金 偉，賈維敏，張峰干，姚敏立

（1.第二炮兵工程大學(xué)，陜西 西安 710025；2.解放軍96265部隊(duì)，河南 南陽(yáng) 473139）

0 引言

自適應(yīng)波束形成可以增強(qiáng)期望信號(hào)，并對(duì)噪聲和干擾信號(hào)進(jìn)行有效抑制，已被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、射電天文、地震學(xué)、通信和醫(yī)療成像等領(lǐng)域［1］。然而，當(dāng)陣列導(dǎo)向矢量和接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣存在失配誤差時(shí)，自適應(yīng)波束形成器性能惡化，因此，如何增強(qiáng)自適應(yīng)波束形成器的魯棒性一直是學(xué)者們研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題［2］。

針對(duì)Capon波束形成器這一典型的自適應(yīng)波束形成器［3］，目前提出了許多種魯棒波束形成算法。在傳統(tǒng)方法中，較具代表性的是對(duì)角加載算法［4］和特征子空間法［5］，但前者存在加載量難以選取的問(wèn)題，而后者在信噪比較低和信號(hào)加干擾維數(shù)較高時(shí)性能受到限制。近年來(lái)，基于不確定集理論發(fā)展起來(lái)的魯棒自適應(yīng)波束形成算法，具有清晰的理論架構(gòu)，是目前公認(rèn)的較為有效的魯棒算法，其典型代表為最差性能最優(yōu)法（Worst－Case，WC）［6］和魯棒 Capon波束法（Robust Capon Beamformer，RCB）［7］。該類方法通過(guò)對(duì)導(dǎo)向矢量的失配誤差進(jìn)行建模，將其限定在球體或橢球體內(nèi)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題或?qū)ψ顑?yōu)加載量的數(shù)值求解問(wèn)題，后續(xù)許多算法都是對(duì)這類算法的改進(jìn)和再創(chuàng)新［8－9］。另外，由于大多數(shù)魯棒波束形成算法不能對(duì)波束形成器主瓣進(jìn)行精確控制，文獻(xiàn)［10—11］提出了可以自由控制主瓣魯棒響應(yīng)區(qū)寬度和紋波水平的魯棒波束形成器，文獻(xiàn)［12］將之推廣至寬帶魯棒波束形成。

然而，上述魯棒波束形成方法基本上都是基于多通道陣列接收系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，它們都需要知道接收數(shù)據(jù)協(xié)方差陣，才可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行建模求解。為得到接收數(shù)據(jù)協(xié)方差陣，每一個(gè)陣元對(duì)應(yīng)接收機(jī)的一個(gè)通道，即一個(gè)陣元接一個(gè)接收機(jī)，隨著陣元數(shù)的增加，接收機(jī)數(shù)量也要增加，因此陣元一多，造價(jià)就會(huì)很昂貴［13－17］。為減小硬件規(guī)模，降低系統(tǒng)成本，基于單通道接收機(jī)的陣列信號(hào)處理方法近年來(lái)得到發(fā)展，但其大多用于 DOA 估計(jì)［14－17］和無(wú)約束的波束形成［13］，并未用于帶有約束處理的魯棒波束形成。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出了基于單通道接收機(jī)的最差性能最優(yōu)魯棒Capon波束形成算法。

1 問(wèn)題描述

對(duì)一個(gè)具有M個(gè)陣元的線性陣列，其輸出通常可表示為：

式（1）中，w ＝ ［w1，w2，…，wM］T為自適應(yīng)陣列加權(quán)矢量，y（k）為陣列輸出，k代表采樣時(shí)刻，（·）T和（·）H分別表示轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算，x（k）為M×1維接收數(shù)據(jù)矢量，可表示為：

式（2）中，s（k），i（k），n（k）分別為期望信號(hào)、干擾信號(hào)和高斯白噪聲分量，s（k）為期望信號(hào)波形，θ0為期望信號(hào)方向，a（θ0）為期望信號(hào)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量。

1.1 最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束形成器

最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束形成器是一種典型的自適應(yīng)波束形成器，通?？杀硎緸椋?］：

由于這一式子的最優(yōu)解最早是由Capon求出的，因此又稱為Capon波束形成器。式（3）中，Ri＋n表示干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，由于在實(shí)際中難以得到，一般都用陣列輸出的采樣協(xié)方差矩陣代替，取采樣快拍數(shù)為N，則采樣協(xié)方差矩陣可表示為：

實(shí)際中真實(shí)的θ0難以精確獲得，常用假定值θ－0代替。由于與θ0之間存在一定的失配誤差，導(dǎo)致假設(shè)的期望導(dǎo)向矢量與真實(shí)值存在失配誤差，因此期望信號(hào)有可能被當(dāng)作干擾而抑制掉，且這種情況隨著期望信號(hào)功率的增加愈加嚴(yán)重，此時(shí)Capon波束器的性能嚴(yán)重惡化。

為提高Capon波束形成器的魯棒性，學(xué)者們提出了多種魯棒波束形成算法。對(duì)角加載算法（Loaded Sample Matrix Inversion，LSMI）是一種較為常用的魯棒波束形成算法，可以描述為［4］：

通過(guò)引入對(duì)角加載矩陣，LSMI算法對(duì)噪聲子空間的擾動(dòng)具有一定的抑制能力，從而在一定程度上提高了波束形成器的魯棒性。該算法的關(guān)鍵問(wèn)題就是加載因子λ難以選擇，其中一個(gè)經(jīng)驗(yàn)取法就是λ等于10倍的噪聲功率［4］。但是，這種參數(shù)選擇方法具有很大的隨意性，其效果也有限。許多優(yōu)秀的不確定集方法都被證明是一種廣義對(duì)角加載算法，它們之所以效果較好是因?yàn)槟軌蛘业揭粋€(gè)在某種意義上最優(yōu)的對(duì)角加載因子［7］。

1.2 單通道接收機(jī)系統(tǒng)

為縮減硬件規(guī)模，降低系統(tǒng)成本，削弱通道幅相特性不一致問(wèn)題對(duì)系統(tǒng)性能的影響，學(xué)者們提出用單通道接收機(jī)來(lái)進(jìn)行陣列信號(hào)處理［13－17］。

圖1給出了典型的單通道接收機(jī)系統(tǒng)示意圖［13］。在多通道陣列接收系統(tǒng)中，每個(gè)陣元接收的射頻信號(hào)均由一路通道完成下變頻，成為基帶信號(hào)，而后進(jìn)行采樣合并。單通道接收機(jī)系統(tǒng)則不一樣，如圖1所示，單通道接收機(jī)系統(tǒng)在射頻階段進(jìn)行信號(hào)合并，只需要一路接收系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行下變頻。相比于傳統(tǒng)的多通道陣列接收系統(tǒng)，單通道接收機(jī)系統(tǒng)硬件數(shù)量大為減少，系統(tǒng)成本大為降低，同時(shí)，也克服了多通道接收系統(tǒng)的通道幅相不一致問(wèn)題。在單通道接收機(jī)系統(tǒng)中，可以進(jìn)行測(cè)量的信息僅為陣列的輸出功率，每個(gè)陣元接收的基帶信號(hào)卻難以獲得以形成接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，因此需要先對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)。

圖1 單通道接收機(jī)Fig.1 Single－channel receiver

2 基于單通道接收機(jī)的最差性能最優(yōu)魯棒波束形成

提出的RCB－SPR算法可分為兩步：首先對(duì)單通道接收機(jī)的輸出功率運(yùn)用權(quán)微擾算法估計(jì)出接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最差性能最優(yōu)的魯棒Capon波束形成，從而對(duì)真實(shí)導(dǎo)向矢量進(jìn)行估計(jì)。

2.1 協(xié)方差矩陣估計(jì)

采用權(quán)微擾算法［14－15］對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)。對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)來(lái)說(shuō)，集合平均和時(shí)間平均等效，假設(shè)接收機(jī)接收的信號(hào)為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，則有：

對(duì)輸出功率來(lái)說(shuō)，則有：

對(duì)權(quán)矢量進(jìn)行微小擾動(dòng)，取w＋＝w0＋Δw和w－＝w0－Δw，式中Δw為權(quán)w0附近的微擾，利用兩次擾動(dòng)后的陣列輸出功率，可得

不失一般性，取矩陣R為赫米特陣，即R＝Rr＋iRj，式（9）中Rr是對(duì)稱的（Ri＝），Rj為反對(duì)稱的（Rj＝－）。給定Δw＝Δwr＋iΔwj，則有：

適當(dāng)選擇Δw、R的各元素可以通過(guò)接收機(jī)的輸出y（t）估計(jì)得到［15］，即

1）置Δwr＝ei（ei＝ ［0…1…0］T，1在位置i上）和Δwi＝0，則Rr的第i個(gè)對(duì)角線元素等于ΔwHRΔw；

2）置Δwr＝ei＋ej和Δwi＝0，Rr的元素（i，j），j＞i，可由［ΔwHRΔw－Rr（i，i）－Rr（j，j）］／2求得；

3）Rr剩下的元素可通過(guò)對(duì)稱性求得；

4）由于反對(duì)稱性，Ri的對(duì)角線上元素等于零；

5）置Δwr＝ej和Δwi＝ei，Ri的元素（i，j），j＞i，可由［ΔwHRΔw－Rr（i，i）－Rr（j，j）］／2求得；

6）Ri剩下的元素可通過(guò)反對(duì)稱性求得。

如此，我們就可以對(duì)陣列輸出的協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)。

2.2 最差性能最優(yōu)的魯棒波束形成算法

在實(shí)際中，由于快拍數(shù)量有所限制，再加上由權(quán)微擾算法估計(jì)協(xié)方差矩陣過(guò)程中引入的誤差，最終估計(jì)的協(xié)方差矩陣與真實(shí)值R之間存在一定的失配誤差。因此，我們可將式（3）的Capon波束器轉(zhuǎn)化為：

式（11）的優(yōu)化問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：

此時(shí)，式（12）的最優(yōu)解為：

同文獻(xiàn)［7］一樣，可以將式（12）的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，令其目標(biāo)函數(shù)為期望信號(hào)功率最大化（即令式（14）分母最小化）。同時(shí)，為了有效克服導(dǎo)向矢量失配誤差對(duì)自適應(yīng)波束形成器的影響，可以將導(dǎo)向矢量約束在一個(gè)以假定值為中心的不確定球集內(nèi)（其半徑為γ）。這樣，問(wèn)題可以描述為：

如此，可以采用凸優(yōu)化工具箱，或者類似于文獻(xiàn)［7］采用的數(shù)值解方法對(duì)式（15）進(jìn)行求解，從而對(duì)真實(shí)的導(dǎo)向矢量進(jìn)行估計(jì)。

需要說(shuō)明的是：1）經(jīng)權(quán)微擾算法估計(jì)出協(xié)方差矩陣，再經(jīng)本文的最差性能最優(yōu)式（11）處理后，也可適用于其他魯棒波束形成算法，如文獻(xiàn)［6］的算法，在此不再贅述；2）僅看式（12）可以發(fā)現(xiàn)，它與式（5）的對(duì)角加載LSMI算法具有相同的形式。這表明最差性能最優(yōu)的思想本質(zhì)也就是找到一個(gè)在最差性能最優(yōu)意義下的最優(yōu)加載因子，這里關(guān)于參數(shù)ε的選擇我們參照文獻(xiàn)［11］，取為ε＝0.（1，1）（（1，1）指的是的第一行第一列元素）。如此一來(lái)，ε可隨信號(hào)功率的變化而變化，能夠較好地對(duì)的失配誤差進(jìn)行有效約束。

3 實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)果分析

假設(shè)陣列為間隔半波長(zhǎng)的均勻線陣，陣元數(shù)為10，均為全向陣元。加載的噪聲為零均值、單位方差的空間高斯白噪聲。假設(shè)兩個(gè)干擾信號(hào)分別從－40°和60°入射，功率均為30dB。假設(shè)期望信號(hào)來(lái)波方向?yàn)?°。實(shí)驗(yàn)對(duì)對(duì)角加載算法LSMI［4］、最差性能最優(yōu)法（Worst－Case，WC）［6］、魯棒 Capon法RCB［7］和本文提出的RCB－SPR算法進(jìn)行比較。除本文RCB－SPR算法外，其他算法均采用多通道接收機(jī)采樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。實(shí)驗(yàn)采用100個(gè)快拍，實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)自100次獨(dú)立的蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。WC算法中不確定集大小取為文獻(xiàn)［6］推薦的0.3 M，RCB和本文RCB－SPR算法不確定集大小取為4。

3.1 實(shí)驗(yàn)1：歸一化方向圖比較

該實(shí)驗(yàn)主要比較幾種算法的歸一化方向圖。實(shí)驗(yàn)中期望信號(hào)功率為10dB。期望信號(hào)真實(shí)方向?yàn)?°。圖2給出了幾種算法的歸一化方向圖。

圖2 歸一化方向圖Fig.2 Normalized beampatterns

從圖2可知：SMI算法在真實(shí)信號(hào)方向形成了較深的零陷，這表明SMI算法將真實(shí)信號(hào)當(dāng)成干擾進(jìn)行抑制，實(shí)際上期望信號(hào)功率越大，這種抑制作用會(huì)越明顯，因此在真實(shí)信號(hào)方向形成的零陷就會(huì)越深。LSMI算法具有一定的魯棒性，在真實(shí)信號(hào)方向形成的零陷不如SMI深，但其魯棒性并不是特別強(qiáng)。從方向圖比較來(lái)看，RCB－SPR算法效果較好。

3.2 實(shí)驗(yàn)2：期望信號(hào)方向失配時(shí)不同SNR下的輸出SINR比較

該實(shí)驗(yàn)主要檢驗(yàn)RCB－SPR算法在期望信號(hào)存在方向失配時(shí)不同輸入信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）下的輸出信干噪比（Signal to Interference and Noise Ratio，SINR），并與現(xiàn)有方法比較。實(shí)驗(yàn)中期望信號(hào)真實(shí)方向?yàn)?°。圖3給出了幾種算法的輸出SINR隨輸入SNR變化的情況。

圖3 SINR與SNR關(guān)系圖（存在方向失配）Fig.3 Output SINR versus SNR （no DOA mismatch）

從圖3可以看出，SMI算法基本不具備魯棒性。LSMI算法在低SNR時(shí)具備一定的魯棒性，但隨著SNR的增加，LSMI的魯棒控制能力變得很差，輸出SINR明顯下降。WC算法、RCB算法和本文的RCB－SPR算法魯棒性較好，且本文在單通道接收機(jī)環(huán)境下的RCB－SPR算法與在多通道陣列接收環(huán)境下的 WC、RCB算法性能相當(dāng)，從系統(tǒng)成本角度來(lái)看，本文算法優(yōu)勢(shì)更為明顯。

3.3 實(shí)驗(yàn)3：期望信號(hào)和干擾同時(shí)存在隨機(jī)方向失配時(shí)不同SNR下的輸出SINR比較

該實(shí)驗(yàn)主要檢驗(yàn)期望信號(hào)和干擾同時(shí)存在隨機(jī)方向失配時(shí)RCB－SPR算法的性能。實(shí)驗(yàn)中，期望信號(hào)、干擾信號(hào)的隨機(jī)方向失配誤差在［－3°，3°］內(nèi)服從均勻分布。也就是說(shuō)，期望信號(hào)DOA在［0°，6°］內(nèi)均勻隨機(jī)分布，兩個(gè)干擾信號(hào)DOA分別在［－43°，－37°］和［57°，63°］內(nèi)均勻隨機(jī)分布，但在每次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中，信號(hào)DOA均保持恒定。圖4給出了該條件下幾種算法的輸出SINR與輸入SNR的關(guān)系圖。

圖4 SINR與SNR關(guān)系圖（隨機(jī)方向失配）Fig.4 Output SINR versus SNR （random DOA mismatch）

從圖中可以看出，SMI算法基本不具備魯棒性，而LSMI算法的魯棒性隨SNR增加而下降。本文的RCB－SPR算法與WC、RCB算法性能相當(dāng)，都能較好地克服隨機(jī)方向失配對(duì)自適應(yīng)波束形成器的影響。

4 結(jié)論

本文提出了基于單通道接收機(jī)的最差性能最優(yōu)魯棒Capon波束形成算法。該算法基于低成本的單通道接收機(jī)環(huán)境，使用權(quán)微擾算法對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最差性能最優(yōu)的魯棒Capon波束形成器。仿真結(jié)果表明：提出的算法在單通道接收機(jī)條件下，對(duì)導(dǎo)向矢量失配誤差具有很強(qiáng)的魯棒性，其性能與基于多通道陣列接收環(huán)境下的優(yōu)秀的不確定集類方法性能相當(dāng)。提出的算法可以較好地適用于單通道接收機(jī)，有效節(jié)省系統(tǒng)成本，下一步將繼續(xù)以單通道接收機(jī)為背景，研究信號(hào)源DOA移動(dòng)情況下的魯棒波束形成問(wèn)題。

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