黨曉江，李政杰，田 波

(空軍工程大學防空反導學院，西安 710051)

0 引言

作為矢量波共有的一種性質(zhì)，極化是指用一個場矢量來描述空間某一個固定點所觀測到的矢量波隨時間變化的特性。對電磁波而言，極化描述了電場矢端隨時間變化的空間軌跡，表明了電場強度的取向和幅度隨時間變化的性質(zhì)。工程應用中的電磁波其極化形式多樣，不僅有單一極化形式的橢圓極化波、圓極化波、線極化波，更多的是具有統(tǒng)計特性的復合極化形式波。通常把在觀測期間電場矢端軌跡不變的極化形式稱作完全極化形式電磁波，它是研究復合極化形式波的基礎［1，2］。

通過大量查閱文獻資料，發(fā)現(xiàn)對電磁波極化狀態(tài)的研究還不夠完善，主要有:對橢圓極化波方程的推導過于復雜［3～7］;沒有指出或部分提及［6］電磁波參數(shù)和極化橢圓參數(shù)的本質(zhì)關系，且未在圖形中直觀地表示出來;對極化方向的判定標準各異并且判定結果有誤［4，7］等。針對以上問題，本文一一作了詳細的證明和闡述，結論對理論的進一步研究和工程應用有更好的指導作用。

1 三種極化波

假定電磁波為均勻平面波，傳播媒質(zhì)為自由空間，電磁波沿著三維直角坐標系中Z軸的正方向傳播。設某種極化方式的電磁波的電場在水平方向(x軸)的分量為Ex，在垂直方向(y軸)的分量為Ey，其各自振幅和初始相位分別為EH與EV、φH和φV，則有

因為相位對電磁波的極化狀態(tài)的影響只與相對相位有關而與絕對相位無關，為討論簡單，取φH－φV=φ，φH=0，z=0。即

電場的正交分量Ex和Ey在各自的方向上以角頻率ω作余弦振蕩，合成矢量E在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，如圖1所示。

圖1 3/4周期內(nèi)合成矢量E在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)示意圖

將此式(3)和式(4)的參數(shù)t消去，可得

這是一個橢圓方程，當 EH=4，EV=3，φ=π/4，極化橢圓如圖2所示。

圖2φ=π/4、EH=4、EV=3極化橢圓

上面得到的極化橢圓可以看成是橢圓x2/a2+y2/b2=1沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)τ角度得到。設(ξ1，η1)是該標準橢圓上的一點，(ξ2，η2)是該點旋轉(zhuǎn)后的坐標，線性變換的矩陣為，即有

兩邊左乘線性變換的逆矩陣得

轉(zhuǎn)置后為

將x2/a2+y2/b2=1寫成矩陣的形式

點(ξ1，η1)滿足式(9)，代入、化簡并考慮到(ξ2，η2)具有一般性，得旋轉(zhuǎn)后的橢圓方程

比較式(5)和式(10)得如下方程組

經(jīng)過解方程，可得

其中θ=arctan b/a，稱為橢圓率角。

從極化橢圓方程可以看出，電場矢端的軌跡與電磁波的幅度參數(shù)EH與EV和相對相位參數(shù)φ有關。下面討論兩種特殊的橢圓極化波:線極化波和圓極化波。

當約束條件為φ=kπ(k=0，±1，±2，±3…)即Ex與Ey同相或反相時，由參數(shù)方程可知Ey/Ex=±EV/EH=tan τ，在電磁波傳播方向的某一點如z=0處，電場矢端的軌跡如圖3、圖4所示。

電場E在水平和垂直方向的分量Ex和Ey在各自的方向上以振幅EH和EV按余弦規(guī)律振動，E在直線y=(EV/EH)x和直線y=－(EV/EH)x上以振幅按照余弦規(guī)律振動。

當約束條件為 EH=EV=Em，φ=(2k+1)π/2(k=0，±1，±2，±3…)即Ex和Ey的相位相差±π/2時，由參數(shù)方程可知

式(5)可以化簡為

這是以Em為半徑的圓的方程。

與電磁波傳播方向垂直的橫截面上如z=0處，此時電場矢端的軌跡如圖6所示。

圖6φ=±π/2時，極化橢圓退化為極化圓

2 三種極化波的解、合關系

以上間接地證明了在一組正交基下，兩正交場分量的合成場為橢圓，并且這個過程是互逆的，即一橢圓極化可以分解成振幅不等的兩線極化，特別當相位差滿足特定條件時，可直接得出兩正交場分量與圓極化和線極化的解、合關系，為了理論的完備性，下面證明橢圓極化與圓極化的解、合關系。

由可逆性可知，極化橢圓可以分解成水平垂直正交基下的一組分量:

將水平分量Ex進行簡單變換

可以看出，式(16)第一部分矢端軌跡為半徑0.5EH的左旋的圓，用ExL表示，第二部分為同半徑旋向相反的圓，用ExR表示，如圖7所示。

圖7 水平極化分量分解成兩振幅相等旋向相反的圓極化波

將垂直分量Ey進行類似變換

式(17)第一部分矢端軌跡為半徑0.5EV的右旋的圓，用EyL表示，第二部分為同半徑旋向相反的圓，用EyR表示，如圖8所示。

圖8 垂直極化分量分解成兩振幅相等旋向相反的圓極化波

這就說明，一個線極化波可以分解成兩個振幅相等旋向相反的圓極化波，而一個橢圓極化波可以分解成兩個振幅不等的線極化波，故一個橢圓極化波可以分解成兩組振幅相等且旋向相反的四個圓極化波。

3 極化橢圓參數(shù)與電磁波參數(shù)的關系

極化橢圓的傾角τ呈現(xiàn)出橢圓的姿態(tài)，橢圓率角θ反映出極化橢圓的胖瘦(長軸和短軸的相對關系)，電磁波的參數(shù)EH、EV表示在水平、垂直正交基下的電場分量幅度，聯(lián)合則反映出電場的能量強度，φH和φV表示各自分量的絕對相位，聯(lián)合則反映出相對相位。

令η=arctan(EV)/(EH)，φ=φH－φV

則有

由式(12)可得

由式(13)可得

從式(18)和式(19)可以看出，極化橢圓可由極化電波的參數(shù)來確定。

又經(jīng)化簡可知

所以有

從式(20)和式(21)可以看出，極化電波可以由極化橢圓的參數(shù)來確定。

基于以上理論關系，可以在圖形中直觀的表示出橢圓姿態(tài)隨電波參數(shù)變化情況，如圖9所示。

圖9 相對相位對極化橢圓姿態(tài)的影響

從圖中可以看出，當相對相位φ從0到π變化時，不僅極化橢圓的姿態(tài)(傾角τ從arctan EV/EH減小到－arctan EV/EH)發(fā)生變化，而且還經(jīng)歷了由瘦變胖再變瘦的過程(橢圓率角θ從0增到到arctan EV/EH再減小到0)。特別地，φ=0或φ=π時，極化橢圓退化為極化直線，φ=π/2時，橢圓長軸與水平軸重合，其橢圓方程為標準橢圓方程，若此時EH=EV，則極化橢圓退化為極化圓，這與前面的論述一致。還需說明，φ從0到－π變化時，橢圓的姿態(tài)變化與上述一致。

令ρ=tan η，則可得到電波參數(shù)ρ和φ與橢圓τ和θ的確定關系，如圖10、圖11所示。

4 極化方向

以上討論了極化波的幅度隨時間變化的性質(zhì)，不僅如此，極化波的方向也隨時間的變化而變化。沿電磁波傳播的方向看去，若電場指向沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，稱之為右旋極化波，否則為左旋極化波。由于橢圓極化波具有普適性，線極化波和圓極化波都是其退化的特例，因此先從橢圓極化波取向的討論入手。

極化橢圓的旋轉(zhuǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為其斜率隨時間變化的問題。由極化橢圓參數(shù)方程可得

通過證明，在一個周期內(nèi)橢圓的斜率的走勢情況只與φ的正負有關，其他的參數(shù)只影響斜率變化的細節(jié)。在這里將旋轉(zhuǎn)周期歸為2，當φ＞0時，d2Ey/dE2x在的值在(－1，0)∪(0，1)上恒為正，表明dEy/dEx單調(diào)遞增，且在 －1、0－、0+、1 處分別取得－∞、+∞、－∞、+∞，即電場矢端左旋。同理，當φ ＜0時，d2Ey/dE2x在的值在(－1，0)∪(0，1)上恒為負，表明 dEy/dEx單調(diào)遞減，且在 －1、0－、0+、1處分別取得 +∞、－∞、+∞、－∞，即電場矢端右旋。

現(xiàn)將φ取0到π以及0到－π之間的離散值，仿真結果如圖12和圖13所示。

比較兩圖可以看出φ的正負決定矢端的旋轉(zhuǎn)方向，在每一幅圖中，關于π/2或－π/2對稱的φ值對應橢圓的斜率的變化率是相同的，如圖4和圖6、圖3和圖7、圖2和圖8，以及圖1和圖9。特別地，當φ=0時，橢圓極化為線極化，其斜率是恒值，圖1和圖9正說明了這種現(xiàn)象。

5 靜態(tài)空間極化

這是一個關于傳播路徑z的橢圓螺旋方程，如當EH=4，EV=3，φ=φH－φV=π/3其三維視圖如圖14所示。在與傳播路徑垂直的xy平面內(nèi)的投影就是如圖15所示的極化橢圓。

當時間t處于某一個時刻如t=0，式(1)和式(2)可化為

值得注意的是，靜態(tài)空間極化螺旋線的旋向與極化方向恰好相反，如圖15當φ=π/3時螺旋方向為順時針，而由極化方向的結論可知，當φ＞0時，極化方向為左。另一方面這是由橫波的傳播特性決定的。

6 結語

本文從最普適的橢圓極化形式入手，導出了兩種退化的極化形式:線極化和圓極化;闡明了三種極化波的解、合關系;推導了極化橢圓的參數(shù)τ和θ與電磁波參數(shù)η和φ的關系;證明了極化方向與電磁波在水平垂直極化基下兩分量相對相位φ的關系以及靜態(tài)空間極化，結論對理論的進一步研究和工程應用有更好的指導作用。

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