王麗麗，高志軍，田長濤

(1. 孫吳縣水文局，黑龍江 孫吳164200;2. 呼瑪縣水文站，黑龍江 呼瑪165100;3. 伊春水文局，黑龍江 伊春153000)

1 流域降雨徑流預(yù)報方法簡介

在水文預(yù)報工作中，降雨徑流預(yù)報方法應(yīng)用范圍較廣。應(yīng)用降雨量預(yù)報徑流需要解決兩個方面的問題:①某次降雨所產(chǎn)生的徑流多少。②這些徑流是怎樣匯集到預(yù)報斷面的。前者稱為產(chǎn)流量預(yù)報，后者稱為匯流過程預(yù)報。從降雨開始到形成流域出口斷面流量的整個過程，稱為徑流的形成過程。這一過程在理論上可分為流域產(chǎn)流和匯流兩個階段:在產(chǎn)流階段的預(yù)報任務(wù)就是求出降雨在扣除蒸發(fā)、下滲、截留等損失后所產(chǎn)生地表徑流的凈雨量( 用一次洪水過程的徑流深表示) ，一般由流域降雨～徑流相關(guān)圖查得。流域在產(chǎn)流過程中主要受流域內(nèi)各種因素對降雨的調(diào)蓄作用影響，流域的調(diào)蓄作用為洪水預(yù)報提供了一定的洪峰預(yù)見期; 降落在流域上的雨水，從流域各處向流域出口斷面匯集的過程稱為流域匯流，流域匯流包括坡地匯流和河網(wǎng)匯流兩個階段。實際工作中一般采用凈雨量和流域出口斷面流量資料，將坡地和河網(wǎng)匯流視為一個總體分析出流域匯流單位線，以用于洪水預(yù)報。

2 流域匯流經(jīng)驗單位過程線簡介

單位過程線法由L. k. 謝爾曼于1932年提出，至今仍是匯流計算中應(yīng)用最為普遍的方法。因它是由流域匯流系統(tǒng)實測的雨洪資料反推而得，所以又稱為是由黑箱分析法求得的經(jīng)驗單位線。

2.1 單位線的定義

在一個特定的流域上，在單位時段內(nèi)均勻分布的單位凈雨量所形成的流域出口站的地面徑流過程線稱為單位線。單位線有3個基本要素:①單位線洪峰流量( qm) 。②洪峰滯時( Tp，從凈雨中心到單位線洪峰的時距) 。③單位線總歷時( TD) 。在我國單位凈雨深一般取10 mm，單位時段可根據(jù)流域的大小、匯流歷時長短和實際需要而定，一般可取1、3、6、12、24 h等，大致是流域出口過程漲洪歷時的1/3 ～1/4。

2.2 單位線基本假定

由于實際降雨不可能恰巧是一個單位和上述限定的某段，因此在分析單位線時，要事先作以下基本假定。

1) 在單位時段內(nèi)凈雨深不同，所形成的地面徑流過程的總歷時相同。

2) 如果單位時段內(nèi)凈雨深不是一個單位，而是n個單位，那么它形成的流域出口流量過程線的流量則為單位線的n 倍。實際進行洪水預(yù)報時就是選用適當類型的事先推算出的流域經(jīng)驗單位線，將實際凈雨量按與單位凈雨的倍比逐時段相乘而得到預(yù)報徑流過程。

3) 如果凈雨歷時不是一個時段，而是m個時段，那么各時段凈雨量所形成的流量過程之間互不干擾，出口斷面的流量等于各時段凈雨量所形成的流量之和。

以上3個假定，就是將流域視為線性系統(tǒng)，符合倍比迭加原理。這里著重介紹在匯流分析方面如何選用最佳方法來推求單位線。單位線三要素示意圖見圖1。

圖1 單位線三要素示意圖

3 流域匯流單位線推求方法

推求單位線的基本方法是基于上述定義和假定條件。在流域的實測水文資料中選擇若干次在洪水量級和降雨時空分布方面有代表性的雨洪過程。各次降雨的歷時應(yīng)較短，洪水過程的峰形要完整，最好是單峰形或易于分割成單峰形的復(fù)式峰洪水過程。按事先確定的單位線時段長度Δt 將一次降雨的流域平均降雨過程劃分為若干時段，利用本流域已有的產(chǎn)流計算方案來求得各時段的徑流量( 凈雨量) 。產(chǎn)流方案求出的各時段凈雨量總和應(yīng)與實際選定的洪水過程線徑流深一致。由于資料精度、產(chǎn)流方案、洪水過程分割等原因引起兩者有一定差異時，應(yīng)分析原因并做平差修訂，一定要使兩者相等才能用于推求單位線。

應(yīng)用已知凈雨量及其對應(yīng)的徑流過程推求單位線的方法很多，在系統(tǒng)分析中稱為系統(tǒng)識別。在實際工作中應(yīng)用較多的有直接代數(shù)解法、試錯法、最小二乘法等，各方法基本原理如下:

已知一次降雨產(chǎn)生的各時段徑流深為r1，r2，r3，……，rm，相應(yīng)的流域出口各時刻流量為Q1，Q2，Q3……，QL。若取單位徑流深為10 mm，單位線各時刻縱坐標為q1，q2，q3……，qT。由單位線的基本假定知:直接代數(shù)法就是由上述各式解出qi，即:

1) 直接代數(shù)解算法計算方便，其明顯缺點是誤差傳遞性強，任何時段的Qi或ri有誤差時都會依次傳遞下去而使單位線出現(xiàn)鋸齒狀甚至負值。再就是在降雨時段較多時( 3 段以上) ，用該方法計算步驟會較多，誤差傳遞現(xiàn)象更加明顯。降雨時段越多，降雨與徑流之間的假定倍比關(guān)系也越加松散，很難得出合理的單位線成果。在實際工作中，能夠滿足用直接代數(shù)法解算單位線的雨洪資料也比較少，因此該方法實際利用率較低。

2) 試錯法是先假定一條單位線，根據(jù)該假定單位線與已知時段凈雨量直接計算流域出流過程，再與實測出流過程進行比較，若兩者基本相符，則所假定的單位線即為所求。否則，修正原假定再試算，直至計算值與實測過程相符為止。試錯法相當于代數(shù)解算法的逆運算，計算步驟簡便適合多時段雨洪資料，但計算量較大，試算時間較長且試算時對誤差的控制帶有主觀性，所得的單位線往往不是最優(yōu)解。

3) 利用最小二乘法推求單位線的基本原理是首先令實測流量為Qo，由單位線推算的流量為Qc，則誤差e=Qo－Qc。若取∑e2= min，可將式1 變成方程個數(shù)與待求變量相等的正規(guī)方程組riqi=Qi，然后解得在最小二乘意義下q 的最優(yōu)估計值。該方法求解單位線時應(yīng)用了一次雨洪的全部流量資料，原理上比較完善，但解正規(guī)方程組的要求條件較高，不易掌握，而且由于缺少約束條件得到的單位線有時仍會出現(xiàn)鋸齒狀震蕩。

4 利用Excel 線性規(guī)劃功能推求單位線

本文選擇利用Excel 軟件中的線性規(guī)劃功能來推求單位線。線性規(guī)劃是運籌學(xué)中應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。線性規(guī)劃解決的是線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。線性規(guī)劃問題可以表示為:min( z) = cTx ;s. t. Ax = b;x ≥0，上式中，向量x 為可變向量，z 為目標函數(shù)，s. t. Ax = b 為線性約束條件( s. t. 意思為“受約束于”) ，A 為系數(shù)矩陣。利用Excel 的線性規(guī)劃功能求解單位線的優(yōu)點首先在于對使用人員要求起點較低，便于掌握，操作界面簡單明了;再就是該法具備試錯法和最小二乘法的優(yōu)點，而且可以靈活設(shè)置多項約束條件，可以有效減少和消除解算單位線時易出現(xiàn)的鋸齒現(xiàn)象。

4.1 實例應(yīng)用

選擇某水文站的一次洪水過程，斷面面積F =552 km2，計算時段△t=3 h，計算結(jié)果見表1，并見圖6 所示，分析計算過程如下:

4.1.1 數(shù)學(xué)模型選用

1) min( z) = ∑( Qc－ Qi)2，式中Qc為實測地表徑流過程;Qi為計算地表徑流過程，目標規(guī)劃結(jié)果為二者誤差平方和為最小。

2) s. t. ( Rq) =10;s. t. ( qi) ＞0，式中Rq為單位線徑流過程的徑流深; 約束條件為解算單位線徑流深為10 mm;( qi) 為單位線各時段徑流值，約束條件為解算單位線各時段值為非負值。

4.1.2 解算方法

1) 首先在解算表中輸入實測地表徑流過程和凈雨深，再求解單位線一列輸入假定的單位線徑流過程( 給任意值即可) 。選擇“工具”→“加載宏”命令，在彈出的“加載宏”對話框中見圖2 確定選中了“規(guī)劃求解”復(fù)選項。

圖2 “加載宏”對話框圖

2) 見圖3 所示設(shè)置數(shù)據(jù)模型計算步驟，在j29 單元格中輸入公式=sum( j2; j28) ，此單元格將會作為目標單元格，分析目的是通過改變可變單元格的值使其數(shù)值達到最小值。

圖3 表格設(shè)置與目標單元格確定

3) 選擇“工具”→“規(guī)劃求解”命令，彈出見圖4所示的“規(guī)劃求解參數(shù)”對話框。

圖4 “規(guī)劃求解”參數(shù)設(shè)置對話框

在“設(shè)置目標單元格”中選擇目標函數(shù)所在的J29 單元格，在可變單元格中選擇可變向量所在的單元格區(qū)域C3;C26，可變向量的最終優(yōu)選結(jié)果就是所求的單位線過程。圖中“約束”選項用于輸入約束條件。本例選擇約束條件“$B$36 =10”，目的是使解算的最優(yōu)單位線徑流深為10 mm( 計算公式見表1 備注欄) ;約束條件“$C$3: $C $27 ＞=0”是避免分析出的單位線出現(xiàn)負值。

4) 單擊“求解”按鈕，Excel 在經(jīng)過計算之后將得出結(jié)果，彈出見圖5 所示的“規(guī)劃求解結(jié)果”對話框。最終分析結(jié)果見表1。

圖5 “規(guī)劃求解”結(jié)果對話框

通過表1 和圖6 可見，利用解算單位線推求出的地表徑流過程與實測地表徑流過程基本一致，單位線徑流深控制為10 mm。洪峰流量計算誤差為2.7%，滿足水文預(yù)報規(guī)范要求的計算誤差須小于實測洪峰流量值20%的精度標準。

圖6 線性規(guī)劃法求得單位線、實側(cè)和計算徑流過程圖

表1 利用Excel 規(guī)劃求解功能分析解算單位線實例計算表

5 結(jié) 語

1) 利用線性規(guī)劃方法推求單位線基于線性數(shù)學(xué)模型和誤差控制以及相應(yīng)約束條件為基礎(chǔ)。該方法使用要求較低，在推求單位線時，Excel 軟件能夠自動對單位線各時段流量進行優(yōu)選確定，避免了其它方法分析單位線費時費力的弊端。線性規(guī)劃法分析單位線時對約束條件的設(shè)置可以在最大程度上減少單位線某一時段出現(xiàn)負值和線形呈現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象。

2) 對單位線成果的檢驗要以實用性為原則，不應(yīng)僅以滿足單位線徑流深接近10 mm為標準。由于實際洪水預(yù)報主要以預(yù)報洪峰流量為主，因此利用單位線計算出的峰值必須與實測洪水峰值一致或接近，否則應(yīng)對單位線峰值進行必要的修正。

3) 由于任何實測雨洪資料都可能存在不同程度的觀測誤差和特殊成因，因此有些入選的雨洪資料在采用本文所述方法時系統(tǒng)會出現(xiàn)無法提供最優(yōu)解的情況，此時應(yīng)對雨洪關(guān)系和數(shù)值進行重新審核、取舍和確認，在以提高洪峰流量擬合精度為主要目標的前提下對單位線其余部分進行必要的修正處理。

［1］鄧先俊. 陸地水文學(xué)［M］. 北京:水利電力出版社，1984.

［2］李慧瓏. 水文預(yù)報［M］. 北京:水利電力出版社，1979.

［3］宋少忠.Excel 公式、函數(shù)和圖表應(yīng)用與實例分析［M］.北京:中國水利水電出版社，2008.