張 峰 ，董曉明 ，梁 軍 ，韓學山 ，孫 華 ，劉 寧

（1.山東大學 電氣工程學院，山東 濟南 250061；2.山東勞動職業(yè)技術學院 電氣及自動化系，山東 濟南 250022；3.山東德州供電公司，山東 德州 253008）

0 引言

連續(xù)潮流［1-14］CPF（Continuation Power Flow），從已知潮流斷面出發(fā)，按照某一預先設定的模式增加發(fā)電與負荷，計算負荷所能達到的靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限功率（下文稱為負荷裕度），能有效識別鞍節(jié)分岔點 SNB（Saddle Node Bifurcation）和極限誘導型分岔 LIB（Limit Induced Bifurcation），同時計及無功調(diào)節(jié)設備的動作，在靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析領域獲得廣泛的應用。

假設發(fā)電增長模式給定且不考慮有功限制，則負荷裕度僅與負荷增長模式有關。文獻［15］則利用SNB處負荷裕度與負荷增長模式的靈敏度，修正CPF負荷增長方向，計算SNB邊界的最小負荷裕度。上述方法僅針對SNB邊界進行了分析，文獻［16］在文獻［17］的基礎上進一步計及了LIB，綜合計及SNB與LIB成為求取最小負荷裕度的算法要求。文獻［18］從一個小節(jié)點算例中得到SNB邊界非凸的結論，針對非凸問題的全局尋優(yōu)能力成為評價算法優(yōu)劣的另一重要因素。

考慮到CPF算法在類型的識別與計及無功設備投切等方面的優(yōu)勢，以及模擬退火粒子群優(yōu)化［19］SAPSO（Simulated Annealing Particle Swarm Optimization）算法良好的全局尋優(yōu)能力，本文在分別對CPF以及SAPSO算法進行改進的基礎上，提出了一種混合算法。在CPF模型中，增加負荷增量功率因數(shù)作為負荷增長方向的約束條件；計及無功補償設備的投切；提出一種LIB的識別算法；改進步長控制策略。在SAPSO算法中，采用變權重系數(shù)［19］與變學習因子［19］策略；提出基于功率增長方向夾角的早熟判據(jù)以及一種隨機變異算法。在程序?qū)崿F(xiàn)方面，采用多線程并行技術，充分利用計算資源提高計算速度。算例分析表明了本文研究的有效性。

1 CPF擴展潮流模型

CPF擴展潮流方程如式（1）所示：

其中，λ反映功率增長水平；n為除平衡節(jié)點外的節(jié)點總數(shù)；PBi、QBi為注入節(jié)點i的有功與無功功率；PGi、QGi為注入節(jié)點i的發(fā)電機有功以及無功功率；PLi、QLi為注入節(jié)點i的負荷有功以及無功功率；U和θ分別為各節(jié)點電壓幅值和相角組成的向量；P′Gi為節(jié)點 i發(fā)電機有功增長比例；S′Li與 φ′Li分別為節(jié)點 i負荷視在功率增長比例及負荷增量的功率因數(shù)角。

2 最小負荷增長模式

假設發(fā)電增長比例給定，功率增長模式僅由負荷增長比例確定，以負荷裕度最小為目標的優(yōu)化模型如下所示：

其中，λcr為分岔點對應的λ值；目標函數(shù)h（·）表示負荷裕度；φ′Limax與 φ′Limin為負荷增量的功率因數(shù)角上、下限值。

為消除等式約束，對優(yōu)化模型作如下轉(zhuǎn)化：

式（4）被式（7）所示決策量替代。

目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為：

3 CPF計算過程

CPF擴展潮流方程式（1），可簡寫為如下形式：

3.1 步長控制策略

采用切線預測方法計算預測點：

其中，W（i）為前一次校正過程收斂的潮流解；dW（i）為切線預測向量；α為步長控制因子。

本文在文獻［11］的基礎上，提出如下步長控制策略：

其中，C（·）表示文獻［11］中的算法，αmin為 α 下限值。參數(shù)ε如式（14）所示。

其中，v 為 PV 節(jié)點個數(shù)，Qimax、Qi、Qi（0）分別為 PV 節(jié)點i無功的上限值、當前值、初始值。

3.2 LIB的識別

式（12）中切向量的計算需要求解如下方程：

其中，e（k）是第k個分量為1、其余分量為零的向量，可根據(jù)文獻［11］中的方法計算k值。常規(guī)潮流方程雅可比矩陣J為的子陣，如式（16）所示。

其中，lij為下三角矩陣中元素，uij為上三角矩陣中元素。

J的行列式可由下式得到：

當PV節(jié)點因無功限制轉(zhuǎn)換為PQ節(jié)點后，J的維數(shù)增加，特征值數(shù)量增加。若出現(xiàn)正特征值，則轉(zhuǎn)換前后J的行列式如式（19）所示，出現(xiàn)LIB。

其中，J（i-1）、J（i）分別為 PV 節(jié)點轉(zhuǎn)換為 PQ 節(jié)點前、后潮流方程的雅可比矩陣。

3.3 無功補償設備的投切

系統(tǒng)運行時，一般根據(jù)母線電壓及功率因數(shù)是否越限調(diào)節(jié)無功補償裝置?？砂慈鐖D1所示流程修正節(jié)點導納矩陣。

圖1 CPF流程圖Fig.1 Flowchart of CPF

4 SAPSO算法

對于PSO的每個粒子，被優(yōu)化函數(shù)式（8）所決定的最小負荷裕度被稱為粒子的適應值，如式（20）所示。

粒子l在m維空間的位置及其飛行速度可表示為式（21）與式（22）。

搜索過程中，粒子l所經(jīng)歷的最好的位置用式（23）表示。在總數(shù)為q的群體到目前為止發(fā)現(xiàn)的全局最優(yōu)位置，用式（24）表示。

PSO算法按式（25）生成粒子d+1次迭代過程的新位置和速度。

其中，w為權重系數(shù)，c1和c2為學習因子，r1和r2為服從［0，1］上均勻分布的隨機數(shù)。

4.1 模擬退火操作

按式（26）定義適配值向量。

其中，T為按式（27）計算的溫度系數(shù)。

其中，β為退火常數(shù)。

根據(jù)式（28），選擇粒子l的當前位置Xl替換式（25）中的Pg，計算粒子新的位置和速度，其中r是服從［0，1］上均勻分布的隨機數(shù)。

在計算初始階段，模擬退火具有概率突跳的能力，有效避免陷入局部最優(yōu)；在計算后期隨著溫度的下降，主要圍繞在全局最優(yōu)粒子附近進行計算。

4.2 變權重系數(shù)與變學習因子

為提高算法的全局尋優(yōu)能力，本文采用了式（29）所示的線性遞減權重方法以及式（30）所示的變學習因子算法。

其中，wmax和wmin分別為權重系數(shù)的上、下限值，cmax和cmin分別為學習因子的上、下限值，dmax為粒子群最大迭代次數(shù)。

4.3 約束條件的處理

如果粒子l位置超越限值，則保留Pl，按照式（31）所示，將越限分量設為上限（或下限）值，同時將對應的粒子飛行速度分量設定為0。

其中，xjmax和 xjmin對應式（3）中的 φ′Limax與 φ′Limin。

4.4 對于早熟的處理

通過式（32），可以計算出與向量X相對應的向量 Y，如式（33）所示：

當式（34）所示指標ρ大于限值ρmax時，則認為出現(xiàn)早熟。式（34）中，Yl和 Yg分別對應 Xl和 Pg。

若出現(xiàn)早熟，則對各個粒子生成服從［0，1］均勻分布的隨機數(shù)rl，若rl滿足式（35）則保留該粒子的個體最優(yōu)解，重新隨機生成粒子l的位置和速度。

4.5 并行計算的處理

在PSO算法每次迭代過程中，都需要對各粒子進行適應值計算，如圖2計算流程所示。常規(guī)方法是順序循環(huán)執(zhí)行粒子的計算任務，而本文在程序設計時利用了各粒子的計算任務相對獨立的特點，為各粒子的計算分別建立線程，由操作系統(tǒng)選擇空閑CPU并發(fā)線程計算，各線程以共享內(nèi)存的形式分享粒子的個體經(jīng)驗和群體經(jīng)驗，可以有效提高計算資源的占用，節(jié)省計算時間。

圖2 SAPSO流程圖Fig.2 Flowchart of SAPSO

5 算例分析

5.1 環(huán)境參數(shù)

程序的編寫、調(diào)試與運行的軟、硬件環(huán)境如表1所示。

表1 算例的軟、硬件環(huán)境Tab.1 Software and hardware environment of case study

5.2 算例1

圖3為IEEE5節(jié)點測試系統(tǒng)，圖中所有數(shù)據(jù)均為標幺值（系統(tǒng)基準功率100 MW）。

圖3 IEEE 5節(jié)點測試系統(tǒng)接線圖Fig.3 Connection diagram of IEEE 5-bus test system

節(jié)點 5是平衡節(jié)點；PV節(jié)點4的有功功率保持恒定，無功功率上限1.8 p.u.；并聯(lián)電容器 C1，容抗絕對值0.018p.u.，初始狀態(tài)為切除。功率因數(shù)角約束如式（36）所示，其余計算參數(shù)如表2所示。

表2 計算參數(shù)Tab.2 Calculation parameters

應用本文混合算法，反復計算5次的平均耗時為4.6 s，算例表現(xiàn)出較好的收斂性，目標值隨迭代次數(shù)的增加不斷逼近最優(yōu)值，如圖4所示，圖中最小負荷裕度為標幺值。

最小負荷裕度及其對應的負荷節(jié)點功率增量如表3所示，表中數(shù)據(jù)均為標幺值。

表3 負荷節(jié)點有功和無功增量Tab.3 Active and reactive power increments of load buses

比較并行計算方法和常規(guī)計算方法的運算速度及其對多核CPU的平均占用率，如圖5所示。

由于采用并行策略，充分利用冗余的計算資源，運算速度獲得了明顯的提升。

5.3 算例2

圖6所示系統(tǒng)，PV節(jié)點有功都恒等于初始值，負荷有功增量僅由平衡節(jié)點承擔，利用本文方法進行最小負荷裕度分析。

圖5 CPU平均占用率Fig.5 Average rate of CPU occupancy

圖6 IEEE 30節(jié)點測試系統(tǒng)接線圖Fig.6 Connection diagram of IEEE 30-bus test system

計算時間 8分 17秒，PV 節(jié)點 2、5、8、11和 13由PV節(jié)點轉(zhuǎn)換為PQ節(jié)點，采用本文方法對其進行識別，均未見LIB。最終計算得到最小負荷裕度為0.5932 p.u.（臨界點類型為 SNB）。

由于篇幅限制，表4中僅列出負荷變化較多的部分節(jié)點的計算結果，表中數(shù)據(jù)均為標幺值。可見，以節(jié)點29與節(jié)點30為首的負荷增長模式，是計及靜態(tài)電壓穩(wěn)定的最“危險”增長模式。

表4 最小負荷裕度對應的負荷變化Tab.4 Load variation along with minimum load margin

6 結論

SAPSO算法是一種實用性較強的隨機搜索進化算法，能有效地避免搜索過程陷入局部極值，具有較好的全局尋優(yōu)能力；CPF算法模擬電力系統(tǒng)負荷增長的過程，可以有效識別各種分岔類型以及計及無功設備的動作。本文有機結合2種算法的優(yōu)勢，混合算法表現(xiàn)出良好的收斂性，并行計算充分利用計算資源，最大限度提升算法的應用性能，算例驗證了本文算法的有效性。