胡明春

(南京電子技術(shù)研究所， 南京210039)

0 引言

電特大目標(biāo)散射特性的求解是從雷達(dá)探測(cè)、目標(biāo)特性及射頻隱身設(shè)計(jì)等實(shí)際工程中提煉出的一個(gè)頗具挑戰(zhàn)性的科學(xué)問(wèn)題。所謂電特大目標(biāo)，是指目標(biāo)的電尺寸(幾何尺寸折算為入射波波長(zhǎng)個(gè)數(shù))達(dá)到數(shù)百甚至上千。這類問(wèn)題的求解的傳統(tǒng)方法是高頻近似方法［1-4］。高頻近似法具有計(jì)算資源消耗小、算法簡(jiǎn)單、求解速度快甚至可以實(shí)現(xiàn)“實(shí)時(shí)”求解等優(yōu)勢(shì)，其中最為典型的是美國(guó)DEMACO公司基于高頻近似法開(kāi)發(fā)的XPATCH軟件［5］，該軟件在美國(guó)軍工行業(yè)發(fā)揮了重大的作用。然而高頻近似法本質(zhì)上是標(biāo)量波方程典型解的應(yīng)用，難以準(zhǔn)確地描述三維電磁散射中復(fù)雜的電磁矢量關(guān)系，精度缺乏保證，只適于目標(biāo)散射特性的粗略估計(jì)。在實(shí)際的雷達(dá)工程應(yīng)用中，大多數(shù)目標(biāo)在雷達(dá)工作波段既表現(xiàn)出宏觀的電大尺寸，又不可避免地具有細(xì)節(jié)上的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，要精確獲得此類目標(biāo)的散射特性，就必須采用全波數(shù)值方法而非高頻近似法。

全波數(shù)值法可分為時(shí)域有限差分法、有限元法和矩量法三種基本類型［6］，其中時(shí)域有限差分法及有限元法均需要對(duì)三維目標(biāo)體進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，且需設(shè)置邊界條件以縮小求解區(qū)域范圍，因而未知量比較多;而矩量法只需要對(duì)三維目標(biāo)的表面進(jìn)行離散，且無(wú)須像微分方程法那樣必須設(shè)置邊界條件，具有求解區(qū)域小和未知量少的優(yōu)點(diǎn)，因此全波數(shù)值方法中最適合散射問(wèn)題求解的是矩量法。矩量法是由Harrington R.F.等人于20世紀(jì)60年代提出的一種離散電磁場(chǎng)積分方程的數(shù)值方法［7］，Rao等人提出RWG基函數(shù)來(lái)擬合任意物體表面的電流［8］，促進(jìn)了該算法在電磁特性精確計(jì)算中的應(yīng)用。此后，矩量法在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都取得了巨大的進(jìn)步，廣泛應(yīng)用于各種天線輻射、復(fù)雜散射體散射以及靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)等問(wèn)題的求解。矩量法的顯著特點(diǎn)是精度高，其本質(zhì)在于矩量法所離散的是積分方程，矩陣元素之間的相互作用通過(guò)格林函數(shù)準(zhǔn)確描述，正因?yàn)槿绱?，由于矩量法產(chǎn)生的矩陣是滿陣，對(duì)應(yīng)的存儲(chǔ)量為O(N2)。若用矩陣求逆的方法求解，其算法復(fù)雜度達(dá)到O(N3)，即使用迭代法求解，每次迭代的算法復(fù)雜度O(N2)。因此，對(duì)于未知量較多的問(wèn)題，計(jì)算資源很難滿足要求，這也是傳統(tǒng)矩量法發(fā)展數(shù)十年后所能求解問(wèn)題的規(guī)模僅限于幾個(gè)波長(zhǎng)，無(wú)法實(shí)現(xiàn)電特大目標(biāo)散射特性的精確求解的根本原因。

矩量法精確但無(wú)法求解電大目標(biāo)散射特性的尷尬局面直到快速多極子技術(shù)的出現(xiàn)才得以結(jié)束。快速多極子技術(shù)是一項(xiàng)基于矩量法的算法加速技術(shù)，可以大大降低內(nèi)存及算法復(fù)雜度——快速多極子技術(shù)使得傳統(tǒng)矩量法的O(N2)降低到O(N1.5)，多層快速多極子技術(shù)可以進(jìn)一步將內(nèi)存及算法復(fù)雜度降至O(NlgN)甚至O(N)，并行技術(shù)的出現(xiàn)進(jìn)一步提升了快速多極子技術(shù)的加速性能?？焖俣鄻O子技術(shù)的關(guān)于該算法的原理將在第1節(jié)繼續(xù)闡釋。

本文圍繞快速多極子技術(shù)這一電特大目標(biāo)散射計(jì)算的關(guān)鍵技術(shù)展開(kāi)，后續(xù)的安排如下:第1節(jié)介紹了快速多極子技術(shù)的加速原理及發(fā)展歷程，第2節(jié)通過(guò)電特大目標(biāo)散射特性計(jì)算的典型案例展示算法的求解能力，第3節(jié)展望了多極子技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)，第4節(jié)給出總結(jié)。

1 快速多極子技術(shù)的原理及發(fā)展歷程

快速多極子算法的基本數(shù)學(xué)原理在20世紀(jì)90年代初由Rokhlin V.在文獻(xiàn)中提出［9］，其核心是通過(guò)加法定理將格林函數(shù)展開(kāi)成球諧函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式?；诖藬?shù)學(xué)原理，Rokhlin、Engheta及 Lu C.C.和 Chew W.C.等人很快將此算法應(yīng)用于目標(biāo)的電磁散射特性計(jì)算［9-12］。下面簡(jiǎn)要地給出快速多極子技術(shù)與電磁散射特性求解相結(jié)合的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

三維導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射問(wèn)題可用電場(chǎng)積分表示為

式中:r為目標(biāo)表面S上場(chǎng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢徑;^t為S上場(chǎng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的單位切向矢量;Ei為入射激勵(lì)場(chǎng);R=|r-r'|。式(2)利用加法定理展開(kāi)并表示為角譜空間積分為

其中

式中:h(1)i和Pi分別表示第一類球漢克爾函數(shù)和勒讓德函數(shù);∫d2^k表示角譜空間單位球面上的積分。式(3)中可以通過(guò)合理選取高斯積分點(diǎn)進(jìn)行精確計(jì)算，這樣就得到了離散式(1)的兩種方法。在快速多極子算法中，將所有的基函數(shù)(每個(gè)未知量對(duì)應(yīng)一個(gè)基函數(shù))根據(jù)幾何位置分若干組。對(duì)于相鄰組(極少數(shù))，用式(1)直接計(jì)算矩陣元素;對(duì)于其余的非相鄰組(絕大多數(shù))，則將式(3)代入式(1)表示基函數(shù)之間為遠(yuǎn)場(chǎng)相互作用。該算法原理也可從物理角度解釋，即快速多極子方法的將目標(biāo)表面離散得到的各個(gè)電流作用看成是一個(gè)一個(gè)的子散射體，通過(guò)分組將子散射體之間的作用分為近場(chǎng)組作用和遠(yuǎn)場(chǎng)組作用。通常最細(xì)層組的電尺寸不低于0.2。當(dāng)兩個(gè)非空組之間至少有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)組之間的關(guān)系屬于近場(chǎng)組，使用矩量法直接計(jì)算兩個(gè)組內(nèi)基函數(shù)之間的互作用。當(dāng)兩個(gè)非空組之間至少相隔一個(gè)組時(shí)，它們之間的關(guān)系屬于遠(yuǎn)場(chǎng)組，采用快速多極子方法聚集-轉(zhuǎn)移-發(fā)散來(lái)計(jì)算。對(duì)于源點(diǎn)組來(lái)說(shuō)，該組中心代表了組內(nèi)所有子散射體對(duì)其相鄰組之間的作用;對(duì)場(chǎng)點(diǎn)組來(lái)說(shuō)該組中心代表了來(lái)自該組的所有非相鄰組對(duì)它的作用。通過(guò)這種分組的方式，減少了基函數(shù)之間作用的次數(shù)來(lái)降低計(jì)算復(fù)雜度和內(nèi)存需求。電流之間互耦作用的次數(shù)由原來(lái)矩量法的O(N2)降低到O(N1.5)。

單純的快速多極子技術(shù)在未知量較大時(shí)仍然需要較多的計(jì)算資源，為了進(jìn)一步提高算法的加速性能，美國(guó)依利諾依大學(xué)Chew W.C.教授在快速多極子方法的基礎(chǔ)上提出了多層快速多極子方法(多層快速多極子方法是快速多極子方法的推廣)［13-15］。多層快速多極子方法是基于樹(shù)形結(jié)構(gòu)的計(jì)算，其特點(diǎn)是逐層聚集、逐層轉(zhuǎn)移、逐層發(fā)散、嵌套遞推。對(duì)于二維情況，它將求解區(qū)域用一正方形包圍，然后再細(xì)分為4個(gè)子正方形，該層記為第一層。將每個(gè)子正方形再細(xì)分為4個(gè)更小的子正方形，則得到第二層，此時(shí)共有42個(gè)正方形。依次類推得到更高層。對(duì)于三維情況，則用一正方體包圍記為0層，經(jīng)過(guò)一次細(xì)分后得到8個(gè)子正方體記為第1層。依次類推細(xì)分下去，直到子正方體的邊長(zhǎng)為0.2左右，由此可以確定多層快速多極子方法在求解一個(gè)給定電尺寸的目標(biāo)散射時(shí)所需的層數(shù)。該方法的出現(xiàn)使得矩量法求解的算法復(fù)雜度由O(N1.5)向O(NlgN)邁進(jìn)，散射問(wèn)題的求解規(guī)模由數(shù)十個(gè)電波長(zhǎng)拓展至數(shù)百個(gè)電波長(zhǎng)。

在快速多極子算法不斷演進(jìn)的同時(shí)，Chew W.C.教授課題組進(jìn)一步將算法與超級(jí)計(jì)算機(jī)的并行處理結(jié)合起來(lái)，率先開(kāi)展了多層快速多極子并行算法的研究［16-19］，國(guó)內(nèi)相關(guān)課題組也迅速跟進(jìn)并取得了突出的成果［20-23］。需要注意的是，多層快速多極子并行算法與串行算法有根本不同，其開(kāi)發(fā)并非只是在原有串行算法上的簡(jiǎn)單調(diào)整，而要從算法原理到數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等方面做出根本改變，才能實(shí)現(xiàn)高效的并行算法，其中負(fù)載均衡和轉(zhuǎn)移矩陣是并行化的難點(diǎn)。目前，利用并行多層快速多極子技術(shù)已實(shí)現(xiàn)數(shù)百個(gè)核并行運(yùn)算，散射問(wèn)題的求解規(guī)模達(dá)到上千個(gè)電波長(zhǎng)。

2 快速多極子技術(shù)在電特大目標(biāo)散射特性求解中的應(yīng)用

近幾年，國(guó)內(nèi)外多個(gè)團(tuán)隊(duì)在快速多極子技術(shù)(尤其是并行多層快速多極子技術(shù))方面取得了重大進(jìn)展［24-33］，完成了一系列典型電特大目標(biāo)散射特性求解算例。下面將這些算例中的電特大目標(biāo)分為標(biāo)準(zhǔn)體、民用目標(biāo)及軍用目標(biāo)三類，結(jié)合典型算例來(lái)介紹快速多極子技術(shù)在電特大目標(biāo)散射特研究中的求解能力。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)體的散射特性求解

下面展示的是理想導(dǎo)體球散射特性研究算例。之所以選擇球體算例，是因?yàn)閷?dǎo)體球的RCS有解析解，便于驗(yàn)證算法的精度。圖1是土耳其Levent Gurel課題組利用并行多層快速多極子技術(shù)完成的半徑為340個(gè)電波長(zhǎng)的金屬球雷達(dá)散射截面(RCS)算例［32］。該算例對(duì)應(yīng)的未知量個(gè)數(shù)為540 659 712，采用了64個(gè)Intel Xeon Nehalem-Ex L755處理器并行處理。由圖1c)可見(jiàn)，基于快速多極子技術(shù)的矩量法所得RCS與解析解吻合，驗(yàn)證了算法的精度。

圖1 金屬球的散射(半徑340個(gè)電波長(zhǎng))

北京理工大學(xué)盛新慶教授課題組于2011年報(bào)道了一個(gè)直徑為1 000個(gè)波長(zhǎng)的金屬球，采用512 778 700個(gè)未知數(shù)，計(jì)算結(jié)果如圖2所示。顯然，采用并行多層快速多極子技術(shù)的計(jì)算結(jié)果與解析解吻合，再次驗(yàn)證了算法的精度，也展示了國(guó)內(nèi)在快速多極子技術(shù)研究方面的實(shí)力。

圖2 金屬球的散射(半徑500個(gè)電波長(zhǎng))

近期，國(guó)際上較為轟動(dòng)的一個(gè)算例是西班牙的Jose Manuel Taboada團(tuán)隊(duì)近期完成的一個(gè)最新Almond的散射特性求解算例［33］，Almond是美國(guó) NASA發(fā)布的用于校驗(yàn)散射特性求解算法的標(biāo)準(zhǔn)體。該算例中入射波的頻率設(shè)定為3 THz，對(duì)應(yīng)的最大幾何尺度的電尺寸為2 524個(gè)電波長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)1 042 977 546個(gè)未知量。該算例在“Finis Terrae”超級(jí)計(jì)算機(jī)上完成，用了64個(gè)節(jié)點(diǎn)(每個(gè)節(jié)點(diǎn)含16個(gè)核，共計(jì)1 024個(gè)處理器)，消耗了5 TB內(nèi)存，這是國(guó)際上公開(kāi)報(bào)道突破10億未知量的算例，展示了快速多極子技術(shù)的強(qiáng)大求解能力，是一個(gè)新的里程碑。

圖3 金屬Almond算例

2.2 介質(zhì)體目標(biāo)散射特性求解

在電磁計(jì)算中，求解介質(zhì)體散射特性的方程與理想導(dǎo)體不一樣，方程的迭代收斂速度不一樣，對(duì)應(yīng)的求解技術(shù)也不一樣。目前，多層快速多極子技術(shù)已開(kāi)始在導(dǎo)體目標(biāo)的散射特性求解中應(yīng)用［32］。圖4所示的是均勻介質(zhì)體半球的散射特性仿真結(jié)果(介質(zhì)半球的半徑為25 mm，相對(duì)介電常數(shù)為4.8)，平面入射波頻率為960 GHz，求解中用了39 389 184個(gè)未知量。

圖4 均勻介質(zhì)半球算例

圖5給出的是多層介質(zhì)體板算例(介質(zhì)板邊長(zhǎng)為2 cm、高 0.41 cm、相對(duì)介電常數(shù)為 1.6)，平面入射波頻率為960 GHz，該算例用了39 628 800個(gè)未知量。

2.3 民用目標(biāo)的散射特性求解

除了在在標(biāo)準(zhǔn)體散射研究中的應(yīng)用，快速多極子技術(shù)還用在汽車散射特性這類復(fù)雜民用目標(biāo)的散射特性研究中。圖6展示了基于快速多極子技術(shù)加速的散射求解技術(shù)用于汽車散射特性研究的結(jié)果。在該算例中，車廠為3.49 m，入射波頻率為79 GHz，采用了620 739 632個(gè)未知數(shù)個(gè)基函數(shù)來(lái)表示車身的等效電流。

圖5 多層介質(zhì)體板的散射

圖6 汽車的散射

2.4 軍事目標(biāo)的散射特性求解

目前，基于快速多極子技術(shù)的散射特性精確求解技術(shù)廣泛應(yīng)用于軍事目標(biāo)的散射特性求解。圖7為北京理工大學(xué)盛新慶教授課題組于2008年完成的飛機(jī)RCS算例［20］，對(duì)應(yīng)最大幾何尺度的電尺寸超過(guò)2 000個(gè)電波長(zhǎng)，采用289 344 192個(gè)未知數(shù)來(lái)模擬飛機(jī)模型。此算例采用并行多層快速多多極子技術(shù)，將計(jì)算區(qū)域分為14層，在中科院“深騰”高性能計(jì)算平臺(tái)上采用64個(gè)處理器并行處理，總計(jì)消耗814 GB內(nèi)存。圖8為該團(tuán)隊(duì)2011年完成的艦船模型散射特性研究算例，該算例中軍艦長(zhǎng)度為2 144個(gè)電波長(zhǎng)，采用3億多個(gè)未知數(shù)完成艦體的模擬。

圖7 A-2000飛機(jī)模型RCS仿真算法

圖9為西班牙的Jose Manuel Taboada團(tuán)隊(duì)完成的一個(gè)隱身飛機(jī)模型的散射特性求解算例。頻率為820 GHz的平面波從機(jī)頭前方斜30°入射，該算例中用到的未知數(shù)高達(dá)538 967 040。

圖8 艦船的散射

圖9 隱身飛機(jī)模型的散射

3 快速多極子技術(shù)發(fā)展展望

快速多極子的數(shù)學(xué)原理提出來(lái)已有二十多年，在快速多極子加速技術(shù)的推動(dòng)下，可精確求解目標(biāo)電磁散射特性的全波數(shù)值法求解規(guī)模和求解能力實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍。目前，快速多極子技術(shù)已從最初的單層發(fā)展為多層，并結(jié)合超級(jí)計(jì)算機(jī)發(fā)展為并行多層快速多極子技術(shù)，快速多極子技術(shù)的理論和算法框架日臻完善。當(dāng)前，快速多極子技術(shù)的發(fā)展更多地體現(xiàn)為并行算法與超級(jí)計(jì)算機(jī)上的深度優(yōu)化與快速多極子技術(shù)的應(yīng)用范疇的拓展。

在與超級(jí)計(jì)算機(jī)結(jié)合方面，快速多極子技術(shù)的發(fā)展的趨勢(shì)是結(jié)合超級(jí)計(jì)算機(jī)的體系構(gòu)架、硬件結(jié)構(gòu)進(jìn)一步提升算法的并行能力(如考慮OpenMP及MPI的算法特性，對(duì)超級(jí)計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)之間及各個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)部采用不同的并行化策略;考慮各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間通信開(kāi)銷及負(fù)載均衡等)，實(shí)現(xiàn)更大規(guī)模的并行求解。

目前，快速多極子技術(shù)的應(yīng)用范疇方面越來(lái)越廣泛，一個(gè)典型的例子是快速多極子技術(shù)用于“合元極”技術(shù)［15］，在該技術(shù)特別適合于帶涂覆層的合理想導(dǎo)體目標(biāo)的電磁散射特性研究。此外，多個(gè)課題組對(duì)快速多極子技術(shù)在均勻介質(zhì)體等不同類型目標(biāo)的散射特性開(kāi)展研究等。

4 結(jié)束語(yǔ)

電特大目標(biāo)散射特性的精確求解既是重要的科學(xué)問(wèn)題，又在雷達(dá)工程應(yīng)用等領(lǐng)域有著迫切的應(yīng)用需求，全波數(shù)值法是較好的求解途徑。在全波數(shù)值法中，又以矩量法最為適合。在早期，傳統(tǒng)矩量法的求解規(guī)模嚴(yán)重受限于算法復(fù)雜度及內(nèi)存需求，無(wú)法實(shí)現(xiàn)電大目標(biāo)散射特性求解;在20世紀(jì)末，快速多極子技術(shù)的出現(xiàn)結(jié)束了矩量法不能求解大規(guī)模電磁散射問(wèn)題的尷尬局面，這項(xiàng)革命性的加速技術(shù)極大地降低了矩量法精確求解的算法復(fù)雜度和內(nèi)存需求，使得全波數(shù)值法實(shí)現(xiàn)電特大目標(biāo)的散射特性成為可能;目前，隨著快速多極子技術(shù)(尤其是并行多層快速多極子技術(shù))的日臻成熟，精確算法求解電磁散射問(wèn)題的規(guī)?？蛇_(dá)到電尺寸為數(shù)千個(gè)電波長(zhǎng)，未知量為10億以上，達(dá)到了空前的求解能力。

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