吳 蓉，李成柱

（1.河海大學(xué)文天學(xué)院，安徽 馬鞍山 243031；2.西安地質(zhì)調(diào)查中心，陜西 西安 710054）

地面沉降是大多數(shù)平原城市已經(jīng)面臨或具有潛在隱患威脅的一種城市地質(zhì)災(zāi)害。其發(fā)生的原因在于隨著城市的發(fā)展需要開采大量的地下水，直接導(dǎo)致地層的承載力下降而引起的。且地面沉降的發(fā)生直接造成了城市的地質(zhì)環(huán)境質(zhì)量降低，給城市建設(shè)和發(fā)展帶來了危害。地面沉降是一種緩變型的城市地質(zhì)災(zāi)害，具有累進(jìn)性特點(diǎn)。為了防治城市地面沉降問題，以抽水引發(fā)的地面沉降的模擬和預(yù)測一直是國內(nèi)外相關(guān)專家研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。目前，抽水引起的地面沉降預(yù)測模型主要以滲流場和應(yīng)力場的部分耦合或完全耦合模型為主，但是滲流場和應(yīng)力場完全耦合的地面沉降模型，需要的參數(shù)多且不易確定，導(dǎo)致模型應(yīng)用難度較大。因此，不需要研究地面沉降機(jī)理，只需要知道沉降與時(shí)間關(guān)系的生物預(yù)測模型得到了研究者的關(guān)注。抽水引起的地面沉降明顯存在滯后效應(yīng)，且其含水層水位變化與地層變形之間是一種非線性關(guān)系。1935年，F(xiàn)erenc Preisach提出Preisach模型，來描述鐵磁材料中的遲滯數(shù)學(xué)模型。目前，Preisach模型是電磁學(xué)、控制應(yīng)用理論中應(yīng)用最為廣泛的一種遲滯非線性模型，還沒有發(fā)現(xiàn)Preisach模型在地面沉降方面的應(yīng)用。本文正是借助于Preisach模型的滯后非線性特點(diǎn)對抽水引起的地面滯后性沉降進(jìn)行模擬和預(yù)測。

1 Preisach模型

Preisach模型可以看作是一系列帶有權(quán)重的遲滯單元疊加的結(jié)果［1］，即

式中:μ(i，j)——權(quán)重函數(shù)；

γi，j(v(t))——Preisach 模型的遲滯單元；

i——表示遲滯單元的上切換值；

j——表示遲滯單元的下切換值。

為了減少模型誤差，G.Webb對 Krasnosel's和Pokrovskii提出了KP遲滯模型。為了得到參數(shù)化遲滯模型，G.Webb對連續(xù)KP模型的積分區(qū)域S進(jìn)行均勻離散化，得到離散化的KP模型［2］為:

式中:n——積分區(qū)間 [ vmin，vmax]的離散化點(diǎn)數(shù)；

ξs——記憶單元，它隨著 v( t)的符號進(jìn)行變化。

式(3)～(5)即為參數(shù)離散化Preisach滯后模型，運(yùn)用在地面沉降預(yù)測時(shí)，根據(jù)歷史水位、沉降量和當(dāng)前的水位確定當(dāng)前的沉降量。Preisach模型的權(quán)重函數(shù)μi，j可以用分布函數(shù)代替［3］，如高斯函數(shù)等。高斯密度函數(shù)的表達(dá)式為:

式中:H0——平均臨界值；

σ——標(biāo)準(zhǔn)偏差；

H0、σ——待識別參數(shù)。

2 實(shí)例計(jì)算

利用上述模型對地面沉降進(jìn)行預(yù)測，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自某地10年間75個(gè)時(shí)間點(diǎn)的地面沉降量與水位觀測數(shù)據(jù)，如圖1所示。為了滿足模型的要求，對前7年共計(jì)53個(gè)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，首先將沉降量和水位通過插值方法得到等時(shí)間間隔的64個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，再將累計(jì)沉降量轉(zhuǎn)換成一次觀測的沉降量并與水位數(shù)據(jù)規(guī)范到［－1，1］區(qū)間，處理結(jié)果見圖2所示。

圖1 原始累計(jì)沉降量及水位變化圖Fig.1 Change in land subsidence and groundwater levels

圖2 規(guī)范后沉降量及水位變化圖Fig.2 Chang in standard land subsidence and groundwater levels

為了檢測模型的效率及準(zhǔn)確性，采用6組不同數(shù)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行沉降量預(yù)測值的校驗(yàn)。6組不同數(shù)量的數(shù)據(jù)樣本分別是前7年時(shí)間段內(nèi)15個(gè)、30個(gè)、50個(gè)數(shù)據(jù)，前兩個(gè)數(shù)據(jù)2個(gè)樣本空間，共計(jì)5組數(shù)據(jù)。當(dāng)沉降量和水位時(shí)間間隔不等時(shí)，可通過插值方法得到等時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)，為了便于比較，5組數(shù)據(jù)統(tǒng)一預(yù)測的時(shí)間段為最后3年，以最后22個(gè)數(shù)據(jù)為測試依據(jù)。將5組數(shù)據(jù)代入到公式(3)～(6)中，采用模擬退火算法得到5組H0、σ值，結(jié)果見表1。并將得到的擬合結(jié)果和預(yù)測結(jié)果與實(shí)測值進(jìn)行對比，結(jié)果見表1和圖3～4。

表1 Preisach模型參數(shù)值Table 1 Parameters of Preisach model

圖3 擬合數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)比較圖Fig.3 Comparison curve of modeling data and real data

圖4 預(yù)測數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)比較圖Fig.4 Comparison of prediction data and real data

從表1和圖3～4可以看出數(shù)據(jù)樣本越多，平均相對誤差有越小的趨勢；同時(shí)表1中d組、e組的相對誤差最小，表明不是樣本越多平均相對誤差越小。由圖4和表1可以看出預(yù)測值的精度與所選樣本空間相關(guān)，在前期擬合過程中樣本擬合精度越高，后期預(yù)測的精度越高。所以Preisach滯后模型在沉降量預(yù)測方面的精度不僅與樣本數(shù)量有關(guān)，同時(shí)與樣本的質(zhì)量有關(guān)。表1表明d組中Preisach滯后模型的模擬和預(yù)測曲線擬合十分理想。

為了說明Preisach滯后模型的可行性，針對此區(qū)域采用有限元方法模擬和預(yù)測了抽水引起的地面沉降。對比Preisach滯后模型和有限元方法得到的地面沉降的結(jié)果，由于此區(qū)域地層的物理力學(xué)性質(zhì)不確定，在有限元方法反演水文地質(zhì)參數(shù)和物理力學(xué)參數(shù)時(shí)，擬合的最小整體平均誤差為6.21%，最終得到的沉降量預(yù)測值的整體平均誤差為10.22%。從擬合和預(yù)測結(jié)果來看，Preisach滯后模型比有限元方法的誤差更小，更接近實(shí)測值。

3 結(jié)論

抽水引起的地面沉降相對于抽水時(shí)間存在明顯的滯后，并且這種滯后現(xiàn)象可以完全符合Preisach模型描述的滯后規(guī)律。研究表明，將不需要研究地面沉降機(jī)理的預(yù)測模型Preisach滯后模型應(yīng)用到抽水引起地面沉降的模擬和預(yù)測方面是可行的。同時(shí)，Preisach滯后模型在沉降量預(yù)測方面的精度不僅與樣本數(shù)量有關(guān)，同時(shí)與樣本的質(zhì)量有關(guān)。并不是樣本的數(shù)量越多，預(yù)測模型的精度越高，而樣本在時(shí)間上越?jīng)]有規(guī)律，計(jì)算也越復(fù)雜。本文提到的Preisach滯后模型預(yù)測的地面沉降，當(dāng)原始數(shù)據(jù)選擇符合規(guī)律，模型具有預(yù)測精度高、所需參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，能很好地反映研究區(qū)域的地面沉降的變形趨勢。

［1］Gorbet R B.Control of hysteretic systemswith Preisach representations［M］.Canada:Publishing House of University of Waterloo，1997.

［2］GE P，Jouaneh M.Generalized Preisach model for hysteresis nonlinearity of piezoceramic actuators［J］.Precision Engineering，1997，20(2):99 －111.

［3］Henze O，Rucker W M.Identification procedures of Preisach model［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2002，38(2):833 －836.