萬成高,萬英

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

設(shè)B是實可分的Banach空間,‖·‖表示B中的范數(shù).(Ω,F,P)是一個完備的概率空間,{Fn,n≥1}是F的單調(diào)不降的子σ-代數(shù)序列.如果沒有特別申明,本文中所言及的極限、可測、積分、期望均指強(qiáng)極限(依范數(shù)收斂)、強(qiáng)可測、強(qiáng)積分(Bochner積分)、強(qiáng)期望(Bochner積分意義下的期望).稱{Xn,Fn,n≥1}是B值適應(yīng)可積序列,若Xn關(guān)于Fn可測且Xn可積(n≥1).為敘述簡潔,常省去幾乎意義下成立的等式或不等式的標(biāo)記“a.s.”.約定F0={φ,Ω},X0≡0,infφ=∞.對B值適應(yīng)可積序列{Xn,Fn,n≥1}及a>0,本文中恒記Yn(a)=XnI{‖Xn‖≤a},Zn(a)=XnI{‖Xn‖>a},n≥1.

稱B值隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是尾概率一致有界的,若存在非負(fù)的隨機(jī)變量V及正常數(shù)C,使對任意的x及n≥1,都有

P(‖Xn‖>x)≤CP(V>x)

成立,此時記為{Xn}

若B是p階一致光滑空間,對任意的1≤q≤p,B是q階一致光滑空間.

引理1設(shè)X為B值隨機(jī)變量,且對任意的x>0,都有P(‖X‖>x)≤CP(V>x),其中V為非負(fù)隨機(jī)變量,C>0為常數(shù),則對任意的x>0,q>0,有

E‖X‖qI{‖X‖≤x}≤CxqP(V>x)+CEVqI{V≤x}

有

引理2設(shè){Xn,Fn,n≥1}是B值適應(yīng)可積序列且{Xn}0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

(ⅰ)EN(V)<∞,

則有

(1)

(2)

引理2的證明由于

(3)

故

(4)

即

因此

(5)

由(4)式、(5)式及Kronecker引理知(1)式、(2)式成立,引理2證畢.

定理1設(shè)B是p階一致光滑空間,1≤p≤2,{Xn,Fn,n≥1}是B值適應(yīng)可積序列且{Xn}0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

(ⅰ)EN(V)<∞,

則有

(6)

(7)

定理1的證明由條件(ⅰ)、(ⅱ)及引理2知為證(6)式、(7)式成立,只須證明下列兩式成立即可.

(8)

(9)

(10)

(11)

上式最后一個不等式成立基于下列事實:

推論1設(shè)B是p階一致光滑空間,1≤p≤2,{Xn,Fn,n≥1}是B值鞅差序列且{Xn}0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

(ⅰ)EN(V)<∞,

則有

(12)

(13)

推論2設(shè)B是p階一致光滑空間,1≤p≤2,{Xn,Fn,n≥1}是B值鞅差序列且{Xn}0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

(ⅰ)EN(V)<∞,

(14)

成立.

注意在推論2中若令bn=n1/r,n≥1,r>0,則有B值鞅差序列的Marcinkiewicz型強(qiáng)大數(shù)定律:

定理2設(shè)B是p階一致光滑空間,1≤p≤2,{Xn,Fn,n≥1}是B值適應(yīng)可積序列且{Xn}0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

(ⅰ)EN(V)<∞,

則有(6)式、(7)式成立.

定理2的證明沿用定理1的證明方法,只須證明(8)式、(9)式成立即可.又由(10)式,只需證明

定理3設(shè)B是p階一致光滑空間,1≤p≤2,{Xn,Fn,n≥1}是B值適應(yīng)可積序列且{Xn}0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

(ⅰ)EN(V)<∞,

則有(6)式、(7)式成立.

定理3的證明由p階一致光滑空間的性質(zhì)知

(15)

注意定理2、定理3也有類似于定理1的兩個推論,這里不一一列舉.

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