂隙孔隙介質(zhì)通常具有兩種孔隙系統(tǒng)。影響儲(chǔ)層質(zhì)量的裂隙為具有一定延展和張開(kāi)度的介觀尺度裂隙（裂隙長(zhǎng)度在厘米級(jí)到分米級(jí)之間），可使用不同縱橫比的幣形裂隙或滿(mǎn)足線性滑動(dòng)邊界條件的無(wú)限薄的高柔度“弱面”作為介質(zhì)中裂隙的理想模型［9］。由于儲(chǔ)層中的裂隙在后期地質(zhì)流體作用下會(huì)逐漸在其中沉淀一些重結(jié)晶礦物顆粒，這使得裂隙面并非完全相互分離，而是在其延展范圍內(nèi)存在多個(gè)相互接觸的部位，其形態(tài)更類(lèi)似于具有很高孔隙度而厚度很小的孔隙介質(zhì)層，因此可將含定向裂隙的孔隙介質(zhì)等效為由孔隙介質(zhì)層（背景介質(zhì)）與高孔隙度軟薄層所構(gòu)成的層狀介質(zhì)。

圖1為周期性層狀孔隙介質(zhì)模型，①層和②層的半厚度分別為a與b［9］。如果將該等效體元中較薄一層介質(zhì)的厚度趨于零，即b→0，則可用該層來(lái)表征裂隙。取由①層與②層所構(gòu)成的等效體元進(jìn)行分析，在垂直于層面的穩(wěn)態(tài)縱波作用下，外加應(yīng)力亦與層面垂直，使孔隙介質(zhì)整體表現(xiàn)為單軸應(yīng)變狀態(tài)，同時(shí)等效體元中的每一層均滿(mǎn)足Biot方程。

圖1 周期性層狀孔隙介質(zhì)模型

2 低頻條件下裂隙孔隙介質(zhì)的衰減和頻散特征

在文獻(xiàn)［1］中推導(dǎo)出的公式基礎(chǔ)上，對(duì)本文的裂隙孔隙介質(zhì)模型進(jìn)行分析。Biot理論時(shí)間域彈性動(dòng)力學(xué)方程組可以表示為［10－11］

式中：u為孔隙介質(zhì)固體骨架位移向量，若定義U為平均流體位移向量，則孔隙流體相對(duì)位移向量w＝φ（U－u）；φ為介質(zhì)孔隙度；ρb和ρf分別代表固體骨架組成物質(zhì)密度與孔隙流體密度。

作用于孔隙介質(zhì)上的總應(yīng)力張量τij與平均孔隙壓力p可分別表示為［12］

式中：εij為孔隙介質(zhì)骨架應(yīng)變張量；εkk＝為孔隙介質(zhì)固體骨架的體應(yīng)變；ξ＝Δ（u－U）表示孔隙流體增量。

分別在等效體元的頂、底面沿垂直于層面的z軸方向作用簡(jiǎn)諧正應(yīng)力Pe＝－τ0exp （iωt），其中τ0為彈性波振幅。①，②層中的誘發(fā)孔壓p～1與p～2可表示為

式中：coth為雙曲余切函數(shù)；κ1和κ2分別為①層與②層孔隙介質(zhì)的絕對(duì)滲透率；γ1和γ2分別為單軸應(yīng)變條件下①層與②層的Skempton系數(shù)。

①，②層的固體骨架位移振幅～u（z），在模型單元邊界z＝a處位移振幅（a）為

模型單元邊界z＝－b處位移振幅～u（－b）為

式中：Esat2和cm2分別代表②層流體飽和孔隙介質(zhì)在單軸應(yīng)變條件下的非排水應(yīng)變模量與Geertsma系數(shù)。公式（4）和公式（5）中的第一項(xiàng)為非排水條件下各層孔隙介質(zhì)在外加正應(yīng)力作用下的位移，第二項(xiàng)則為層間流體流動(dòng)作用所引起的介質(zhì)固體骨架位移。

定義復(fù)縱波模量H（）ω＝－Pe／ε，其中作用于等效體元上的外加應(yīng)力Pe＝－τ0exp（iωt），可令等效體元的總長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則等效體積模量H（ω）可表示為

利用復(fù)體積模量可計(jì)算出縱波相速度vp與縱波衰減的逆品質(zhì)因子Q－1：

式中：ρ為等效體元的密度。

對(duì)周期性層狀孔隙介質(zhì)模型（圖1）進(jìn)行計(jì)算，其中①層代表具有較低孔隙度的硬砂層，②層為具有較高孔隙度軟砂層或裂隙層，孔隙層均為水飽和。介質(zhì)模型等效體元的總長(zhǎng)度取定值L＝0.2m，其中①層厚度a＝0.18m，②層厚度b＝0.02m?？紫督橘|(zhì)層的骨架參數(shù)與飽和流體參數(shù)見(jiàn)表1。

圖2中給出不同頻率下介質(zhì)模型中歸一化孔隙壓力（p／Pe）實(shí)部變化特征（虛部因其量值很小而未給出）。與參考文獻(xiàn)［9］得出的結(jié)論一致，在①，②層分界面處（z＝0）形成明顯的壓力梯度。為平衡快縱波所形成的孔壓梯度，孔隙流體以慢縱波的形式發(fā)生擴(kuò)散，致使總孔隙壓力（Ⅰ＋Ⅱ）在分界面處達(dá)到平衡（慢縱波孔壓為公式（3）中前兩項(xiàng)）。在相對(duì)低頻條件下，①，②層中快縱波所形成的壓力梯度可通過(guò)慢縱波擴(kuò)散作用平衡，致使總孔隙壓力在①，②層內(nèi)相等且近于恒定，介質(zhì)體系處于弛豫狀態(tài)。隨頻率的增加慢縱波通過(guò)流體擴(kuò)散作用對(duì)孔隙壓力的影響范圍減小，慢縱波所引起的孔隙壓力變化僅局限在距離界面較近的范圍內(nèi)（圖2c和圖2d），在該范圍內(nèi)總孔隙壓力迅速變化，而該范圍之外總孔隙壓力又與快縱波誘發(fā)孔隙壓力一致，孔隙流體逐漸接近非弛豫狀態(tài)，此時(shí)孔隙介質(zhì)系統(tǒng)可簡(jiǎn)單看做是由彈性層疊置構(gòu)成。

圖2 孔隙介質(zhì)層歸一化孔隙壓力（p／Pe）實(shí)部分布特征

根據(jù)公式（2）可知孔隙流體相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)與孔隙壓力的變化率一致。我們所得出的結(jié)論與參考文獻(xiàn)［9］的結(jié)論一致，在此就不再贅述。慢縱波所形成的流體相對(duì)流動(dòng)起主導(dǎo)作用，模型介質(zhì)中傳播彈性波的衰減主要表現(xiàn)為慢縱波的耗散作用。

3 低頻條件下裂隙孔隙介質(zhì)的頻散方程

3.1 干燥條件下周期性層狀孔隙介質(zhì)順度矩陣表示

如果干燥條件下①，②層孔隙介質(zhì)的體積模量分別為Kb1與Kb2，剪切模量分別為Gb1與Gb2，則在長(zhǎng)波長(zhǎng)假設(shè)下（傳播彈性波波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于單位體元的長(zhǎng)度）周期性層狀孔隙介質(zhì)的等效彈性性質(zhì)具有橫向各項(xiàng)同性介質(zhì)特征，其順度矩陣sdry可表示為［14］

式中：參數(shù)A＝G／Ksat，B＝3〈G〉－4〈AG〉，“〈〉”代表對(duì)應(yīng)彈性參數(shù)的體積加權(quán)平均值，如對(duì)所研究單位體元〈G〉可表示為

如果用厚度相對(duì)較薄的B層來(lái)代表裂隙，則其厚度b→0，同時(shí)干燥條件下該層介質(zhì)的體積模量與剪切模量也應(yīng)趨于零值，即Kb2→0，Gb2→0。利用上述關(guān)系可得到如下表達(dá)式：

利用公式（10）順度矩陣sdry可簡(jiǎn)化為

式中：等號(hào)右邊第1項(xiàng)為干燥條件下①層孔隙介質(zhì)順度矩陣表示形式，其中Yb1與νb1為①層孔隙介質(zhì)在干燥條件下的楊氏模量與泊松比；等號(hào)右邊第2項(xiàng)在②層厚度趨于零時(shí)可視為因裂隙的存在而形成的附加裂隙順度。同樣，根據(jù)線性滑動(dòng)—界面裂隙模型，對(duì)于含周期性定向裂隙的彈性固體其順度矩陣s亦可以表示為s＝sb＋sc的形式，其中sb為含裂隙背景介質(zhì)的順度，其與①層孔隙介質(zhì)的順度矩陣在表示形式上相同；sc為裂隙附加順度，其矩陣形式為［15］

式中：ZN與ZT分別為裂隙法向與切向附加柔度。因此當(dāng)公式（11）與公式（12）完全對(duì)等時(shí)，兩式中表示裂隙附加順度的矩陣必須相等，則下列條件成立

3.2 流體飽和裂隙孔隙介質(zhì)剛度系數(shù)C33表示

如果用單位體元中②層孔隙介質(zhì)代表裂隙，則該層應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足層厚b→0及孔隙度φ→1，在孔隙度φ→1時(shí)該層的體積模量與剪切模量Kb2和Gb2趨近于0。對(duì)于裂隙層則有Biot系數(shù)α2→1，孔彈性參數(shù)M2＝Kf（Kf為②層裂隙飽和流體的體積模量），裂隙層在非排水條件下的體積模量Ks2at＝M2＝Kf。對(duì)于雙曲余切函數(shù)（cothx）存在關(guān)系cothx＝1／x，則有

將（14）式代入（6）式中可得到流體飽和條件下裂隙孔隙介質(zhì)中法向入射縱波的剛度系數(shù)C33的計(jì)算公式（表示為單軸應(yīng)變條件：Edry1＝Kb1＋4Gb1／3，Esat1＝Ksat1＋4Gb1／3）：

（15）式與Brajanovski等利用傳播矩陣法所推導(dǎo)的計(jì)算結(jié)果一致［9］。

在公式（15）中垂直裂隙傳播縱波的頻率ω應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系ω＜0.15ωc，此時(shí)公式（15）中的剛度系數(shù)C33處于頻散關(guān)系的低頻域，在低頻極限下有

則在低頻極限下剛度系數(shù)C33可表示為

當(dāng)傳播縱波的頻率ω足夠大（但仍滿(mǎn)足關(guān)系ω＜0.15ωc），即ω?D2／L2，孔隙壓力差異不能夠在波傳播的半周期內(nèi)達(dá)到平衡，此時(shí)剛度系數(shù)C33處于頻散關(guān)系的高頻域，高頻下雙曲余切函數(shù)（cothx）存在關(guān)系＝－i，則（17）式在高頻極限下可表示為

4 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

可利用Krief公式計(jì)算作為背景層的①層孔隙介質(zhì)在干燥條件下的體積模量Kb1與剪切模量Gb1，Krief公式表示為［16］：

若分析含周期性定向裂隙的碳酸鹽巖儲(chǔ)層縱波傳播特征，則可取背景孔隙介質(zhì)組成顆粒為方解石，其體積模量Ks與剪切模量為Gs分別為76.8和32.0GPa［17］。法向與切向附加柔度ZN與ZT的值難以準(zhǔn)確給出，因此采用無(wú)單位裂隙弱度來(lái)表征裂隙的影響，其值變化范圍為0～1，該值越高表明所含裂隙越多，其中法向裂隙弱度ΔN可表示為［18］

圖3中給出了背景層孔隙度變化對(duì)垂直裂隙傳播縱波速度及逆品質(zhì)因子的影響，其中，①層孔隙 介 質(zhì) 的 滲 透 率 κ1＝0.1μm2，粘 度 η1＝1g／（m·s－1），孔隙流體體積模量Kf＝2.25GPa，流體密度ρf＝1g／cm3。對(duì)于給定的裂隙弱度ΔN＝0.2，隨背景層孔隙度從0.1%變至1.0%時(shí)縱波速度頻散和衰減表現(xiàn)出迅速的增加，當(dāng)背景層孔隙度在1%～10%時(shí)速度頻散和衰減特征差異很小，而當(dāng)孔隙度大于10%時(shí)縱波速度頻散和衰減又明顯減小，所給出的裂隙孔隙介質(zhì)在背景孔隙度為1%～10%時(shí)具有最強(qiáng)的速度頻散和衰減。當(dāng)背景層的孔隙度接近零值時(shí)僅能容納很少量的從裂隙層中排除出的流體，孔隙流體流動(dòng)相對(duì)較弱而處于非弛豫狀態(tài)，此時(shí)介質(zhì)的速度頻散及衰減均會(huì)表現(xiàn)的較??；當(dāng)背景層的孔隙度增高時(shí)能容納的孔隙流體量也在增加，因此介質(zhì)的速度頻散及衰減會(huì)表現(xiàn)出隨孔隙度增大的特征；但裂隙層中所排出的孔隙流體的多少取決于背景層與裂隙層的孔隙壓力差異，孔隙度增大時(shí)彈性波所形成的孔壓是減少的，而同時(shí)由于裂隙的弱度為定值，因此孔隙壓差也會(huì)隨背景層的孔隙度增大而減少。正是背景層孔隙度變化時(shí)存在上述兩種作用，使得介質(zhì)在孔隙度為1%～10%時(shí)具有最強(qiáng)的速度頻散和衰減。

圖4中給出了裂隙弱度變化時(shí)對(duì)垂直于裂隙傳播縱波速度及逆品質(zhì)因子的影響。在給定背景層孔隙度為20%的情況下，裂隙弱度越高則表明其抵抗外加壓力的作用越弱，也即在相同的彈性波作用下所誘發(fā)的孔隙壓力越大，因此孔壓差隨裂隙弱度的增加而增大，會(huì)造成更多的孔隙流體從裂隙流入背景孔隙介質(zhì)中，使得介質(zhì)中傳播縱波的速度頻散及逆品質(zhì)因子均會(huì)隨裂隙弱度的增大而增大。

圖6 背景層滲透率變化對(duì)裂隙孔隙介質(zhì)縱波速度（a）與逆品質(zhì)因子（b）的影響

圖5與圖6中分別給出孔隙流體粘度及背景孔隙介質(zhì)滲透率變化對(duì)垂直于裂隙傳播縱波速度及逆品質(zhì)因子的影響。在裂隙弱度ΔN及孔隙度一定的情況下，彈性波作用下所形成的孔隙壓力是一定的，即在裂隙層與背景層的分界面處所形成的孔隙壓差一定，該孔壓梯度下形成裂隙層與背景孔隙層之間的流體流動(dòng)以使界面處孔隙壓力平衡。那么孔隙流體的粘度越高或者介質(zhì)滲透率越低則流體流動(dòng)越不易發(fā)生，孔壓平衡所需要時(shí)間也越長(zhǎng)，則需要傳播縱波的頻率較低以使孔壓能在波傳播的半周期內(nèi)平衡。表現(xiàn)出隨滲透率的降低以及孔隙流體粘度的增加特征頻率（衰減峰值）頻率向低頻移動(dòng)，而滲透率與孔隙流體粘度的變化對(duì)縱波頻散值以及逆品質(zhì)因子值并無(wú)影響，這與傳統(tǒng)的Biot理論相異而和噴射流作用類(lèi)似。

5 結(jié)束語(yǔ)

干燥裂隙孔隙介質(zhì)的等效彈性性質(zhì)具有橫向各項(xiàng)同性介質(zhì)特征并與線性滑動(dòng)裂隙模型一致。當(dāng)縱波通過(guò)含流體裂隙孔隙介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)的不同部分由于孔壓不均引起孔隙流體在介觀尺度上的流動(dòng)，表現(xiàn)為慢縱波流體擴(kuò)散作用。裂隙孔隙介質(zhì)中傳播縱波的速度頻散及逆品質(zhì)因子值依賴(lài)于背景介質(zhì)的孔隙度及裂隙弱度ΔN，均會(huì)隨裂隙弱度的增大而增大；飽和流體粘度以及介質(zhì)滲透率的變化不改變速度頻散或品質(zhì)因子的大小，但會(huì)使特征頻率發(fā)生移動(dòng)；特征頻率的大小依賴(lài)于背景孔隙介質(zhì)的滲透率與粘度，同時(shí)也與裂隙的間隔及密度（裂隙弱度表示）有關(guān)。我們導(dǎo)出了含定向裂隙孔隙介質(zhì)中垂直于裂隙傳播縱波的頻散方程，它既能有效模擬裂隙對(duì)彈性波傳播的影響，又同時(shí)建立了該類(lèi)介質(zhì)速度特征、衰減特征與裂隙特征、裂隙所嵌入的多孔巖石特征、充填流體特征之間的準(zhǔn)確關(guān)系，可為利用地震及測(cè)井資料進(jìn)行相關(guān)裂隙參數(shù)的估算提供理論依據(jù)，在裂隙、孔隙型油氣儲(chǔ)層的地震與測(cè)井識(shí)別方面有一定的應(yīng)用前景。

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