肖 飛，楊和振，盧其進，張黎邦

(1. 上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240;2. Mediterranean Shipping Company Kenny，Houston，TX77084，USA)

海流繞流立管時產生漩渦脫落，會對立管產生渦激力［6，7］。由于渦激力的作用，立管發(fā)生橫向運動，從而導致軸向張力的不斷波動，當張力波動的頻率與立管橫向振動的固有頻率比值滿足一定關系時，立管就發(fā)生了參量共振(圖1 為渦激力引起頂張力立管參量共振的示意圖)。由于發(fā)生參量共振的馬修不穩(wěn)定性區(qū)域是一個個連續(xù)的參量區(qū)間，因而在深水條件下，立管的橫向振動固有頻率很可能落入不穩(wěn)定區(qū)域［8，9］。一旦發(fā)生參量共振，可導致立管因出現極限應力或顯著疲勞而發(fā)生破壞，引起管道破裂和流體泄露，造成重大經濟損失以及環(huán)境污染［14］。因此，避開這類共振是深海立管結構安全設計中的重要要求。

圖1 渦激引起頂張力立管參量共振原理Fig.1 Schematic diagram of TTR's parametric resonance by vortex-induced vibration

最初是在模型試驗中觀察到渦激引起了頂張力立管(Top Tensioned Riser，以下簡作TTR)張力波動極值。1998年Huse［1］在空曠海域進行了長90 m、縮尺比約1∶15 的鋼制立管模型試驗，試驗發(fā)現渦激引起了大幅軸向張力波動。在隨后的理論研究中Huse 指出，如果渦激的頻率等于軸向振動一階模態(tài)頻率的一半時，會出現極大的軸向應力。1999年Huse［2］經過進一步研究，得到了預測渦激引起深海立管軸向振動更詳細的依據，特別是軸向極值響應現象。

API 規(guī)范［3］中指出，對于具有張緊器的立管，其遭受相對于平均張力而言相當大的張力波動，由此導致橫向剛度明顯改變，并且對于這類立管的分析必須考慮軸向張力和橫向剛度的耦合。張［4］由TTR 軸向和橫向非線性耦合的梁柱方程推導出馬修方程，然后基于馬修不穩(wěn)定性理論，研究和解釋渦激振動引起TTR張力以兩倍于渦激頻率波動這一現象，指出深海立管易處于馬修不穩(wěn)定性區(qū)域。張［5］還指出在立管設計過程中，如果不考慮渦激振動引起馬修不穩(wěn)定性，這一現象反過來又會增大立管軸向應力和疲勞破壞。故研究渦激致參量共振對立管安全設計意義重大。

目前深海結構參量共振的研究得到眾多研究人員關注，但國內外研究大都基于單頻激勵。張［9］采用希爾無窮行列式法研究了波浪力作用于張力腿平臺的TTR 參量共振問題。Chandrasekaran［10］進一步探討了張力腿平臺設計外形和吃水變化，引起立管張力幅值變化的馬修不穩(wěn)定性。近期，盧［11］對有纜遙控潛水器的臍帶纜母船垂蕩現象進行了探討，研究表明一定條件下類似的大幅橫向振動也會發(fā)生。Koo［12］探究了由spar 平臺大幅深沉運動引起平臺縱傾恢復力臂周期性變化導致的參量共振現象，并針對許多不同的情形對一個實際平臺進行了系統(tǒng)的模擬和比較，指出阻尼對抑制參量不穩(wěn)定性非常重要。在傅［13］對深海鋼懸鏈立管觸地點進行動力響應分析之后，楊［14］進一步對參量激勵下深海立管不穩(wěn)定性進行了評估，探討了阻尼影響，給出了不穩(wěn)定性抑制的若干建議。蘇［15］則具體就深海浮式結構物錨泊阻尼的影響參數展開了研究。上述涉及馬修不穩(wěn)定性的研究都是基于單頻激勵開展，而海流繞流立管時產生漩渦脫落，進而產生對立管的渦激力作用，在實際海洋環(huán)境下此作用具有隨機性，依賴于立管周圍流體動力特性和結構本身的運動［16］。因此，提出多頻疊加預測此激勵過程，并著重探討雙頻激勵研究渦激導致TTR 參量共振機理。建立了TTR 橫向和軸向運動非線性耦合的梁柱方程，并推導出TTR 系統(tǒng)相應多頻激勵馬修方程，通過布勃諾夫－伽遼金法計算得到雙頻激勵馬修穩(wěn)定性圖，并對比分析了單頻和雙頻激勵分別預測TTR 參量穩(wěn)定性所具有的特性，最后結合工程算例探討了雙頻激勵參量不穩(wěn)定分析方法在頂張力立管設計過程的應用。

1 基本理論

1.1 頂張力立管的振動方程

頂張力立管(TTR)在海底通過接頭與基礎相連，海底約束條件取簡支，上部與平臺連接，設為簡支，作如下假設:

1)因為張力大于TTR 自身重量，所以忽略張力沿高度方向的變化;

2)假定波流傳播沿同一方向，且流速沿水深的變化為線性;

3)TTR 的剛度和材料性能沿高度方向不變。

根據非線性應變－位移關系，由基爾霍夫假設，可以得到TTR 梁－柱橫向運動靜力學學方程，在靜力方程中引入內力，即得到TTR 梁－柱動力學方程:

式中:M 為單位長度質量，D 為立管外徑，h 為立管厚度，ρs為立管密度，ρw為水密度，ρ 為內部液體密度，Ai為立管橫截面積。

在海流中，垂直于水流方向的流體力可分為兩部分:一個是升力渦激力，一個是TTR 橫向運動時受到的拖曳力，其合力如下:

式(3)右邊前者為升力渦激力，后者為拖曳力，Cl為升力系數，Cd為水動力拖曳系數，V 是流速。

將T 代入式(1)得到:

假設張力波動滿足如下關系:T=T0+▽Tσ(t)，T0為平均張力，▽T 為張力波動幅值。

實際工程問題中，頂張力立管張力波動函數一般并非簡單的規(guī)則函數，而是多頻疊加的不規(guī)則函數，即為傅里葉展開的一系列簡單函數的疊加:以下將重點研究雙頻激勵最具有代表性的情形，即雙頻激勵情形σ(t)= a2cos2ωt + a4cos4ωt。

1.2 含阻尼項馬修方程

假設頂張力立管兩端鉸接，其n 階模態(tài)解為:

在解φ(t)附近取φ(t)+δφ，帶入式(6)得到式(7)，通過判斷式(7)解的有界性來判斷解φ(t)的穩(wěn)定性。

即得到有阻尼的馬修方程:

2 單頻和雙頻參量穩(wěn)定性對比研究

通過前面對單頻與雙頻激勵的實質分析可知，考慮實際外激勵，選擇雙頻激勵研究渦激引起的頂張力管(TTR)參量共振更為合理。下面對比分析在單頻和雙頻分別激勵下TTR 馬修穩(wěn)定性和相應運動響應。

單頻:

雙頻:

式(9)、式(10)分別為單頻和雙頻激勵下系統(tǒng)相應的馬修方程。圖2 是單頻/雙頻激勵下穩(wěn)定性圖。

表1 單/雙頻馬修穩(wěn)定性圖中有代表性點特性Tab.1 Property of representative dots in single/bi-frequency Mathieu stability diagram

圖2 單/雙頻分別激勵下系統(tǒng)馬修穩(wěn)定性Fig.2 Mathieu stability diagram of single/bifrequency induced system

下面以系統(tǒng)動力響應為基礎進行分析，在上述區(qū)域中選擇典型設計點A 和B，具體特性如表1。圖3和圖4 分別為單頻和雙頻激勵下設計點A 對應系統(tǒng)在0 ～500 s 時間內的動力響應特性。圖3 單頻激勵預測TTR 系統(tǒng)不發(fā)生參量共振;而圖4 雙頻激勵預測TTR 系統(tǒng)發(fā)生參量共振，設計點A 對應TTR 系統(tǒng)在短短500 s 內運動幅值增大到1066量級，立管系統(tǒng)將因發(fā)生不穩(wěn)定性破壞而失去正常工作性能。

圖3 單頻激勵下設計點A 運動響應Fig.3 Single-frequency dynamic response at design point A

圖4 雙頻激勵下設計點A 運動響應Fig.4 Bi-frequency dynamic response at design point A

圖5 單頻激勵下設計點B 運動響應Fig.5 Single-frequency dynamic response at design point B

圖6 雙頻激勵下設計點B 運動響應Fig.6 Bi-frequency dynamic response at design point B

圖5 和圖6 分別為單頻和雙頻激勵下設計點B 對應系統(tǒng)在0 ～500 s 時間內的動力響應特性。圖5 單頻激勵預測TTR 系統(tǒng)不發(fā)生參量共振;而圖6 雙頻激勵預測TTR 系統(tǒng)發(fā)生參量共振，在短短500 s 內B 點運動幅值增大到1016量級，立管系統(tǒng)同樣將因發(fā)生不穩(wěn)定性破壞而失去正常工作性能。上述情形較危險，為避免發(fā)生參量共振，實際設計時應選擇雙頻激勵函數描述真實外激勵，而后根據雙頻激勵預測的系統(tǒng)馬修穩(wěn)定性圖，指導設計、調整海洋結構物參數，使得TTR 系統(tǒng)處于雙頻激勵下穩(wěn)定區(qū)域或者通過增大系統(tǒng)阻尼避開不穩(wěn)定區(qū)域。

通過以上研究可以發(fā)現，單頻激勵穩(wěn)定性圖中處于穩(wěn)定性區(qū)域的設計點，在雙頻激勵下有可能處于不穩(wěn)定性區(qū)域。因此，實際指導海洋結構物設計時，采用單頻激勵對系統(tǒng)馬修不穩(wěn)定性進行預測存在一定危險性;多頻激勵是對實際隨機環(huán)境的合理性反映，可用于對實際系統(tǒng)穩(wěn)定性的預測。

3 算例分析

以工作于墨西哥灣的一個頂張力立管(TTR)為例，系統(tǒng)參數見表2。采用布勃諾夫－伽遼金法求解有阻尼馬修不穩(wěn)定性方程。通過計算得到雙頻激勵馬修穩(wěn)定性圖，由此探討雙頻激勵研究參量不穩(wěn)定性的特性，最終實現對雙頻激勵下渦激導致頂張力立管參量共振的探討。

表2 張力腿平臺及頂張力立管參數Tab.2 Characteristics of tension leg platform and top tensioned riser

通過對雙頻激勵預測參量穩(wěn)定性所具有特性的研究發(fā)現，激勵函數σ(t)=cos2t+dcos4T 中參數d 符號取正、負不同值時，預測的系統(tǒng)穩(wěn)定性特性有很大差異。因此下面以d= －0.6 和d=0.6 對應的情形為例進行探討，兩種情形下激勵函數所對應的時域圖形相似，相位相隔π。

此時系統(tǒng)對應的雙頻激勵馬修方程為:x″+2cx' +(a+2q(cos2t+dcos4t))=0

立管橫向運動最大速度Vmax=1 m/s ，軸向張力變化幅值▽T=1 000 kN，流體阻尼系數Cd=0.6。

3.1 雙頻激勵下立管穩(wěn)定性

要判定TTR 系統(tǒng)穩(wěn)定性特性，需要計算系統(tǒng)在n 階振動模態(tài)下馬修方程中參數ωn、a、q、c 值，并觀察設計點在穩(wěn)定性圖中的位置，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定需要采取應對措施，具體流程如圖10。

根據前面給出的TTR 設計參數，計算立管前12 階振動模態(tài)下系統(tǒng)各參數值ωn、a、q、c，具體見表3。根據表3 得到的阻尼系數，求解d= －0.6 及d=0.6 對應的雙頻激勵馬修方程，得到相應穩(wěn)定性圖;為直接觀察分析系統(tǒng)此時穩(wěn)定性，將表3 中系統(tǒng)前12 階振動模態(tài)對應的設計點顯示在d= －0.6 和d=0.6 對應的穩(wěn)定性參量平面，得到圖8、圖9。圖8 為雙頻激勵在d= －0.6 時預測的TTR 系統(tǒng)穩(wěn)定性圖，系統(tǒng)前12 階振動模態(tài)對應的設計點全部處于穩(wěn)定性區(qū)域;阻尼對二階不穩(wěn)定區(qū)域受影響不顯著，故12 個設計點離穩(wěn)定性過渡曲線較近。圖9 為雙頻激勵在d=0.6 時預測的TTR 系統(tǒng)穩(wěn)定性圖，系統(tǒng)前12 階振動模態(tài)對應的設計點也全部處于穩(wěn)定性區(qū)域，阻尼對二階不穩(wěn)定性區(qū)域的抑制作用較明顯，故12 個設計點離穩(wěn)定性過渡曲線較遠。

表3 工程算例馬修方程系數表Tab.3 Coefficients of the Mathieu equation of the numerical case

圖7 雙頻激勵參量穩(wěn)定性分析流程Fig.7 Process for analysis of bi-frequency parametric stability

圖8 和圖9 對TTR 系統(tǒng)參量穩(wěn)定性的預測，反映出了雙頻激勵研究參量穩(wěn)定性在d ＜0 和d ＞0 兩種情形下所具有的特性，即d ＜0 和d ＞0 對應的雙頻激勵反映的穩(wěn)定性有較大區(qū)別，尤其在二階不穩(wěn)定區(qū)域。當d ＞0 時，阻尼使二階不穩(wěn)定區(qū)域大幅衰減，而d ＜0時衰減效果相對較弱。符號相反絕對值相等的兩個參數d，其激勵函數時域圖形相似、相位相隔π，而它們對同一系統(tǒng)穩(wěn)定性的預測卻有較大差異。因此，實際立管設計分析，預測外激勵的激勵函數選取很重要。

3.2 系統(tǒng)阻尼設計

當系統(tǒng)參數設計落在參量平面不穩(wěn)定性區(qū)域時，引入額外阻尼可以抑制不穩(wěn)定性而避免發(fā)生參量共振。因此在頂張力立管(TTR)設計時，如何選擇系統(tǒng)參數確定系統(tǒng)阻尼，使得立管能夠經受一定的極限情形而不致出現不穩(wěn)定性，是一個很重要的問題。具體分析對應于立管軸向張力波動的幾個極限情形下系統(tǒng)阻尼的設置:給出▽T =5 000、7 000、9 000 kN三種極限情形(在這三種情形下TTR 系統(tǒng)在自身設計阻尼下都是不穩(wěn)定的)，同樣在d= －0.6 和d=0.6 對應的兩種激勵函數情形下，研究系統(tǒng)穩(wěn)定所需最小阻尼，以使所設計立管避開不穩(wěn)定區(qū)域。具體比較數據見表4。

圖8 算例在雙頻激勵下的穩(wěn)定性(d= －0.6)Fig.8 Bi-frequency Mathieu stability diagram for the engineering case (d= －0.6)

表4 三種極限狀態(tài)下系統(tǒng)穩(wěn)定所需最小阻尼Tab.4 The smallest damping of the system for keeping stable under three extreme cases

參數d 符號相反絕對值相等時，其對應的雙頻激勵對系統(tǒng)穩(wěn)定性預測的差異性，在上一小節(jié)做了定性分析;這一小節(jié)對此差異性從阻尼選取角度做定量分析。分析表4 可知，在TTR 軸向張力變化三種極限狀態(tài)下，d= －0.6 預測的維持系統(tǒng)穩(wěn)定所需的最小阻尼都比d=0.6 的情形大，而且二者在數值上相差很多。

在工程實際的立管設計中，選擇d ＜0 對應的激勵函數來預測系統(tǒng)所需要的阻尼，更偏于保守和安全。而工程設計中，增加額外阻尼會相應增大系統(tǒng)設計成本。因此，預測外激勵的激勵函數選取很重要;實際指導立管設計時，應合理且慎重地考慮雙頻激勵函數形式的選擇，以確定相對合理的設計方案。

4 結 語

根據頂張力立管(TTR)的結構特性及海洋環(huán)境下的動力特性，建立了TTR 軸向和橫向非線性耦合運動的梁柱模型，推導出馬修不穩(wěn)定方程探討渦激致TTR 參量共振的激勵。通過與單頻激勵研究TTR 參量穩(wěn)定性分析，探討了雙頻激勵預測TTR 系統(tǒng)參量穩(wěn)定性問題的合理性，最后結合工程算例討論了雙頻激勵應用。研究發(fā)現:

1)單頻和雙頻激勵分別預測TTR 系統(tǒng)的參量共振，二者得到的系統(tǒng)馬修穩(wěn)定性有很大差異;單頻激勵穩(wěn)定性圖的穩(wěn)定區(qū)域，在雙頻圖中可能處于不穩(wěn)定區(qū)域;如果選擇單頻激勵下的穩(wěn)定區(qū)域指導TTR 設計，而此選擇又處于雙頻下不穩(wěn)定區(qū)域，將導致立管發(fā)生參量共振，使系統(tǒng)發(fā)生劇烈不穩(wěn)定性響應而導致破壞。

2)實際指導工程設計時，預測真實外激勵的激勵函數選取很重要，其函數形式決定了系統(tǒng)參量穩(wěn)定性特性以及系統(tǒng)阻尼設計，由此影響到系統(tǒng)設計成本問題。

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