汪輝平，曹文貴，王江營，張 超

（湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長沙 410082）

巖石應(yīng)變軟化變形全過程模擬方法研究長期以來都是巖土工程領(lǐng)域中的一個重要課題，近年來，隨著統(tǒng)計損傷理論［1～4］的成功引入，其相關(guān)研究隨之取得了較大的進(jìn)展，Kraicniovic 等［1］、唐春安等［3］、曹文貴等［5～6］、陳忠輝等［7］基于 Lemaitre 應(yīng)變等價理論［8］，引入巖石微元強度的概念，并利用其服從隨機分布的特性，建立了可反映巖石應(yīng)變軟化的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，這些模型能較好地反映巖石應(yīng)變軟化的特性，但是，基于Lemaitre應(yīng)變等價理論的損傷模型認(rèn)為巖石損傷的根本原因是巖石內(nèi)部不斷有新的空洞形成，而這些空洞不具備任何承載力，由此可知，巖石在完全損傷后就不再具備任何承載能力，這顯然與實際情況是不相符合的。為此，沈珠江等［9］和曹文貴等［10～11］認(rèn)為巖土材料受載損傷后，損傷部分并不會立即喪失所有的承載能力，由此建立的損傷模型能夠反映巖石完全損傷后仍具有一定承載能力的特性，但其承載力會隨著變形的發(fā)展而逐漸消失，那么當(dāng)巖石的變形很大時，巖石最終會失去所有的承載能力，而實際情況是巖土材料完全損傷后，其承載能力通常會維持在一定大小，不再隨著變形的發(fā)展而產(chǎn)生明顯變化。此外，上述巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，雖然在一定程度上可以模擬應(yīng)變軟化巖石變形過程中的某些特性，但是沒有考慮巖石變形過程中的體積變化，不能反映巖石的初期壓縮特性及初始孔隙率對變形的影響，將其用于模擬巖石變形全過程顯然仍存在不足。

為此，本文在前人研究成果的基礎(chǔ)之上，首先從巖石變形全過程特點及變形力學(xué)機理研究入手，針對現(xiàn)有巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的局限性與不足，通過考慮巖石變形過程中空隙或體積變化的影響，進(jìn)一步對巖石損傷模型展開深入的研究，進(jìn)而建立能夠充分反映巖石殘余強度特性和體積變化的新型巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，以期完善巖石變形全過程模擬的研究方法與理論。

1 巖石應(yīng)變軟化變形破壞全過程特征

目前，國內(nèi)外已有許多學(xué)者采用剛性三軸試驗機對巖石變形破壞全過程進(jìn)行了大量的試驗研究［12，13］，普遍認(rèn)為巖石應(yīng)變軟化變形全過程可分為如圖1所示的5 個階段［13］:

(1)第一階段為空隙壓密階段(OA)，隨著應(yīng)力增加，巖石內(nèi)部空隙被逐漸壓密，其變形模量也隨之有所增加。

(2)第二階段為線彈性階段(AB)，巖石應(yīng)力應(yīng)變呈線彈性關(guān)系，彈性模量E不發(fā)生變化。在此階段巖石內(nèi)部不會產(chǎn)生新的裂隙或空洞，即尚未產(chǎn)生損傷。

(3)第三階段為應(yīng)變硬化階段(BC)，當(dāng)應(yīng)力超過了巖石屈服極限強度(即B點)以后，其內(nèi)部便逐漸開始產(chǎn)生損傷，同時巖石的變形模量也會隨之不斷降低，直至為零。

(4)第四階段為應(yīng)變軟化階段(CD)，當(dāng)應(yīng)力超過了巖石極限強度(即C點)以后，隨著變形的繼續(xù)增加巖石強度逐漸喪失，直至達(dá)到殘余強度。

(5)第五階段為完全破壞階段(D點以后)，隨著變形的繼續(xù)發(fā)展，巖石內(nèi)部形成了貫穿的宏觀斷裂，斷裂面之間基本上不再具有粘聚力，巖石依靠破裂面之間的摩擦力來承擔(dān)外部荷載，其大小一般會維持在一個穩(wěn)定值(即殘余強度)，而不會隨變形的增加而變化。

圖1 巖石變形破壞全過程Fig.1 Full deformation process of rocks

上述5個階段即為理論上比較典型的巖石變形破壞全過程。為了建立可以模擬巖石應(yīng)變軟化變形全過程的本構(gòu)模型，必須能夠正確反映上述各個階段的變形特征，為此，下面將根據(jù)其變形階段特征來探討如何建立可反映巖石應(yīng)變軟化變形全過程的本構(gòu)模型。

2 考慮體積變化及殘余強度的新型巖石損傷模型

為建立更合理的巖石損傷模型，本文首先作出如下假設(shè):

(1)巖石內(nèi)部存在大量隨機分布的孔隙、裂隙等空隙，其力學(xué)性質(zhì)在宏觀上表現(xiàn)為各向同性。

(2)在荷載作用下的巖石可以抽象為如圖2所示的空隙、未損傷與損傷材料三部分所構(gòu)成，微元截面積為A，空隙部分面積為A0，未損傷和損傷部分的截面積分別為A1和A2，其中，巖石的空隙部分不具有任何承載能力。

(3)巖石損傷即意味著破壞，所受應(yīng)力迅速達(dá)到殘余強度，也就是說損傷部分材料所受應(yīng)力為殘余應(yīng)力。

圖2 巖石微觀應(yīng)力分析Fig.2 Analysis of microcosmic stress for rocks

(4)巖石內(nèi)部產(chǎn)生損傷的部位是完全隨機的，因此，當(dāng)巖石開始產(chǎn)生損傷后，損傷與未損傷部分會充分混雜在一起，根據(jù)材料的變形協(xié)調(diào)關(guān)系可知，無論在何種狀態(tài)下巖石的表觀應(yīng)變εi、未損傷部分的應(yīng)變ε'i以及損傷部分的應(yīng)變均滿足下式:

基于上述幾點假定，即可建立出新型的巖石損傷模型為:

n——巖石空隙率(包括已有初始空隙和由于損傷而新形成的空隙)。

如果定義巖石的損傷變量D=A2/(A1+A2)，則根據(jù)式(2)～(4)可得:

式(5)便是本文建立的新型巖石損傷模型，其中n可以反映巖石在變形過程中空隙率的變化，而巖石顆粒不可壓縮，因此，空隙率的變化即是體積變化的一種具體體現(xiàn)。分析可知，一方面，當(dāng)巖石完全損傷即D=1時，σi=(1－n)，因為巖石在變形過程中孔隙率n的變化極微，而為巖石殘余強度，一般為常數(shù)，因此，巖石完全損傷后的巖石強度σi幾乎不隨變形增加而變化。另一方面，由于巖石的體積變化實際上是巖石內(nèi)部孔隙率的變化，因此，本文建立的損傷模型既能夠反映巖石變形過程中體積的變化，同時還可以反映巖石殘余強度變形階段的變形過程特征，與同類型損傷模型相比更加符合工程實際。

為了利用式(5)建立既能反映巖石變形過程中體積的變化，又能反映巖石殘余強度變形階段特征的巖石應(yīng)變軟化變形全過程本構(gòu)模型，接下來還需要建立空隙率n、殘余強度以及損傷變量D的確定方法。

3 巖石統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型的建立

由圖1可知，巖石在尚未發(fā)生損傷的時候其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從廣義胡克定律，因而對于未損傷部分巖石有:

式中:σ'i(i，j，k=1，2，3)——未損傷部分巖石所承擔(dān)的有效應(yīng)力；

E'，μ'——巖石中未損傷部分(不含空隙)的彈性模量與泊松比。

利用文獻(xiàn)［14］的研究成果，可建立巖石微觀與宏觀彈性模量和泊松比之間的關(guān)系:

式中:E、μ——巖石宏觀或名義彈性模量與泊松比。

由文獻(xiàn)［15］的研究成果有:

式中:n0——巖石初始空隙率。

利用式(1)可將式(6)變?yōu)?

本文所建立的模型是基于常規(guī)三軸試驗巖石應(yīng)變軟化變形破壞全過程，因此，可以認(rèn)為σ2=σ3、σ'2=σ'3及 ε2=ε3，則(16)式可寫為:

利用文獻(xiàn)［14］、［15］，可得到巖石受載后體積變化εv、空隙率n變化的關(guān)系式為:

利用 ε2= ε3，由式(19)、(20)可得:

由(17)、(18)式可得:

式中:cr、φr——巖石完全損傷后的殘余粘聚力與殘余摩擦角。

再由式(5)可得:

將(23)式代入(28)式，將(28)式代入(27)，然后再將(27)和(22)式代入(5)式可得:

式(29)即為本文建立的可模擬巖石應(yīng)變軟化變形全過程的本構(gòu)模型，對于該模型還需要進(jìn)一步建立巖石損傷變量D的確定方法，即建立巖石的損傷演化模型。

若想采用統(tǒng)計損傷理論來建立巖石的損傷演化模型，其核心內(nèi)容在于如何正確度量巖石微元強度，為此，本文引進(jìn)文獻(xiàn)［16］的相關(guān)思路，可得到巖石微元強度F的度量方法為:

式中:α、k0——與巖石屈服時的粘聚力cy和內(nèi)摩擦角φy有關(guān)的常數(shù)。

將式(22)、(23)代入式(34)，則:

式(37)即為本文建立的可以考慮巖石體積變化的微元強度F度量方法。如果假定巖石微元強度F服從Weibull分布，同時考慮巖石只有在受力超過了損傷閾值時才會產(chǎn)生損傷［16］，便可得到本文的巖石統(tǒng)計損傷演化模型為:

式中:m、F0——Weibull分布參數(shù)。

于是，將式(38)代入式(29)即可得到完整的巖石應(yīng)變軟化變形全過程本構(gòu)模型。在確定模型參數(shù)m和F0時可以參照文獻(xiàn)［6］中的有關(guān)思想，從而建立其與圍壓σ3之間關(guān)系式:

擬合的相關(guān)系數(shù)分別為0.9869和0.9992，擬合效果良好。

4 實例分析與討論

為了驗證本文提出的巖石應(yīng)變軟化損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型及其參數(shù)確定方法的合理性，引用文獻(xiàn)［12］的資料，該巖石為砂巖，根據(jù)試驗曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)處理分析可得該巖石的常規(guī)力學(xué)參數(shù)為:E=27.5GPa，μ=0.25；屈服時的內(nèi)摩擦角φy=42.7°，粘聚力cy=17.12MPa；殘余內(nèi)摩擦角φr=51.2°，殘余粘聚力cr=0.42MPa。

(1)取n0=0.0，對比本文建立的模型及文獻(xiàn)［15］的模型，通過分析計算，并與試驗曲線進(jìn)行比較，其結(jié)果見圖3，由此可以看出，同文獻(xiàn)［15］模型理論曲線相比，本文模型能很好反映巖石應(yīng)變軟化特性和巖石破壞后殘余強度特征，與實測曲線吻合良好。

圖3 試驗與理論曲線比較Fig.3 Comparison between test and theoretical curves

(2)本文針對文獻(xiàn)［12］圍壓為σ3=8.0MPa的情況下，假定初始空隙率不為0時，利用本文模型分析了巖石應(yīng)力應(yīng)變曲線的變化規(guī)律，分析結(jié)果如圖4所示，由此可以看出:①本文模型能體現(xiàn)巖體壓縮的過程，即空隙壓密階段，體現(xiàn)在σ1～ε1曲線在承載初期向下凹的趨勢，這是因為巖體在承擔(dān)荷載作用時，內(nèi)部空隙被壓縮而導(dǎo)致變形模量增大(即剛度增加)，與實際情況一致；②隨著空隙率的增加，σ1～ε1曲線在加載初期向下凹的趨勢越明顯，巖體破壞后的殘余強度越小，說明巖體初始空隙率越大，變形初期越容易壓密，巖體完全損傷后的殘余強度越小，這同樣與實際是相吻合的。

圖4 不同初始空隙率下的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.4 Stress-strain curves with different initial ratio of voids

5 結(jié)論

(1)針對現(xiàn)有巖石統(tǒng)計損傷模型的不足，建立了可以反映巖石變形過程中的體積變化及破壞后仍具有殘余強度特征的新型巖石損傷模型，該模型較現(xiàn)有同類模型更能合理地揭示巖石變形與損傷的力學(xué)機理與特征。

(2)建立了既可以反映體積或空隙變化影響、又能夠反映破壞后仍具有殘余強度的模擬巖石應(yīng)變軟變形全過程的損傷統(tǒng)計本構(gòu)模型及其參數(shù)確定方法，該模型不僅參數(shù)少，而且，物理意義明確，與同類型模型相比更加合理且便于工程應(yīng)用。

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