何 理，鐘冬望，劉建程，黃小武

（1.武漢科技大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065；3.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430065）

邊坡穩(wěn)定性分析中最重要的概念就是安全系數(shù)，但對不同的工況或不同的方法所使用安全系數(shù)的定義是不同的。目前求解邊坡安全系數(shù)最常用的方法主要有極限平衡法和有限元強(qiáng)度折減法。極限平衡法雖經(jīng)過80多年的發(fā)展得到充分完善［1］，但該法只考慮靜力平衡條件和 Mohr－Coulmb準(zhǔn)則，主要有瑞典法、Bishop法、Morgenstern－Price法、Spencer法 和 Sarma法等［2－3］。有限元強(qiáng)度折減法是基于邊坡有限元變形分析和強(qiáng)度儲備安全系數(shù)的穩(wěn)定性分析方法，其對應(yīng)的安全系數(shù)求解方法有二：一是對巖體的強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ按同一折減系數(shù)F進(jìn)行折減，此時(shí)的折減系數(shù)F即為邊坡的穩(wěn)定安全系數(shù)；二是安全系數(shù)定義為沿滑面各點(diǎn)抗滑力與下滑力積分代數(shù)和的比值。極限平衡法與有限元強(qiáng)度折減法均是基于強(qiáng)度儲備概念上的穩(wěn)定性分析方法，但兩種方法計(jì)算內(nèi)力的方式不同，相比之下，有限元強(qiáng)度折減法在用于內(nèi)力計(jì)算時(shí)較為準(zhǔn)確。

通常根據(jù)安全系數(shù)的大小來評價(jià)邊坡安全與否，這就涉及安全系數(shù)的定義問題。上述所提到的安全系數(shù)的定義存在如下問題［4］：①安全系數(shù)定義的物理意義不明確；②巖土體強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ按同一系數(shù)F進(jìn)行折減不合理，如鄭宏［5－6］、郭明偉［7］等通過計(jì)算表明，在對強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行折減的同時(shí)，內(nèi)摩擦角φ與泊松比μ的取值應(yīng)滿足sinφ≥1－2μ；③計(jì)算需要反復(fù)迭代，且計(jì)算量大。針對安全系數(shù)物理意義不明確、人為假定過多、不能真實(shí)反映邊坡應(yīng)力狀態(tài)等問題，葛修潤［8］、郭明偉［9］等提出邊坡矢量和法，并考慮力的矢量特征，得到抗滑穩(wěn)定性安全系數(shù)應(yīng)以力的矢量比來定義。但上述兩種方法安全系數(shù)定義的物理或力學(xué)意義模糊的根本原因就在于沒有充分考慮滑動的矢量特征。為此，本文針對極限平衡法與有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算邊坡安全系數(shù)時(shí)存在的問題，采用矢量和法安全系數(shù)對某鐵礦采場進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析，將其計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)分析法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，并驗(yàn)證了矢量和法計(jì)算安全系數(shù)的合理性與適用性，以期為采用矢量和法安全系數(shù)用于計(jì)算邊坡穩(wěn)定性提供依據(jù)。

1 矢量和法安全系數(shù)

安全系數(shù)最初的定義為：邊坡潛在滑動面上總抗滑力∑R與總滑動力∑T的比值，即：

邊坡滑面上抗滑力與滑動力均為矢量，故式（1）中對抗滑力與滑動力的求和均應(yīng)為矢量和。本文應(yīng)用“矢量和法安全系數(shù)”是建立在力的矢量基礎(chǔ)上的。

1.1 基本假定

假定條件如下：①若研究對象為二維問題，邊坡滑動面l已知，則構(gòu)成滑動區(qū)域?yàn)镾；②若邊坡荷載及巖土體基本物理力學(xué)參數(shù)已通過勘探得到，則基于有限元計(jì)算可得到其應(yīng)力分布情況；③滑動面上巖土體強(qiáng)度特性服從Mohr－Coulomb屈服準(zhǔn)則；④矢量和法安全系數(shù)F（θ）定義為：沿計(jì)算方向θ，滑動面上提供抗滑力的各力沿此方向投影代數(shù)和∑R（θ）與提供滑動力的各力沿此方向投影代數(shù)和∑T（θ）的比值：

式中：τf為抗剪強(qiáng)度，Pa；c 為黏聚力，Pa；σ 為法向應(yīng)力，Pa；φ 為內(nèi)摩擦角，（°）。

1.2 安全系數(shù)的計(jì)算

圖1為邊坡安全系數(shù)計(jì)算方向示意圖。由圖1可看出，在邊坡荷載、邊界條件、滑動面位置、巖土體的基本物理力學(xué)參數(shù)已知的情況下，采用有限元法計(jì)算可得到滑動面上任意一點(diǎn)i在局部坐標(biāo)系x′o′y′下的應(yīng)力為σi和τi，滑動面上過點(diǎn)i的切線與總體坐標(biāo)系x軸正向的夾角為αi。

應(yīng)力的正負(fù)號按巖土力學(xué)的規(guī)定，角度的正負(fù)規(guī)定為：從x軸正向出發(fā)，沿逆時(shí)針方向的角度為正，沿順時(shí)針方向的角度為負(fù)，故圖1中的αi為負(fù)。

圖1 邊坡安全系數(shù)計(jì)算方向示意圖Fig.1 Sketch for calculating direction of slope safety coefficient

根據(jù)摩擦理論，邊坡潛在滑動面上任意一點(diǎn)i的滑動方向應(yīng)沿著該點(diǎn)滑動面的切向方向，由修正的粘著理論可知，該點(diǎn)應(yīng)力在滑裂面切向方向的分量τi與Δli的乘積為該點(diǎn)處靜滑動摩擦力的大小，該點(diǎn)的滑動趨勢方向與其靜滑動摩擦力方向相反。對于整個(gè)滑體而言，其靜滑動摩擦力就是滑動面各點(diǎn)處靜滑動摩擦力的合力，合力方向的反方向?yàn)檎麄€(gè)滑體的潛在滑動趨勢方向。而矢量和法安全系數(shù)的計(jì)算方向就是滑體的整體滑動趨勢方向，也就是滑動面各點(diǎn)處靜滑動摩擦力合力方向的反方向，將每點(diǎn)靜摩擦力的合力分別投影到x和y軸后的比值，即得計(jì)算方向與水平線的夾角為

式中：Fxi＝τiΔlicosαi、Fyi＝τiΔlisinαi分別為τiΔli在x軸與y軸上的投影。

1.3 矢量和法安全系數(shù)的計(jì)算

圖2為抗滑穩(wěn)定性分析時(shí)安全系數(shù)求解示意圖。由圖2可看出，以滑動面為研究對象，滑面上一點(diǎn)處的巖土體黏聚力為ci，內(nèi)摩擦角為φi，滑體作用于基巖上的荷載為正應(yīng)力σi和剪應(yīng)力τi，基巖作用在滑體上的反力分別為σ′i和τ′i，它們是一對大小相等、方向相反的作用力與反作用力。矢量和法安全系數(shù)表達(dá)式的計(jì)算如下：

圖2 安全系數(shù)求解示意圖Fig.2 Sketch for calculating safety coefficient

滑動面上的滑動力由自重及外荷載引起。在微弧段Δli內(nèi)，將引起滑動力的σi和τi分別沿安全系數(shù)計(jì)算方向的反方向的投影有：

滑動面上抗滑力由巖土體的黏聚力、摩擦力和基巖對滑動面的法向反力提供。在微弧段Δli內(nèi)，黏聚力與摩擦力之和為滑動面上巖土體的抗剪強(qiáng)度，其值由摩爾－庫侖強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算，基巖對滑動面的法向反力為σ′i（＝σi）。將抗滑力分別沿安全系數(shù)的計(jì)算方向投影，即：

1.4 矢量和法安全系數(shù)求解步驟

求解步驟如下：①根據(jù)地質(zhì)勘察資料建立有限元數(shù)值計(jì)算模型，在模型中反映地質(zhì)勘察的滑面；②對模型進(jìn)行常規(guī)有限元彈（塑）性分析計(jì)算，得到各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；③根據(jù)有限元彈（塑）性計(jì)算結(jié)果，計(jì)算滑面上各處剪力的矢量和，該剪力矢量和的方向即為安全系數(shù)的計(jì)算方向。通常按有限元網(wǎng)格劃分節(jié)點(diǎn)，將滑面分為若干個(gè)小段進(jìn)行計(jì)算；④安全系數(shù)的計(jì)算先按式（7）和式（11）計(jì)算滑面上各處滑動力與抗滑力沿此方向投影的代數(shù)和，再通過式（12）計(jì)算就可得邊坡整體的安全系數(shù)。

2 工程應(yīng)用

2.1 邊坡概況

某鐵礦采場由獅子山、尖林山、象鼻山3個(gè)礦體組成。采場總體走向?yàn)镹W300°，總體長度約為2200m，坑底總面積為8150m2。東露天采場地質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，出現(xiàn)斷層、節(jié)理發(fā)育，邊坡穩(wěn)定性差。Ⅵ區(qū)位于區(qū)域斷層F9上盤，其西側(cè)與Ⅴ區(qū)有區(qū)域性節(jié)理J2，整體坡度約為48°。區(qū)內(nèi)有兩組區(qū)域性節(jié)理J3、J4，這兩組主節(jié)理將該區(qū)劃分為上下兩個(gè)部分，上部形似鍥形體，下部形似正三角形體。另外還有兩組節(jié)理發(fā)育，一組節(jié)理近于平行，產(chǎn)狀320°∠75°，密集發(fā)育；另一組節(jié)理順坡面發(fā)育，兩組節(jié)理將巖體切割成碎裂結(jié)構(gòu)。Ⅵ區(qū)巖體結(jié)構(gòu)與Ⅲ－Ⅲ′剖面工程地質(zhì)圖分別如圖3、圖4所示。

圖3 Ⅵ區(qū)巖體結(jié)構(gòu)Fig.3 Rock structure of RegionⅥ

圖4 Ⅲ－Ⅲ′剖面工程地質(zhì)圖Fig.4 Engineering geological map of SectionⅢ－Ⅲ′

2.2 巖體力學(xué)參數(shù)取值

本文參考中國科學(xué)院巖土力學(xué)研究所1995年編寫的《大冶鐵礦獅子山北邦A(yù)區(qū)尖F9斷層上盤－60～－96m邊坡穩(wěn)定性和滑坡防治研究》報(bào)告提供的巖體參數(shù)，如表1所示。

表1 巖體力學(xué)參數(shù)Table1 Rock mass mechanical parameters

2.3 計(jì)算結(jié)果分析

2.3.1 極限平衡法

基于極限平衡原理，采用邊坡工程中廣泛運(yùn)用的邊坡穩(wěn)定性計(jì)算軟件Slope／w，包括 Morgenster－Price法、瑞典條分法、Bishop法和Janbu法等對邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)考慮孔隙水壓力、程序自動搜索最危險(xiǎn)滑動面，并給出最小安全系數(shù)，如圖5所示（邊坡巖性見圖4）。

由圖5可看出，由于上述計(jì)算方法均是基于極限平衡原理，故計(jì)算得到最危險(xiǎn)滑動面基本重合，但各方法嚴(yán)格程度及考慮因素不盡相同，以致最小安全性系數(shù)各不相同。極限平衡法研究邊坡穩(wěn)定性的合理性與適應(yīng)性已得到工程驗(yàn)證。4種情況下邊坡安全性系數(shù)如表2所示。

圖5 基于極限平衡法的邊坡最危險(xiǎn)滑動面Fig.5 The most dangerous sliding surface of slope based on limit equilibrium method

表2 邊坡安全性系數(shù)Table2 Slope safety coefficients

2.3.2 有限元強(qiáng)度折減法

借助有限元分析軟件Ansys模擬邊坡應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，邊坡按照平面應(yīng)變問題處理，單元類型選用PLANE42平面單元，巖土體材料本構(gòu)模型采用非線性彈塑性德魯克－普拉格（D－P）模型。DP模型不僅計(jì)入靜水壓力作用，而且還考慮中間主應(yīng)力的影響，克服了 Mohr－Coulomb模型的主要弱點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于國內(nèi)外巖體力學(xué)計(jì)算與數(shù)值分析中［10］。

Ⅲ－Ⅲ′剖面的實(shí)際坡高為431.12m，寬為566.5m。為了消除計(jì)算時(shí)邊界條件對坡體應(yīng)力－應(yīng)變求解的影響，在進(jìn)行求解時(shí)將模型尺寸取高為700m，寬為1500m。選取位移邊界條件，左右邊界位移x方向固定，y方向自由，底邊x、y方向固定。模型經(jīng)有限元網(wǎng)格劃分，共得到節(jié)點(diǎn)4132個(gè)，單元4007個(gè)。邊坡有限元計(jì)算模型如圖6所示。

圖6 邊坡有限元模型Fig.6 Finite element model of the slope

對巖體的強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ按同一折減系數(shù)F進(jìn)行折減，利用Ansys默認(rèn)的計(jì)算收斂準(zhǔn)則（力和位移不收斂），得到有限元強(qiáng)度折減安全系數(shù)為1.26。極限狀態(tài)下邊坡應(yīng)力、應(yīng)變分布如圖7所示。由圖7可看出，當(dāng)巖體結(jié)構(gòu)面強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ同時(shí)折減1.26倍后，最大剪應(yīng)力區(qū)域集中出現(xiàn)在邊坡Ⅵ區(qū)Ⅲ－Ⅲ′剖面斷層區(qū)域，此時(shí)xy塑性剪應(yīng)變在斷層及節(jié)理面上已基本貫通，形成塑性帶，邊坡處于極限平衡狀態(tài)，坡體具有失穩(wěn)下滑傾向。

2.3.3 矢量和法

圖7 邊坡剪應(yīng)力、剪應(yīng)變云圖Fig.7 Shear stress and shear strain nephogram of the slope

選用由Slope／W搜索出的最危險(xiǎn)滑動面作為臨界滑動面，滑面為圓弧形（見圖5），利用Ansys用戶可編程特性APDL語言的二次開發(fā)功能，自定義算法，根據(jù)上述矢量和法安全系數(shù)的定義與求解步驟編寫計(jì)算程序，得到該邊坡給定滑動面上各處剪力的矢量和方向，即安全系數(shù)的計(jì)算方向?yàn)?2.84°，安全系數(shù)F（θ）值為1.34。

3 結(jié)果對比分析

采用不同方法得到邊坡安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果的比較如表3所示。由表3可看出，矢量和法計(jì)算結(jié)果與極限平衡法和有限元強(qiáng)度折減法之間最大相對誤差為9.7%，誤差范圍為4.2%～9.7%，由此表明矢量和法計(jì)算安全系數(shù)的適用性。極限平衡法主要是基于重度增加方法來計(jì)算邊坡安全系數(shù)，隨著邊坡體的重度增加，正應(yīng)力的增大比例較大于剪應(yīng)力的增大比例，故邊坡滑體抗剪強(qiáng)度得到加強(qiáng)，從而導(dǎo)致極限平衡法中的Morgenster－Price法、瑞典條分法、Bishop法較矢量和法計(jì)算結(jié)果大。

表3 邊坡安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果比較Table3 Comparison of calculated slope safety coefficient

矢量和法同有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算結(jié)果相對誤差較小，僅為5.9%，主要由于本文選取圓弧滑面為最危險(xiǎn)滑動面，按照強(qiáng)度安全系數(shù)的定義是滑動面上各處的抗滑力對滑弧圓心的力矩與各處滑動力對滑弧圓心的力矩之比，如同矢量和法安全系數(shù)，具有明確的物理意義。

有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算結(jié)果與極限平衡法安全系數(shù)相對誤差較大，分析其原因主要在于：①有限元計(jì)算的數(shù)值收斂性受多種因素的影響，由此得到的安全系數(shù)的合理性與惟一性受到質(zhì)疑；②抗剪強(qiáng)度с和內(nèi)摩擦角φ在邊坡失穩(wěn)時(shí)發(fā)揮程度以及衰減速度與程度并非完全相等，兩者具有各自的安全儲備。二者采用同一折減系數(shù)會造成塑性區(qū)失真；③強(qiáng)度折減后，巖體殘余強(qiáng)度考慮不足。工程實(shí)踐表明，自重情況下，某鐵礦Ⅵ區(qū)邊坡整體穩(wěn)定性良好，表明采用矢量和法安全系數(shù)用以衡量邊坡穩(wěn)定性切實(shí)可行。

4 結(jié)論

（1）矢量和法計(jì)算結(jié)果與極限平衡法和有限元強(qiáng)度折減法之間最大相對誤差為9.7%，誤差范圍為4.2%～9.7%，且與邊坡實(shí)際穩(wěn)定性狀況相符合，從而驗(yàn)證了矢量和法計(jì)算安全系數(shù)的合理性與適用性。

（2）矢量和法與有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算結(jié)果相對誤差僅為5.9%，主要由于本文選取圓弧滑面為最危險(xiǎn)滑動面，按照強(qiáng)度安全系數(shù)的定義是，滑動面上各處的抗滑力對滑弧圓心的力矩與各處滑動力對滑弧圓心的力矩之比，如同矢量和法安全系數(shù)，具有明確的物理意義。

（3）極限平衡法主要是基于重度增加的方法來計(jì)算邊坡安全系數(shù)的，隨著邊坡體的重度增加，正應(yīng)力的增大比例較大于剪應(yīng)力的增大比例，故邊坡滑體抗剪強(qiáng)度得到加強(qiáng)，從而導(dǎo)致極限平衡法中的Morgenster－Price法、瑞典條分法、Bishop法較矢量和法計(jì)算結(jié)果大。

（4）作為邊坡整體穩(wěn)定性評價(jià)方法，矢量和法較為嚴(yán)格，其計(jì)算建立在邊坡真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)下，物理意義明確，公式簡潔。矢量和法為邊坡分析提供了切實(shí)可行的分析途徑。

［1］中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所.巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的試驗(yàn)研究與計(jì)算方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1981：87－115.

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