嚴 斌，林紅星，寧德志＊

（1.大連理工大學 海岸和近海國家重點實驗室，遼寧 大連116024；2.中國科學院 可再生能源與天然氣水合物重點實驗室，廣東 廣州510640）

波浪與淹沒潛體相互作用，在潛體上由于水深變淺，波浪非線性增強，會導致大部分鎖定波轉換為自由波的形態(tài)存在，波浪場的變化會對潛堤本身及潛堤后工程結構有很大影響。而水平圓柱是眾多淹沒潛體中應用較多的一種，譬如海底石油、天然氣輸送管道和圓柱式防波堤等，開展波浪與淹沒水平圓柱式結構相互作用的研究，對準確了解結構后的波浪場及對結構的作用具有重要意義。

國內(nèi)外許多學者已經(jīng)對波浪與淹沒潛體作用展開了廣泛的研究，如 Lee［1］，Vada［2］，F(xiàn)riis、Grue和Palm［3］應用二階勢流理論計算二階自由諧波幅值；Cointe［4］采用完全非線性數(shù)值方法模擬了較大幅值波浪對淹沒水平圓柱作用下的二階自由諧波；Grue等［5－6］對深水波浪通過淹沒潛體的波浪非線性繞射問題進行了試驗研究，利用淹沒結構物后兩點處的波面對產(chǎn)生的高階諧波進行分離，得出高階諧波的波幅無因次量會隨入射波浪幅增大而增大最終達到飽和的結論；鄭永紅等［7］利用一種改進的Boussinesq方程，對淹沒潛堤上的波浪變形進行了數(shù)值模擬；張洪生等［8］建立了一種以新型Boussinesq方程為控制方程的非線性波傳播的數(shù)值模型，能較好地模擬大水深水域和強非線性波的傳播問題。陳麗芬等［9］運用高階邊界元方法數(shù)值模擬潛堤地形上波浪的傳播變形，得到弱非線性下，潛堤后的基頻波、二階和三階自由波幅值分別與入射波幅成線性、二次和三次函數(shù)關系。張婷婷［10］采用計算域內(nèi)造波的方法建立數(shù)值模型，模擬了波浪在潛堤上的傳播演化，并將波面和各階諧波的計算值與實驗結果進行了比較，得到吻合很好的數(shù)值結果。Williams［11］對靠近自由表面的水平淹沒平板問題進行數(shù)值研究，得到了直至三階自由諧波的波浪成分。付韻韻等［12］采用多級子展開法對作用在有限水深中淹沒水平圓柱上的透反射系數(shù)和波浪力開展了理論分析；并在不同淹沒深度和半徑條件下進行了波浪對水平圓柱作用力的實驗研究。姜勝超等［13］建立波浪對淹沒垂直圓柱繞射問題的解析解，考慮了不同淹沒深度與相對厚度對圓柱作用力影響，表明圓柱所受到的最大波浪力并不總是隨著淹沒深度的增大而減小，而圓柱厚度對波浪力的影響則較為復雜，在不同波數(shù)范圍顯示出不同的特性。

本文采用基于域內(nèi)源造波技術的時域高階邊界元方法建立波浪與淹沒水平圓柱相互作用的完全非線性數(shù)值水槽模型，可以實現(xiàn)在較小計算域內(nèi)長歷時模擬強非線性波浪對淹沒圓柱作用過程。并通過兩點分離法得到圓柱后的高階自由諧波和鎖定波，研究及其隨入射波浪非線性、圓柱尺寸、淹沒水深等因素的變化規(guī)律。

1 數(shù)學模型

1.1 控制方程和初始邊界條件

考慮波浪和一固定水平淹沒圓柱相互作用（圖1），建立一笛卡爾坐標系Oxz，使得z＝0位于靜水面上，且z軸向上為正，x軸向右為正方向，x＝（x，z）代表任一點的坐標。圖中，Ω代表整個計算域，自由水面用Гf表示，水底為Гd，圓柱邊界為Гb，入射邊界為ГI，靜水面至圓柱最上端的距離為h，靜水深為H。

圖1 水槽中波浪與一淹沒水平圓柱作用示意圖Fig.1 A sketch map showing the wave action on a horizontal submerged cylinder in a flume

在理想流體假定下，流域內(nèi)可用速度勢來描述。速度勢通常滿足拉普拉斯方程，為了防止從結構物反射回來的波浪在入射邊界形成二次反射，本文在計算域內(nèi)引入內(nèi)嵌造波源，故速度勢滿足泊松（Possion）方程：

在固定邊界Гd和Гb上滿足速度勢法向導數(shù)為0。在自由水面Гf上滿足完全非線性動力學和運動學邊界條件，采用半混合歐拉－拉格朗日方法更新自由水面，同時采用人工層布置在水槽兩側，來消除出流波浪，進而自由水面邊界條件可寫成如下形式［14］：

式中，η表示自由表面；g表示重力加速度；阻尼項μ（x）表示為如下形式

1.2 邊界積分方程

在整個流域內(nèi)應用格林第二函數(shù)，上述邊值問題可轉化為如下的邊界積分方程［15］：

式中，ω為波浪圓頻率；L為阻尼層寬度；x1（2）分別為左右阻尼層起始位置；α為阻尼系數(shù)，；本文取L為1.5倍入射波長，系數(shù)α＝1。

由于是進行時域數(shù)值模擬，需要給定初始邊界條件，這里給定靜初始邊界條件，即：

式中，p＝（x0，z0）為源點；q＝（x，z）為場點；α（p）為固角系數(shù)；Γ為流域邊界，包括自由水面邊界和固體邊界。G為簡單格林函數(shù)，考慮水底的鏡像作用，可以寫成如下形式［16］：

對式（7）采用三節(jié)點的二次邊界元進行離散，對每個單元通過數(shù)學變換，將其轉換成參數(shù)坐標（ξ）下的等參單元，采用二次形狀函數(shù)插值方法保證單元內(nèi)物理量分布的連續(xù)性。積分方程經(jīng)離散之后，可以建立關于速度勢和速度勢導數(shù)的線性方程組進行求解。由于所有節(jié)點和網(wǎng)格在每一時間步都要更新，所以方程（7）也要在每一時間步建立和求解一次，并采用四階Runge－Kutta法計算下一時刻的速度勢和波面。

1.3 淹沒潛體后的波浪組成

當波浪傳播至水平淹沒圓柱上方時，水深變淺，非線性作用增強，產(chǎn)生與基頻同速度傳播的高頻諧波，通過圓柱后，由于水深增大，波浪的非線性作用相對減弱，部分高頻諧波由鎖定波釋放為自由波。在水平淹沒圓柱后既包括鎖定波也包含高頻的自由波，因此，水平圓柱后x點處的波面可以寫成如下的形式：

對于式（9）中的未知量，可以采用兩點法［15，17］把潛體后兩點波面時間歷程帶入到式（9）中，并利用三角變換及三角函數(shù)正交性來求解得到。

2 數(shù)值結果和分析

作為算例，考慮一靜水深H＝0.45m的水槽中角頻率ω＝6.594rad/s或ω＝7.66rad/s的規(guī)則波與一淹沒水平圓柱相互作用，水槽長度為10倍波長，淹沒水平圓柱中心橫坐標為5.6m，圖1中4個測點分別布置在x1＝5.2m，x2＝5.4m、x3＝6.2m和x4＝6.4m。通過開展數(shù)值收斂性試驗，x和z兩方向的網(wǎng)格數(shù)分別300和10，圓柱結構網(wǎng)格數(shù)為40個。

圖2是入射波幅A＝16mm，靜水面距離圓柱最上端距離h＝50mm，圓柱半徑和波浪角頻率分別為（R＝100mm，ω＝7.66rad/s）和（R＝190mm，ω＝6.594rad/s）兩種種工況下，在t＝23T和t＝25T沿水槽x方向的波面分布，圖中豎向虛線為圓柱中心所在位置（x＝5.6m）。從圖中可以看出，在結構前的波面都是規(guī)則的，而在結構之后的波面是很不規(guī)則的，由此判斷出潛堤前后的波浪組成及其相位角是有很大區(qū)別的，這也與堤前主要以鎖定波為主體、堤后以自由波為主體的說法相一致。同時可以看出兩個時刻下的波面歷程重合很好，水槽兩端阻尼層處出流波浪得到很好的吸收，未有明顯的波浪反射現(xiàn)象發(fā)生，證明了本文數(shù)值模型的穩(wěn)定性。

圖2 波面在t＝23T和t＝25T沿水槽x方向的分布Fig.2 Wave surface distributions at t＝23Tand t＝25Talong the xdirection of the flume

圖3是不同工況下堤后線性和二階自由諧波幅值隨入射波幅A的變化關系，圖中還給出了本文數(shù)值模擬結果與試驗結果［6］的對比，自由諧波幅值通過除以入射波幅值無量綱化。從圖中可以看出，隨著入射波幅A的增大，堤后線性自由諧波幅值衰減，而二階自由諧波幅值先是增大到一極限值，然后隨著入射波幅的進一步增大保持飽和狀態(tài)（圖3a）或遞減狀態(tài)（圖3b和c），在圖3b和c工況中，二階自由諧波幅值最大可接近入射波幅的0.4倍，而線性自由諧波幅值最小可接近入射波幅的0.7倍。通過圖a和b對比可知，隨著波浪角頻率的增大，波浪非線性增強，堤后自由諧波幅值變化斜率也更大；通過圖a和c對比可知，隨著淹沒圓柱尺寸的增大，堤后自由諧波幅值變化斜率越大，堤后波浪非線性效果更明顯。同時可以看出，本文數(shù)值模擬結果與試驗結果吻合的很好，進一步驗證本文模型的準確性。

圖3 堤后線性和二階自由諧波幅值隨入射波幅變化關系Fig.3 Changes of the first and the second－order free harmonics amplitudes at the lee side of the submerged body with the incident wave amplitude

圖4是對應圖3中非線性最強工況（b、c）的淹沒圓柱后二階鎖定波幅值隨著入射波幅A的變化規(guī)律，圖中一并給出了與解析解［17］的對比情況。從圖中可以看出，鎖定波的量級明顯小于同一工況下的自由波，進一步說明由于潛體的作用，大部分鎖定波被轉化為自由波形態(tài)存在于堤后。本文數(shù)值結果與理論結果吻合的很好，進一步說明本文模型的可靠性。

圖4 堤后二階約束諧波幅值隨入射波幅A變化關系Fig.4 Changes of the second－order bounded harmonics amplitudes at the lee side of the submerged body with the incident wave amplitude A

圖5是靜水深H＝0.45m，入射波幅A＝5.8mm，圓柱半徑R＝100mm，角頻率ω＝2π×1.05rad/s情況下，基頻波幅值、二階自由波幅值、三階自由波幅值和二階鎖定波幅值隨淹沒水深h的變化關系。由圖5可知，隨著淹沒水深的增加，基頻波波幅增大并趨于入射波幅A，二階自由諧波波幅、三階自由諧波波幅呈高次函數(shù)關系快速減小，并逐漸趨于N（0）量級，二階鎖波波幅快速減小至N（0）量級，且在同等條件下量級遠遠小于二階自由波幅值，這與圖4得到的結論是一致的。圖5進一步說明了水深對非線性的影響，及高階自由諧波的產(chǎn)生與波浪非線性的密切關系。

圖5 自由波和鎖定波幅值隨淹沒水深的變化關系Fig.5 Changes of the free and bounded harmonics amplitudes with the submerged water depth

圖6是靜水深H＝0.45m，入射波幅A＝6.0mm，淹沒水深h＝50mm，ω＝2π×1.05rad/s情況下，基頻波幅值、二階自由波幅值和三階自由波幅值隨淹沒圓柱半徑R的變化關系。從圖中可以看出，隨著圓柱半徑R的增大，基頻波幅值a1/A逐漸遞減，而二階自由諧波波幅值a2/A和三階自由諧波幅值a3/A逐漸增大，但最終都趨于飽和，即達到一常量，而三階自由諧波最先趨于飽和。這與Grue［7］在試驗研究中發(fā)現(xiàn)在特定條件下高頻自由諧波隨著入射波幅值增大而趨于飽和的結論是相似的。

圖6 堤后自由諧波幅值與淹沒圓柱半徑的關系Fig.6 Relationship between the amplitude of free harmonics at the lee side of the submerged body and the radius Rof the submerged cylinder

3 結語

本文采用基于域內(nèi)源造波技術的時域高階邊界元方法建立了波浪與淹沒潛體相互作用的完全非線性數(shù)值水槽模型，并通過兩點法分離得到淹沒潛體后的高階自由波和鎖定波。通過與試驗數(shù)據(jù)和解析解的對比驗證了本文模型的準確性。通過數(shù)值試驗分析可以得到以下結論：隨著入射波浪非線性增強，基頻波幅值逐漸減小，高階自由諧波幅值逐漸增大至一最高值呈飽和狀態(tài)或減小變化，而鎖定波波幅盡管也隨著入射波幅增大而增大，但在量級上遠小于對應的自由波；潛體淹沒水深越小，高階自由諧波貢獻越大，基頻波衰減越大。

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