楊 光，武 帥

（沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034）

0 引 言

非線性系統(tǒng)極點配置常用的方法是精確線性化和極點配置兩步設(shè)計法［1］。因該法必須滿足苛刻的對合條件，對于高于二階的實際系統(tǒng)很難滿足。文獻(xiàn)［2］給出了回避苛刻對合條件的一步設(shè)計法，即對非線性系統(tǒng)精確線性化和極點配置一步完成。

到目前為止，有大量文獻(xiàn)研究非線性系統(tǒng)的控制問題［3－8］，但針對非線性廣義系統(tǒng)控制的研究仍然是個難題，本文將非線性系統(tǒng)的控制方法［2］應(yīng)用到非線性廣義系統(tǒng)的控制問題。首先給出將非滿秩陣化為滿秩陣的算法，然后求得非線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn)；進(jìn)而通過解一個擬線性PDEs（偏微分方程），利用Zubov's方法，完成該狀態(tài)空間實現(xiàn)的精確線性化、極點配置一步設(shè)計，從而實現(xiàn)非線性廣義系統(tǒng)的精確線性化、極點配置的一步控制。與以往常用的方法相比，無需滿足嚴(yán)格的對合條件，精確線性化和極點配置兩步由一個PDEs表達(dá)，且一步完成。使復(fù)雜的問題簡單化。利用此方法解決Logistic增長的SIS傳染病數(shù)學(xué)模型的一步控制問題，達(dá)到控制消除該傳染病的目的。通過計算機(jī)仿真模擬表明：該方法有效可行。

1 非線性廣義系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn)

考慮如下多輸出多輸入非線性廣義系統(tǒng)：

這里x∈Χ?Rn是系統(tǒng)的變量，z∈Ζ?Rp是系統(tǒng)的代數(shù)變量，X和Z是連通開集，u∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入，f（x）和k（x）是具有維數(shù)為n和p的光滑向量場，g（x）、c（x）、b（x）、l（x）分別為n×m、p×m、n×p、p×p階光滑矩陣，h（x）為X→Rm的實解析函數(shù)。

定義1 對于廣義系統(tǒng)（1），［l（x），c（x）］為非行滿秩矩陣，通過對該系統(tǒng)中的代數(shù)方程求導(dǎo)，使得［l（x），c（x）］轉(zhuǎn)化為行滿秩的矩陣，最低求導(dǎo)次數(shù)稱為廣義系統(tǒng)（1）的階數(shù)θd。

例如

假設(shè)廣義系統(tǒng)（1）的階數(shù)θd為有限的。

定義2 對于廣義系統(tǒng)（1），如果通過算法可將 ［l（x），c（x）］轉(zhuǎn)化為行滿秩的矩陣，且存在一個反饋控制作用在系統(tǒng)（1）中得到一個正常系統(tǒng)，則稱該正常系統(tǒng)為廣義系統(tǒng)（1）的狀態(tài)空間實現(xiàn)。

將 ［l（x），c（x）］轉(zhuǎn)化為行滿秩矩陣的算法如下：

設(shè)秩 ［l（x），c（x）］＝p1＜p，存在p×p階可逆矩陣M1（x）使得

這里（x）、k1（x）分別為p1×p、（p－p1）×p階矩陣。對k1（x）＝0求導(dǎo)，得到新的代數(shù)方程：

這里bj（x）、gj（x）分別表示矩陣b（x）、g（x）的第j列。

v為新的控制輸入。

證明 存在p階可逆陣P（x）使得

其中l(wèi)′（x）、l″（x）、c′（x）、c″（x）分別為k×k、k×（p－k）、（p－k）×（p－k）、（p－k）×（m＋k－p）階矩陣。不失一般性，假設(shè)l′（x）和c′（x）皆為可逆陣。

用P（x）分別左乘廣義系統(tǒng)（1）中的代數(shù)方程得到：

將反饋控制（6）代入式（8）中得到

將反饋控制（6）代入系統(tǒng)（1）中得到系統(tǒng)（7）。特別地，當(dāng)秩 ［l（x），c（x）］＝秩 ［l（x）］＝p時，取B＝0，從而有代數(shù)變量表達(dá)式

將式（10）代入廣義系統(tǒng)（1）中，得到如下非線性正常系統(tǒng)：

系統(tǒng)（11）為廣義系統(tǒng)（1）的狀態(tài)空間實現(xiàn)。

2 非線性廣義系統(tǒng)精確線性化和極點配置一步控制

考慮如下系統(tǒng)

精確線性化和極點配置一步設(shè)計的方法就是利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移和尋找反饋控制律把非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性的、能控的系統(tǒng)與極點配置一步完成［2］，而這一問題由解PDEs來實現(xiàn)。

假設(shè)存在一個可逆映射ξ＝w（x）和一個狀態(tài)反饋u＝－Cw（x），則

從而得到一次擬線性PDEs

這里：C為m×n階矩陣，w（x）∈Rn是式（14）的解，控制律

如果滿足引理1的條件，該PDEs是可解的。

引理1［2］（Lyapunov's輔助定理）對于一次擬線性偏微方程：

其中：Φ（x，w）：Rn×Rn→Rn，Ψ（x，w）：Rn×Rn→Rn，w∈Rn→Rn為 PDEs（15）的解，n×n矩陣，0）（0，0）的特征值分別為k、γ（i＝1，2，…，n），且滿足以下條件：ii

1）0 ?CH｛k1，k2，…，kn｝，這里CH 代表一個凸包；

2）ki與γi線性無關(guān)，即對任意非負(fù)數(shù)mi，不滿足

則PDEs（15）在平衡點x0＝0的鄰域內(nèi)一定存在唯一的解析解。

定理2 對于非線性廣義系統(tǒng)（1）滿足以下條件：

1）［l（x），c（x）］行滿秩；

2）A＝diag（－λ1，－λ2，…，－λn），其中λ1，λ2，…，λn為正數(shù)；

①0?CH｛η1，η2，…，ηn｝，這里CH 代表一個凸包；

②ηi與－λi線性無關(guān)，即對任意非負(fù)數(shù)mi不滿足：

在平衡點x0＝0的鄰域內(nèi)一定存在唯一的解析解w（x）。

證明 因為已知條件1），由定理1可得：一定存在m×p階矩陣B和u＝Bz＋v，使得［l（x）＋c（x）B］為滿秩的，得到廣義系統(tǒng)（1）的狀態(tài)空間實現(xiàn)（7）。因為x0＝0、z0＝0為系統(tǒng)（1）平衡點，在平衡點處u＝0，顯然f（0）＝0、k（0）＝0，系統(tǒng)（7）在平衡點處v0＝0。又因為當(dāng)再利用已知條件2）、3），由引理1可知定理2中的結(jié)論成立，且有

由于w（x）含有調(diào)節(jié)參數(shù)λ1，λ2，…，λn，將v＝－w（x）代入系統(tǒng)（7）中，則該系統(tǒng)可寫為如下形式：

其中

由已知條件2）可知A為 Hurwitz的，從而系統(tǒng)（18）在平衡點全局漸近穩(wěn)定（x，λ1，λ2，…，λn）為Hurwitz的。從而實現(xiàn)了非線性系統(tǒng)（7）一步設(shè)計，進(jìn)而實現(xiàn)了非線性廣義系統(tǒng)（1）的精確線性化和極點配置一步設(shè)計。

3 Logistic增長的SIS模型一步控制

有些傳染病如傷風(fēng)感冒、痢疾等，愈后免疫力很低，也可視為無免疫力，染病者被治愈后變成易感者，易感者還可以感染成為染病者，這類疾病用SIS模型描述。如果種群總數(shù)量（或密度）N的變化滿足Logistic模型［9］：

其中K為容納量，不妨假設(shè)K＝1。則Logistic增長的SIS模型為

其中：x為易感者，y為染病者，N為種群總數(shù)量，a，b，γ，d為正常數(shù)，a為傳染力，b為內(nèi)稟自然增長率，γ為恢復(fù)率，d表示因為傳染病而引起的死亡率。

引理3［9］區(qū)域且x＋y＝N≤1｝是系統(tǒng)（19）的正向不變集。如果a＞b＋γ＋d，則系統(tǒng)（19）在U內(nèi)存在平衡點（0，0，0）、（1，0，1）和唯一正平衡點（~x，~y，~N），而且系統(tǒng)（19）在（1，0，1）是不穩(wěn)定的。

由引理3知，當(dāng)a＞b＋γ＋d時，此傳染病將在該地區(qū)蔓延，要采取控制措施，使傳染病在該地區(qū)消除，也就是使（1，0，1）成為穩(wěn)定平衡點?？刂葡到y(tǒng)如下：

顯而易見（0，0，0）為系統(tǒng)（21）的不穩(wěn)定平衡點。

假設(shè)某地區(qū)流行一種傳染病，其中a＝12，d＝0.001，γ＝10，b＝0.015，將系統(tǒng)（21）化為如下正常系統(tǒng)

可見，施加上述控制在生物上就是對此傳染病模型采取遷入易感者、隔離染病者、對易感者免疫、提高染病者的恢復(fù)率等措施，最終將該傳染病消除。控制前與控制后染病者y（t）的情形如圖1所示。實線表示染病者y（t）控制前隨時間t的變化趨于平衡點，該傳染病將會成為此地區(qū)的地方病；虛線表示染病者y（t）控制后隨時間t的變化趨于原點，該傳染病將滅絕。

圖1 控制前與控制后染病者y（t）的情形

4 結(jié) 論

本文將非線性系統(tǒng)精確線性化和極點配值一步設(shè)計、Zubov's方法和最優(yōu)化理論結(jié)合起來，應(yīng)用于非線性廣義系統(tǒng)的控制，一步設(shè)計與常用的兩步法比，避免了嚴(yán)格的對合條件，特別是通過解一個系統(tǒng)的一階擬線性奇異PDEs來實現(xiàn)一步設(shè)計。將此法應(yīng)用于Logistic增長的SIS模型，仿真數(shù)據(jù)表明：該方法方便可行。

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