王研艷，翁春生

（南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210094）

0 引 言

脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)（Pulse Detonation Engine，簡(jiǎn)稱(chēng)PDE）是一種利用脈沖爆轟波來(lái)產(chǎn)生周期性沖量的新概念非定常推進(jìn)系統(tǒng)，具有熱效率高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、單位燃料消耗率低、工作范圍廣等優(yōu)點(diǎn)。但如何充分利用爆轟產(chǎn)物的高溫高壓能量來(lái)提高脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)推力仍為得到解決，方法之一就是在發(fā)動(dòng)機(jī)尾部安裝尾噴管。常規(guī)發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴管增加推進(jìn)效能的原理是設(shè)計(jì)一個(gè)最佳噴管構(gòu)型，將燃燒室內(nèi)排出的高溫高壓燃?xì)獾臒崮鼙M可能多地轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，以增加發(fā)動(dòng)機(jī)的推力。而脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴管中的流動(dòng)是周期性的、非定常的，存在復(fù)雜激波和膨脹波，甚至存在爆轟波，在同一周期的不同時(shí)刻噴管內(nèi)流場(chǎng)不盡相同，因此很難找到一個(gè)能適合所有時(shí)刻的噴管構(gòu)型，這就使得建立在傳統(tǒng)定常流動(dòng)基礎(chǔ)上的噴管設(shè)計(jì)理論和概念在這里不再適用［1］。Nobuyuki T等人［2］利用 Strang算子分裂法和迎風(fēng)TVD格式數(shù)值模擬了多循環(huán)下帶收斂擴(kuò)張噴管的PDE的內(nèi)外流場(chǎng)，研究了以H2為燃料時(shí)噴管進(jìn)出口面積比和燃料填充率對(duì)性能的影響，得出在不同飛行馬赫數(shù)條件下存在不同的最佳噴管面積比的結(jié)論。秦亞欣等人［3］對(duì)帶不同結(jié)構(gòu)噴管的PDE進(jìn)行了二維軸對(duì)稱(chēng)單循環(huán)數(shù)值研究，指出常規(guī)噴管中擴(kuò)張噴管可以產(chǎn)生最大的瞬時(shí)推力峰值和比沖。王志武等人［4］試驗(yàn)研究了錐形噴管的進(jìn)出口面積比和長(zhǎng)徑比對(duì)吸氣式脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)推力的影響，指出不同頻率下各類(lèi)型噴管對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的平均推力影響不同，但總體來(lái)講收斂型尾噴管的增推效果最好。李建中等人［5］采用基元反應(yīng)模型和顯式迎風(fēng)TVD差分格式模擬了帶共用尾噴管多管脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)各爆轟管內(nèi)以及共用尾噴管內(nèi)的流場(chǎng)。Caldwell等人［6］實(shí)驗(yàn)研究了不同填充率下引射器擴(kuò)張角度對(duì)脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)流場(chǎng)和推進(jìn)性能的影響?？傮w而言脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴管的最佳設(shè)計(jì)與PDE的頻率、飛行馬赫數(shù)、噴管類(lèi)型、高度、燃料填充率等工作參數(shù)緊密相關(guān)［7－8］，所以至今還未得出非定常脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴管的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

CE／SE方法最先由Chang提出，它將時(shí)間與空間統(tǒng)一處理，從守恒律積分方程出發(fā)，設(shè)立守恒元和（求解元，使求解格式局部和整體都保證物理意義上的守恒。由于CE／SE方法無(wú)需黎曼分解，具有計(jì)算格式簡(jiǎn)單、精度高、捕捉間斷能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，所以近年來(lái)CE／SE方法成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的焦點(diǎn)之一。Chang等人［9］在最初提出的CE／SE方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改善，提高了它的計(jì)算精度和穩(wěn)定性。Gary C Cheng等人［10］在Chang的基礎(chǔ)上將CE／SE方法進(jìn)一步發(fā)展，針對(duì)粘性流采用長(zhǎng)扁型網(wǎng)格發(fā)展了CE／SE的幾種計(jì)算格式，并進(jìn)行了算例驗(yàn)證和效率分析。Wang等人［11］運(yùn)用矩形網(wǎng)格CE／SE方法對(duì)兩相脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)流場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值研究。李昕等人［12］運(yùn)用矩形網(wǎng)格CE／SE方法求解流體動(dòng)力學(xué)N－S方程與麥克斯韋方程，實(shí)現(xiàn)了對(duì)電磁軌道炮中等離子體電樞的數(shù)值研究。劉建文等人［13］考慮到流場(chǎng)的不規(guī)則性運(yùn)用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格CE／SE方法對(duì)單相多管脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)模型進(jìn)行了數(shù)值研究。

本文在Chang的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了帶源項(xiàng)的結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格CE／SE方法計(jì)算格式，這方面的內(nèi)容在國(guó)內(nèi)還未見(jiàn)報(bào)道。而此結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格CE／SE方法與矩形網(wǎng)格CE／SE方法相比無(wú)需坐標(biāo)變換，網(wǎng)格分布均勻；與非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格CE／SE方法相比推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)化，計(jì)算格式簡(jiǎn)單。本文應(yīng)用此CE／SE方法數(shù)值研究帶錐形擴(kuò)張尾噴管的兩相脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)外流場(chǎng)。分析尾噴管內(nèi)不同填充狀態(tài)時(shí)PDE的內(nèi)外流場(chǎng)及推進(jìn)性能。

1 理論模型

計(jì)算采用軸對(duì)稱(chēng)兩相燃燒轉(zhuǎn)爆轟控制方程［14－15］：

式中，α＝0為二維流動(dòng)；α＝1為軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)。其中下標(biāo)g、l分別表示氣相和液相；φg、φl(shuí)為體積分?jǐn)?shù)比，滿(mǎn)足φg＋φl(shuí)＝1；ρ、u、v、p分別是密度、軸向速度、徑向速度、壓力。E是單位總能，E＝e＋（u2＋v2）。Id、Fd、Qd、Qc的含義和表達(dá)式見(jiàn)參考文獻(xiàn)［15］。

2 三角形網(wǎng)格CE／SE方法

2.1 三角形CE／SE方法中守恒元與求解元的確定

CE／SE方法［9－10，16］將整個(gè)空間－時(shí)間計(jì)算區(qū)域劃分為若干個(gè)求解元。在每個(gè)求解元內(nèi)，假設(shè)流場(chǎng)的變量是連續(xù)的，并可以用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，穿過(guò)相鄰求解元的邊界，流場(chǎng)的變量可以不連續(xù)。而在每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的守恒元上，空間－時(shí)間的積分通量是守恒的?？紤]如圖1（a）所表示的交替網(wǎng)格，每個(gè)三角形的中心點(diǎn)用實(shí)心圓和空心圓分別表示其交替網(wǎng)格點(diǎn)。令空間Ω表示E3上的所有網(wǎng)格點(diǎn)M（r，s，n）的集合。令空心圓點(diǎn)表示tn時(shí)刻，實(shí)心點(diǎn)表示tn＋1／2時(shí)刻。如圖1（b）所示，GMBFDHC表示tn時(shí)刻，G′M′B′F′D′H′C′表示tn＋1／2時(shí)刻，G″M″B″F″D″H″C″表示tn＋1時(shí)刻。那么點(diǎn)G′對(duì)應(yīng)的求解元S（G′）為GBB′G′，GDD′G′、GCC′G′和M′B′F′D′H′C′；對(duì)應(yīng)的守恒元為四棱柱GBFDG′B′F′D′，GDHCG′D′H′C′和GCMBG′C′M′B′。

2.2 計(jì)算格式

在方程（1）中，根據(jù)Chang對(duì)時(shí)間和空間統(tǒng)一處理 的思想［9－10，14，16］，令x1＝x，x2＝y(tǒng)，x3＝t作為三維歐氏空間的3個(gè)坐標(biāo)，且令S＝R－；h＝（F，G，U），利用高斯定理對(duì)其積分有：

圖1 二維三角形網(wǎng)格CE／SE方法中時(shí)空幾何圖形Fig.1 Spatial scheme of two－dimensional CE／SE method using congruent triangular meshes

式中，S（V）是V在E3上任意時(shí)空區(qū)域的邊界，h＝（F，G，U）是時(shí)間－空間通量流密度矢量。

引入雅克比系數(shù)矩陣A、B：A＝因?yàn)镕和G均是U的齊次函數(shù)，所以F＝AU，G＝BU。這樣h進(jìn)一步表示為：h＝（AU，BU，U）。

根據(jù)求解元和守恒元的定義，對(duì)于任意的（x，y，t）∈SE（r，s，n），U（x，y，t）、F（x，y，t）、G（x，y，t）可用其相應(yīng)的離散量U＊（x，y，t；r，s，n）、F＊（x，y，t；r，s，n）、G＊（x，y，t；r，s，n）近似代替。利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)有：

所以方程（2）用離散通量表示如下：

為了方便計(jì)算引入一個(gè)新的坐標(biāo)系，如圖2。新坐標(biāo)系下取單位長(zhǎng)度：Δη＝MH＝和Δξ，其中w＝

圖2 （x，y）和（ξ，η）坐標(biāo)系Fig.2 Cartesian coordinates and new coordinates

在各CE上對(duì)式（3）進(jìn)行求解，得到三角形網(wǎng)格CE／SE方法求解格式如下：

當(dāng)r＝4j＋1，s＝2k＋1，或當(dāng)r＝4j＋3，s＝2k（s＝1，2，3…；k＝1，2，3…）時(shí)：

當(dāng)r＝4j，s＝2k＋1，或當(dāng)r＝4j＋2，s＝2k（s＝1，2，3…；k＝1，2，3…）時(shí)：

上式中，I是單位矩陣。

和Uη＋求解如下［14］：

式中：α是一個(gè)可調(diào)的參數(shù)，通常取1或2。

式（6）中：

2.3 源項(xiàng)的處理

方程（1）中等號(hào)右側(cè)出現(xiàn)了化學(xué)反應(yīng)源項(xiàng)，由于化學(xué)反應(yīng)的特征時(shí)間遠(yuǎn)小于對(duì)流的特征時(shí)間，其源項(xiàng)是剛性的，因此需要采用龍格－庫(kù)塔法對(duì)方程（1）中的化學(xué)反應(yīng)源項(xiàng)進(jìn)行求解［14］。具體方法是（1）先考慮除化學(xué)反應(yīng)之外的其他源項(xiàng)，在CE／SE格式下求出（2）將作為初值，用龍格－庫(kù)塔法來(lái)求解方程＝R。龍格－庫(kù)塔法的時(shí)間步長(zhǎng)為：Δt＝rk，N通常取5～20。

3 計(jì)算結(jié)果及分析

采用三角形網(wǎng)格CE／SE方法對(duì)帶擴(kuò)張尾噴管PDE的內(nèi)外流場(chǎng)進(jìn)行耦合計(jì)算，其軸對(duì)稱(chēng)計(jì)算區(qū)域如圖3，AEFGHA為PDE爆轟管和尾噴管平面計(jì)算區(qū)域，尾噴管擴(kuò)張角度為30°。EDCBHGFE為PDE外流場(chǎng)計(jì)算區(qū)域。

初值條件：模擬的初始時(shí)刻PDE有兩種填充方案：方案1：爆轟管和錐形管作為整體，均填充化學(xué)當(dāng)量比的汽油空氣混合物；方案2：將錐形管僅作噴管使用，即爆轟管內(nèi)填充化學(xué)當(dāng)量比的汽油空氣混合物，但錐形管內(nèi)只填充空氣。同時(shí)外流場(chǎng)區(qū)域則布滿(mǎn)均勻的空氣。管內(nèi)外氣體速度均為0m／s，溫度為298K，壓力為0.1MPa，管內(nèi)液相汽油液滴半徑為50μm。

為了驗(yàn)證運(yùn)用三角形網(wǎng)格CE／SE方法模擬PDE流場(chǎng)的準(zhǔn)確性，先對(duì)不帶尾噴管的PDE內(nèi)外流場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。比較發(fā)現(xiàn)模擬得到的圖線(xiàn)變化趨勢(shì)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合得很好（圖4）。數(shù)值計(jì)算的爆轟波波陣面很陡，只有2～4個(gè)網(wǎng)格，說(shuō)明此三角形網(wǎng)格CE／SE方法能夠精確捕獲爆轟波等強(qiáng)間斷。

圖3 PDE模型計(jì)算區(qū)域示意圖Fig.3 Scheme of the PDE computational domain

圖4 爆轟管尾部壓力隨時(shí)間變化曲線(xiàn)Fig.4 Pressure contribution vs.time at the end of PDE

圖5是采用填充方案1時(shí)PDE的內(nèi)外流場(chǎng)壓力云圖，圖6為對(duì)應(yīng)的PDE中心軸線(xiàn)上壓力隨x變化曲線(xiàn)。聯(lián)系圖6分析圖5，由圖5（a）知PDE內(nèi)已形成穩(wěn)定的爆轟波，爆轟波后是從封閉端發(fā)出的Taylor膨脹波扇，以滿(mǎn)足封閉端速度為零的條件。在封閉端和Taylor膨脹波波尾之間是均勻的平臺(tái)壓力區(qū)。從圖6中曲線(xiàn)5、6可以看出形成穩(wěn)定爆轟時(shí)爆轟壓力為1.97MPa，均勻區(qū)平臺(tái)壓力為0.48MPa。圖5（b）中爆轟波傳播到錐形管內(nèi)，燃料燃燒所釋放的熱量維持爆轟波在管內(nèi)繼續(xù)傳播。錐形管的擴(kuò)張作用使得爆轟壓力略有下降，爆轟波波面出現(xiàn)向右彎曲現(xiàn)象。由圖6曲線(xiàn)7知，至t＝0.58ms時(shí)，中心軸線(xiàn)上爆轟壓力值降為1.85MPa。圖5（c）中爆轟波傳出錐形管，失去能量支持后退化為球形激波在外流場(chǎng)擴(kuò)散。錐形管出口處產(chǎn)生一系列膨脹波向上游傳播，管內(nèi)受到外流場(chǎng)的干擾壓力降低。圖5（d），外流場(chǎng)球形波向左傳播至0.61m，向右傳播到1.44m，錐形管出口外側(cè)出現(xiàn)明顯的渦環(huán)區(qū)域，錐形管外側(cè)背壓發(fā)生變化，發(fā)動(dòng)機(jī)推進(jìn)性能受到影響。發(fā)動(dòng)機(jī)管內(nèi)膨脹波傳播至0.36m，管內(nèi)壓力降低，平臺(tái)壓力區(qū)縮短，由圖6曲線(xiàn)16可知隨著排氣過(guò)程的進(jìn)行，t＝2.91ms時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)頭部壓力降低到0.14MPa。

圖5 采用填充方案1時(shí)PDE內(nèi)外流場(chǎng)壓力分布云圖Fig.5 Pressure distribution in and out of PDE with fuel filled in the conical tube

圖6 采用填充方案1時(shí)PDE內(nèi)外流場(chǎng)軸線(xiàn)上壓力分布曲線(xiàn)Fig.6 Pressure distribution on the symmetry axis of PDE with fuel filled in conical tube

為了進(jìn)一步分析錐形管內(nèi)外的流動(dòng)情況，圖7給出了采用填充方案1時(shí)PDE內(nèi)外流場(chǎng)的速度矢量圖。圖7（a）中速度沿錐形管壁面分布解釋了擴(kuò)張管內(nèi)爆轟壓力降低的原因。圖7（b）氣流流出擴(kuò)張管后在出口外側(cè)出現(xiàn)速度渦環(huán)，這是因?yàn)楫?dāng)曲面爆轟波上下邊界傳出擴(kuò)張管后，管內(nèi)欠膨脹的高溫高壓氣體尾隨激波進(jìn)入大氣環(huán)境中，其斜壓作用使得管口外側(cè)出現(xiàn)渦環(huán)。

圖7 采用填充方案1時(shí)PDE內(nèi)外流場(chǎng)不同時(shí)刻速度矢量圖Fig.7 Velocity vector distribution in and out of PDE with fuel filled in conical tube

圖8是采用填充方案2時(shí)PDE內(nèi)外流場(chǎng)的壓力分布云圖，圖9為對(duì)應(yīng)的PDE中心軸線(xiàn)上的壓力隨x變化曲線(xiàn)。聯(lián)系兩者分析：圖8（a）中爆轟波傳播到噴管后退化為無(wú)化學(xué)反應(yīng)的主激波，受?chē)姽軘U(kuò)展壁面產(chǎn)生的膨脹波影響，在靠近壁面處發(fā)生彎曲，形成曲面激波。此時(shí)錐形管內(nèi)流場(chǎng)比方案一中更加復(fù)雜。從圖9的曲線(xiàn)7、8、9可以看出，隨著主激波在擴(kuò)張噴管中的傳播，激波越來(lái)越弱，波后氣體的壓力越來(lái)越小。至t＝0.59ms時(shí)，波后壓力值為1.58MPa。圖8（b）中主激波傳出噴管，以球形激波向外流場(chǎng)擴(kuò)散，噴管內(nèi)已存在的膨脹波系和外流場(chǎng)新產(chǎn)生的膨脹波共同作用，降低管內(nèi)壓力。對(duì)比圖6和圖9發(fā)現(xiàn)，方案二的排氣過(guò)程比方案一時(shí)快。具體體現(xiàn)在，t＝1.27ms時(shí)，方案一的膨脹波降低PDE內(nèi)部平臺(tái)壓力至x＝0.34m處；而方案二中PDE內(nèi)部x＝0.30m處的平臺(tái)壓力已經(jīng)開(kāi)始下降。

圖8 采用填充方案2時(shí)PDE內(nèi)外流場(chǎng)不同時(shí)刻壓力分布云圖Fig.8 Pressure distribution in and out of PDE at different times，without fuel in conical tube

圖9 采用填充方案2時(shí)PDE內(nèi)外流場(chǎng)軸線(xiàn)上壓力分布曲線(xiàn)Fig.9 Pressure distribution on the symmetry axis of PDE at different times，without fuel in conical tube

圖10是爆轟波傳入錐形管后中心軸線(xiàn)上的馬赫數(shù)分布曲線(xiàn)，比較（a、b）圖發(fā)現(xiàn)當(dāng)錐形管內(nèi)不填充燃料時(shí)，爆轟波傳入錐形管內(nèi)沒(méi)有化學(xué)反應(yīng)的支持退化為激波，但是波峰位置處的馬赫數(shù)反而變大，分析其原因：在錐形管內(nèi)不填充燃料時(shí)波峰位置處壓力變小，速度值也變小，但前者的變化幅度遠(yuǎn)大于后者，導(dǎo)致當(dāng)?shù)芈曀僮冃。移錅p小量大于速度減小量。

圖10 爆轟波傳入錐形管后中心軸線(xiàn)上馬赫數(shù)分布曲線(xiàn)Fig.10 Mach number distribution on the symmetry axis of PDE at different moments

考慮到脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)非定常特性，論文中采用表面力積分來(lái)分析帶錐形尾噴管PDE的推進(jìn)性能［17］。圖11為不同填充方案時(shí)PDE瞬時(shí)推力F、沖量I、燃料比沖Ispf隨時(shí)間變化曲線(xiàn)。圖中曲線(xiàn)1對(duì)應(yīng)填充方案1；曲線(xiàn)2對(duì)應(yīng)填充方案2。分析三幅圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)錐形擴(kuò)張管內(nèi)不填充燃料時(shí)，它起到噴管的作用，使爆轟管內(nèi)排出的高溫高壓燃?xì)庠阱F形管內(nèi)得到膨脹，轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，從而增加了發(fā)動(dòng)機(jī)的推力，比較圖11（c）圖中兩條曲線(xiàn)發(fā)現(xiàn)，至t＝4.8ms時(shí)此方案發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料比沖比另一方案的增加了15.5%，說(shuō)明這種方案提高了燃料的利用率；但當(dāng)錐形擴(kuò)張管內(nèi)填充燃料時(shí)，它作為發(fā)動(dòng)機(jī)爆轟的一部分，充分利用了脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)的空間，增加了發(fā)動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)推力和沖量，比較圖11（b）圖中兩條曲線(xiàn)發(fā)現(xiàn)，至t＝4.8ms時(shí)此方案發(fā)動(dòng)機(jī)的沖量比另一方案增加了11.1%。顯然，當(dāng)我們考慮在每個(gè)周期中增加PDE的推進(jìn)性能時(shí)，需要利用所有可以利用的空間，此時(shí)可以考慮將其錐形尾噴管作為發(fā)動(dòng)機(jī)的一部分，在其中填充或者部分填充燃料，從而增加發(fā)動(dòng)機(jī)的總體推力。

圖11 錐形管不同方案時(shí)PDE的瞬時(shí)推力、沖量和燃料比沖比較Fig.11 The comparison of thrust，impulse and fuel－specific impulse of PDEs with different filling conditions in conical tube

4 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了帶源項(xiàng)三角形網(wǎng)格CE／SE方法，數(shù)值求解帶錐形尾噴管脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)的內(nèi)外流場(chǎng)。計(jì)算結(jié)果表明：

（1）該三角形網(wǎng)格CE／SE方法可以有效捕捉到直管和變截面管中的爆轟波、激波等強(qiáng)間斷，很好地刻畫(huà)了PDE內(nèi)外流場(chǎng)的細(xì)節(jié)。

（2）將錐形擴(kuò)張管作為脈沖爆轟發(fā)動(dòng)機(jī)的噴管而不填充燃料時(shí)，擴(kuò)張管中壓力峰值大幅下降，但馬赫數(shù)峰值增加，發(fā)動(dòng)機(jī)的排氣速度增加，此時(shí)PDE可以得到更大的燃料比沖，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)燃料的利用率提高。

（3）而將錐形擴(kuò)張管與爆轟管當(dāng)成整體全部填充燃料時(shí)，錐形管中流場(chǎng)更簡(jiǎn)單，壓力峰值比爆轟管中略有下降，此時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)充分利用所有空間，瞬時(shí)推力和沖量增大，總體推進(jìn)性能提高。

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