李夢(mèng)玉，章社生 (武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430063)

船舶遭遇波浪的VOSS映射快速計(jì)算

李夢(mèng)玉，章社生 (武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430063)

研究了船舶遭遇波浪的VOSS映射快速計(jì)算，建立了高維VOSS映射的Fourier變換數(shù)學(xué)模型，給出了K個(gè)S指示序列的快速算法，理論分析表明，該算法所用乘法次數(shù)為(N-1), 遠(yuǎn)小于快速Fourier變換所用的乘法次數(shù)。算例結(jié)果表明，不同風(fēng)速形成的波浪，對(duì)應(yīng)的VOSS映射功率譜序列是不同的。

波浪；VOSS映射；Fourier變換

波浪是海洋科學(xué)中重要的研究對(duì)象。文獻(xiàn)[1]敘述了波浪測(cè)量方法和波浪譜計(jì)算方法；文獻(xiàn)[2]從理論角度闡述船舶在波浪上運(yùn)動(dòng)的力學(xué)機(jī)理和計(jì)算方法；文獻(xiàn)[3] 研究了海浪的頻譜模型，依據(jù)海浪的數(shù)學(xué)模型和海浪的頻譜特性,對(duì)海浪反演的線性疊加法進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[4]從海洋學(xué)現(xiàn)有的觀測(cè)和研究成果出發(fā), 結(jié)合海浪的 Gerstner 模型, 提出一種風(fēng)力作用下的基于海浪譜的三維 Gerstner 海浪模型；文獻(xiàn)[5]對(duì)波浪傳播變形數(shù)學(xué)模型的諸多研究成果進(jìn)行綜述，認(rèn)為波浪傳播時(shí)會(huì)發(fā)生變形；文獻(xiàn)[6] 利用GPS量測(cè)波浪的運(yùn)動(dòng)，其中波高和周期的誤差均小于5%，且誤差不隨波浪大小而改變；文獻(xiàn)[7]給出了時(shí)空聚焦方式生成畸形波的三維波浪模型，認(rèn)為畸形波一般具有大的波高、時(shí)空短暫性的特點(diǎn)，對(duì)海事工程和海上航行具有巨大的潛在危險(xiǎn)性。下面，筆者用VOSS映射[8-10]研究不同振幅的波。

1 波高VOSS映射

在海洋中，波是由若干個(gè)波幅不同的波組成，設(shè)S={S(n):S(n)∈I,n=0,1,2,…,N-1}為測(cè)量得到的波高序列(或波幅序列)，其中波幅組成的集合為I={A1，A2,…,Ak}, 這里Ak為波幅。對(duì)任意b∈I, 令：

(1)

取Fourier變換：

(2)

對(duì)于一般的N，將集合K={k|k=0,1,2,…,N-1}分為2個(gè)子集：

K1={|k=nb(1),nb(2),…,nb(Mb)}K2=(K-K1)

在集合K1上，u(b,n)=1，在集合K2上，有u(b,n)=0， 則:

(3)

式中:

(4)

2 x(n,k)的計(jì)算

對(duì)于一般的序數(shù)n，當(dāng)n=2,3,4,…N-1時(shí)，集合An={x(n,k)|k=0,1,…,N-1}={x(1,m)|m=0,n,2n,…,n(N-1)}。可以分為n個(gè)子集合的和：

(5)

式中，J0=0，Js滿足條件sN-N≤JssN。

由周期性，第s個(gè)子集合中的序號(hào)數(shù)減去sN， 則有：

(6)

式中，k0,1=0,ks,1=Js-sN,ks,2=Js+1-sN，且0≤ks

由式(6)可知，An中第(s+1)個(gè)子集合中的第一個(gè)元素序號(hào)數(shù)等于第s個(gè)子集合中的最后一個(gè)元素的序號(hào)數(shù)減N，再加上n。由U(b,k)的表達(dá)式，有：

(7)

初始值為：

U(b,k,0)=0k=0,1,…,N-1

終值為：

U(b,k)=U(b,k,Mb)k=0,1,…,N-1

由式(7)可知，按整數(shù)n的次序，能求出U(b,k)的數(shù)值。在實(shí)際計(jì)算中，具有下標(biāo)的nb,Sb,Mb整流器數(shù)值不需要計(jì)算，而由程序自動(dòng)給出。當(dāng)求出U(b,k)后，再計(jì)算序列S的功率譜序列{P(k)} 和總功率E：

(8)

根據(jù)上面給出的計(jì)算方法，除了加減法外，只用了(N-2)次乘法和一次調(diào)用函數(shù)計(jì)算X=exp(-j2π/N)。若N=2M,用快速Fourier變換計(jì)算U(1,k)需要O(N*log(N))次乘法計(jì)算。計(jì)算K個(gè)U(b,k)需要O(K*N*log(N))次乘法計(jì)算。而直接計(jì)算x(n,k)=exp(-j2knπ/N)所用乘法次數(shù)為O(N*N)。可見(jiàn)，在理論上，筆者提出的方法比快速Fourier變換的計(jì)算量小。

3 波浪計(jì)算

海浪可以表達(dá)為下面級(jí)數(shù)形式[1]：

式中，An為波幅；Kn表示波數(shù)；ωn為圓頻率。當(dāng)波浪測(cè)量點(diǎn)固定不動(dòng)時(shí)，取x=0,則有：

波高與譜密度的近似關(guān)系式為：

An=[2S(ωn)Δω]1/2

(9)

式(9)表明，只要給出譜密度，就可以近似求出波高。筆者選取ITTC推薦的譜公式：

(10)

計(jì)算區(qū)間為：

(10)

將區(qū)間劃分為M等份，步長(zhǎng)為h。選取有義波高ξ1/3=0.19，M=40, 時(shí)間步長(zhǎng)0.05，數(shù)據(jù)采樣數(shù)N=400。根據(jù)波高數(shù)據(jù)，計(jì)算波高絕對(duì)值的平均值yM, 將低于平均值的波高數(shù)據(jù)劃分為第1類(lèi)，其余數(shù)據(jù)劃為第2類(lèi)，然后求功率譜序列P(k)和總功率E。計(jì)算結(jié)果表明，筆者提出的快速算法所用CPU計(jì)算時(shí)間為直接法的三分之一。選取2種風(fēng)速：V=0.5m/s和V=5.0m/s，對(duì)應(yīng)功率譜序列P(k)的計(jì)算結(jié)果如圖1所示。由圖1可知，在低風(fēng)速V=0.5m/s時(shí)，功率譜序列P(k)分布在整個(gè)區(qū)間；在高風(fēng)速V=5m/s時(shí)，則在兩端有較大的值，中間數(shù)值較小。圖1中，有義波高與風(fēng)速V的關(guān)系為ξ1/3=(V/6.85)2。

圖1 功率譜序列P(k)隨k的變化

4 結(jié) 語(yǔ)

將VOSS映射方法用于海洋波浪研究，給出了只有(N-1)次乘法的快速變換算法，并且波浪實(shí)際算例證明該方法計(jì)算速度快。筆者的研究只將波高分為了2類(lèi)，進(jìn)一步的研究是將波高分為多類(lèi)。

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2012-11-26

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51139005)。

李夢(mèng)玉(1989-)，女，碩士生，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究工作。

章社生(1955-)，男，博士，教授，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:sheshengz@qq.com。

TP391.9；P731.2

A

1673-1409(2013)04-0001-03

[編輯] 洪云飛