楊明潔 訾雪旻 段美華

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，中國(guó) 天津 300222）

0 引言

時(shí)間序列是根據(jù)時(shí)間順序得到的一系列觀測(cè)值，它的典型特征是相鄰觀測(cè)值之間存在一定的依賴性。許多理論或?qū)嶋H生活中的數(shù)據(jù)就是以這種時(shí)間序列的形式呈現(xiàn)的。

1 一階自回歸——一階移動(dòng)平均模型ARMA(1,1)[1]

對(duì)于自相關(guān)過(guò)程，如果在t時(shí)刻的過(guò)程值z(mì)t，不僅與過(guò)程先前值有關(guān)，而且與先前時(shí)刻的隨機(jī)擾動(dòng)也存在一定的關(guān)系時(shí)，就應(yīng)用自回歸——移動(dòng)平均混合模型來(lái)模擬自相關(guān)數(shù)據(jù)，混合模型為：

不失一般性，本文將應(yīng)用一階自回歸——一階移動(dòng)平均過(guò)程，即混合ARMA(1,1)過(guò)程來(lái)描述自相關(guān)的觀測(cè)值，并假設(shè)均值μ=0，模型為：

2 控制圖的應(yīng)用

應(yīng)用EWMA、REWMA、T2和RT2四個(gè)控制圖來(lái)監(jiān)測(cè)混合 ARMA(1,1)模型，這些控制圖在很多論文及相關(guān)書(shū)籍中都有介紹，在這里就不加以贅述。

表1 EWMA、REWMA、T2和RT2控制圖在θ=0.2時(shí)的ARL對(duì)比值

Apley和Tsung(2002)[2]詳細(xì)給出了如何選擇最優(yōu)窗寬以及如何規(guī)定第一類錯(cuò)誤概率α的方法，此處不再贅述。在本文中選擇的最佳移動(dòng)窗寬為p=2，第一類錯(cuò)誤概率為α=0.002。λ為EWMA和REWMA的光滑系數(shù)。以0＜θ＜1為代表，下表表1、表2分別給出EWMA、REWMA、、T2和RT2控制圖在 θ=0.2和θ=0.8時(shí)的ARL值。

結(jié)果顯示，在 λ 極小（0.02）且 ?=-0.2、δ=0.2 時(shí)，79.7<86.0<201.4<376.8（分別為 EWMA、REWMA、、T2和 RT2的 ARL 值），因此在此時(shí)最優(yōu)的為REWMA控制圖。同理，我們可以得到規(guī)律見(jiàn)表3。

當(dāng) λ 極大（0.8）且 ?=-0.8、δ=0.2 時(shí)，173.2<191.8<350.1<421.5（分別為RT2、REWMA、T2和EWMA的 ARL值），因此在此時(shí)最優(yōu)的為RT2控制圖。同理，我們也可以得到規(guī)律見(jiàn)表3。

表3 當(dāng)0＜θ＜1時(shí)，監(jiān)測(cè)中小漂移的最優(yōu)控制圖的選擇

表4 當(dāng)-1＜θ＜0時(shí)，監(jiān)測(cè)中小漂移的最優(yōu)控制圖的選擇

應(yīng)用同樣的方法，可以得到當(dāng)-1＜θ＜0時(shí)的控制圖的選擇情況，見(jiàn)表4

3 結(jié)果分析

結(jié)果表明，對(duì)于混合 ARMA(1，1)模型來(lái)說(shuō)，當(dāng) 0＜θ＜1 時(shí)，從整體來(lái)看，殘差控制圖要比原控制圖相對(duì)有優(yōu)勢(shì)，當(dāng)光滑系數(shù)λ極小時(shí)，可以選擇使用REWMA控制圖；當(dāng)λ極大時(shí)，可以考慮應(yīng)用RT2控制圖；當(dāng)-1＜θ＜0 且－1＜?＜0 時(shí)，殘差控制圖要占主導(dǎo)，當(dāng)－1＜?＜-0.5（不考慮λ的影響）和-0.5＜?＜0且λ極小時(shí)，可以考慮使用REWMA控制圖；當(dāng)-0.5＜?＜0 且 λ 極大時(shí)，應(yīng)用 RT2控制圖；當(dāng)-1＜θ＜00＜?＜1 且時(shí)，應(yīng)用EWMA控制圖為最優(yōu)。

[1]喬治 E.P.博克斯.時(shí)間序列分析[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2002.

[2]王兆軍,鄒長(zhǎng)亮,李忠華.統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制圖理論與方法[M].科學(xué)出版社,2013.