張 會，吳 鵬，孫華春

(海軍潛艇學(xué)院，山東 青島 266071)

1 潛艇魚雷攻擊可占位條件分析的微分對策模型

成功占領(lǐng)攻擊陣位是潛艇對目標(biāo)實施魚雷攻擊的前提條件。假設(shè)潛艇P預(yù)對定速定向機(jī)動的目標(biāo)E進(jìn)行魚雷攻擊占位，ve為目標(biāo)E的速度，vp為P的速度，vy為魚雷速度。攻擊陣位域為以目標(biāo)前方距離ved/vy的點O為圓心的圓形區(qū)域［1-5］，稱為攻擊陣位圓，稱點O為命中點。為簡化推導(dǎo)，將潛艇魚雷攻擊占位問題看成針對命中點O的追逃問題，并稱O為影子目標(biāo)。以O(shè)為原點，目標(biāo)運動方向為x軸正向，x軸正向順時針旋轉(zhuǎn)90°為y軸正向，建立坐標(biāo)系，潛艇相對于影子目標(biāo)的運動方程為

其中，函數(shù)u(t)為x軸到潛艇運動方向角，順時針為正。占位成功條件，即目標(biāo)集合表示為

根據(jù)定性微分對策理論和方法［5，6］，可推導(dǎo)潛艇能成功占位的條件。構(gòu)造漢密爾頓函數(shù):

其中，γ→=(γ1，γ2)T。

令

同時，讓

得到潛艇的最優(yōu)策略:

對應(yīng)的漢密爾頓函數(shù)值為

將目標(biāo)集邊界x2+y2=d2表示成參數(shù)形式:

其中，s為與x軸正向夾角，~t為發(fā)現(xiàn)目標(biāo)時刻。目標(biāo)集邊界指向決策空間的單位法向量為

將式(5)代入式(3)，得到E的最優(yōu)策略在目標(biāo)集邊界上的值為

對應(yīng)的漢密爾頓函數(shù)值為

由式(7)可知，當(dāng)vp≥ve時，H(x*，y*，u*，γ)恒大于零，故整個決策空間都是可占位區(qū)域。當(dāng)vp＜ve時，存在不可占位區(qū)域。首先考慮上半平面，即0≤s≤π對應(yīng)部分。記s0=arccos(-vp/ve)，則目標(biāo)集邊界上的點對應(yīng)于0≤s≤s0的所有點為UP，而對應(yīng)于s0的點為BUP。以s0對應(yīng)的點為起點構(gòu)造界柵，伴隨方程和初始條件為

得

倒向狀態(tài)方程及其初始條件為

得

其中，τ=~t-t。

對式(10)消元可得界柵表達(dá)式:

再考慮下半平面，記s0=-arccos(-ve/vp)，可得以s0對應(yīng)點為起點的界柵表達(dá)式

根據(jù)式(11)和式(12)可繪制出潛艇可占位區(qū)域如圖1所示。圖1中α=arcsin(vp/ve)，直線QAM、直線QBN的方向角分別為 ±α，故|QO|=ved/vp。射線AM、射線BN和沿逆時針的圓弧AB，所圍成的圓外非封閉區(qū)域為可占位區(qū)域。

由前述分析可知，給定占位速度條件下，潛艇最佳占位機(jī)動方案為勻速定向機(jī)動。后面用目標(biāo)運動方向到潛艇占位機(jī)動方向角(順時針為正)q表示占位方案，并稱其為占位方向角。

圖1 魚雷攻擊可占位區(qū)域圖

2 可占位情形下的占位方案優(yōu)化

當(dāng)潛艇可成功占位時，為盡快實施攻擊，應(yīng)盡量縮短占位時間。以式(1)為約束條件，式(2)為目標(biāo)集，取目標(biāo)函數(shù)為

建立占位方案優(yōu)化微分對策模型，稱所求得的最優(yōu)方案為最短時間占位方案。其中，tf為占位過程結(jié)束時間。根據(jù)定量微分對策和最優(yōu)控制理論對最優(yōu)占位方案進(jìn)行分析［6，7］，可得潛艇最優(yōu)策略 u*為

可知，最短時間占位方案的機(jī)動方向與潛艇到達(dá)攻擊陣位圓時潛艇位置點到命中點的向量方向一致。潛艇最優(yōu)占位方向和相對于影子目標(biāo)的運動如圖2所示。圖2中，O為命中點，M為潛艇開始占位時的位置點;D為影子目標(biāo)距離(潛艇到命中點的距離);φ為影最短時間占位方案速度向量。|TP|=vp，其相對運動由ΔSON相似于ΔPTM，可依次得到:

式中，vx和Dx分別表示最佳占位方案對應(yīng)的相對運動速度和相對運動航程。

圖2 最短時間占位方案計算方法示意圖

3 仿真驗證

取 D=10nmle，φ =arctan(d/D)+ π/10，Vp=10節(jié)，Ve=18 節(jié)，Vy=45kn，d=5nmle。由前述可占位條件可判定，潛艇可以實現(xiàn)成功占位。取一個足夠長時間tmax，對潛艇采用不同占位方向角q進(jìn)行機(jī)動的過程分別進(jìn)行仿真，仿真結(jié)束當(dāng)且僅當(dāng)潛艇占領(lǐng)攻擊陣位或仿真時間到達(dá)tmax，即仿真結(jié)束時間:

繪制出q和tend關(guān)系曲線如圖3所示。圖3中，橫坐標(biāo)為q，縱坐標(biāo)為tend，“*”號表示的點為用式(17)和式(18)計算出的點(q，tf)。

4 結(jié)束語

本文使用微分對策理論對潛艇魚雷攻擊占位問題進(jìn)行研究。與初等數(shù)學(xué)方法相比，使用微分對策理論對魚雷攻擊占位問題進(jìn)行研究的意義主要有兩點:1)沒有首先將潛艇的規(guī)避機(jī)動限定為直線運動，而是假設(shè)潛艇可以以任意方式機(jī)動，通過理論分析證明在給定規(guī)避速度大小的條件下，潛艇的最佳規(guī)避策略為直線運動;2)給出了給定占位速度大小條件下潛艇最短時間占位方案的解析計算公式，在進(jìn)行此公式推導(dǎo)時使用了潛艇最佳機(jī)動策略的有關(guān)結(jié)論，目前還未見到使用初等數(shù)學(xué)方法完成此公式推導(dǎo)的文獻(xiàn)。

圖3 不同占位方案仿真結(jié)束時間計算結(jié)果

除了文中所列結(jié)論，利用所給出的可占位條件還可以給出最小占位速度以及相應(yīng)占位方案計算公式，本文不再贅述。

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