陳鳳德，陳婉琳，趙 亮

（福州大學 數(shù)學與計算機科學學院，福建 福州 350108）

經典的兩種群Lotka-Volterra合作系統(tǒng)可以表示為

由文獻［1-2］可知，對該系統(tǒng)而言，條件

足以保證系統(tǒng)（1）存在唯一的全局吸引的正平衡點.

考慮到現(xiàn)實的生物數(shù)學模型不可避免地都要受到歷史狀態(tài)的影響，在系統(tǒng)（1）中進一步考慮時滯的影響，Chen等人［3］提出了如下模型：他們給出了兩個反例表明對這類系統(tǒng)而言，由于時滯的作用，在條件（2）成立的情況下，系統(tǒng)（3）存在無界解.也就是說，系統(tǒng)（2）不足以保證系統(tǒng)（3）是持久的，從而也就更不可能保證系統(tǒng)（3）有全局穩(wěn)定的正平衡點.他們猜測，對系統(tǒng)（3）而言，穩(wěn)定性應該與時滯之間的比值等有關系.系統(tǒng)（3）中，τ1，τ3的存在，使得系統(tǒng)是純時滯系統(tǒng).最近的研究［4-5］表明，對純時滯系統(tǒng)，時滯將會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性起到非常重要的作用，τ1，τ3要足夠小才有可能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此，暫不考慮τ1，τ3，先研究如下較為簡單的模型：

基于系統(tǒng)的生態(tài)學意義，本文恒設系統(tǒng)（4）滿足如下初始條件：

式中，φi（s）（i＝1，2）是［-τ，0］上的連續(xù)函數(shù)，τ＝max｛τi｝（i＝2，4）.問題是：對系統(tǒng)（4），條件（2）是否足夠保證系統(tǒng)存在唯一的全局吸引的正平衡點？本文旨在發(fā)展文獻［4-8］的研究方法，通過構造適當?shù)腖yapunov泛函，對該問題給出肯定的回答.

引理1 系統(tǒng)（4）滿足初值條件（5）的解x1（t）＞0，x2（t）＞0（t≥0）.

證明

作為文獻［6］定理2.2的直接推論，關于系統(tǒng)（4）的持久性，有如下≡結論：

引理2 若條件（2）成立，則滿足初值條件（5）的系統(tǒng)（4）是持久≡的，即存在與系統(tǒng)的解無關的正常數(shù)m和M，使得系統(tǒng)（4）的任一正解均滿足

定理 假設條件（2）成立，則滿足初值條件（5）的系統(tǒng)（4）存在唯一的全局吸引的正平衡點.

證明 計算易知，在條件（2）成立的情況下，系統(tǒng)（4）有唯一的正平衡點（x＊1，x＊2），其中

注：定理表明，系統(tǒng)（4）中，時滯不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這說明時滯是無害時滯.

［1］ 馬知恩.種群生態(tài)學的數(shù)學建模與研究［M］.合肥：安徽教育出版社，1996.（Ma Zhien. Mathematical Modeling and Study on Population Ecology ［M ］. Hefei：Anhui Education Press，1996.）

［2］ 陳蘭蓀，宋新宇，陸征一.數(shù)學生態(tài)學模型與研究方法［M］.成都：四川科學技術出版社，2003.（Chen Lansun，Song Xinyu，Lu Zhengyi. Models and Methods of Mathematical Ecology［M］.Chengdu：Sichuan Science and Technology Press，2003.）

［3］ Chen L S，Lu Z Y，Wang W D.The Effect of Delays on the Permanence for Lotka-Volterra Systems［J］. Applied Mathematics Letters，1995，8（4）：71-73.

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［5］ Chen F D.Global Stability of a Single Species Model with Feedback Control an Distributed Time Delay［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，178（2）：474-479.

［6］ 林玉花，陳鳳德，王海娜，等.一類非自治兩種群浮游生物相克模型的持久性和全局吸引性［J］.沈陽大學學報：自然科學版，2012，24（6）：7-10.（Lin Yuhua，Chen Fengde，Wang Haina，et al.Permanence and Global Attractivity of a Nonautonomous Two Species Allelopathic Phytoplankton Model［J］.Journal of Shenyang University：Natural Science，2012，24（6）：7-10.）

［7］ 王海娜，陳鳳德，林玉花，等.具有反饋控制的非自治兩種群浮游生物相克系統(tǒng)的持久性和全局吸引性［J］.沈陽大學學報：自然科學版，2013，25（3）：173-176.（Wang Haina，Chen Fengde，Lin Yuhua，et al.Permanence and Global Attractivity of Non-Autonomous Allelopathic Phytoplankton Model for Two Species with Feedback Controls［J］.Journal of Shenyang University：Natural Science，2013，25（3）：173-176.）

［8］ Lin S Q，Lu Z Y.Permanence for Two-species Lotka-Volterra System with Delays［J］.Mathematical Biosciences and Engineering，2006，3（1）：137-144.