楊洪明 ,王 爽 ,2,易德鑫 ,易 俊 ,劉黨峰
(1.長沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院 智能電網(wǎng)運行與控制湖南省重點實驗室電力與交通安全監(jiān)控及節(jié)能技術(shù)教育部工程研究中心,湖南 長沙 410004;2.石獅市電力有限責(zé)任公司,福建 泉州 362700;3.中原油田供電管理處,河南 濮陽 457001)
為了解決能源緊缺和環(huán)境污染問題,風(fēng)力發(fā)電受到廣泛的關(guān)注。但風(fēng)速的間歇性和隨機性使得風(fēng)力發(fā)電具有不確定性的特征,這給大規(guī)模風(fēng)力發(fā)電并網(wǎng)后電力系統(tǒng)的安全經(jīng)濟運行帶來了巨大的挑戰(zhàn)。為此,在含多風(fēng)電場的電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度中,需對風(fēng)電場出力的不確定性進行概率分析,以實現(xiàn)風(fēng)力發(fā)電機組的經(jīng)濟、安全調(diào)度。
目前,風(fēng)電場出力的概率分析主要依據(jù)風(fēng)速的Weibull、Rayleigh概率分布,利用風(fēng)能轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的風(fēng)速-出力函數(shù)關(guān)系推算得[1]?,F(xiàn)有研究主要計算單個風(fēng)電場出力的概率分布,忽略了多風(fēng)電場出力之間的相互影響,從而降低了風(fēng)電場出力概率分析的準(zhǔn)確性[2]。在實際的電力系統(tǒng)運行中,往往存在多個風(fēng)電場,特別是隨著智能電網(wǎng)的建設(shè),眾多風(fēng)電場接入系統(tǒng)。它們的風(fēng)多來自同一風(fēng)源,多風(fēng)電場出力之間具有相關(guān)性。文獻[3]考慮機組強迫停機率、尾流效應(yīng)及氣溫等因素對風(fēng)電場出力的影響,在假定各風(fēng)電場出力相互獨立的條件下,研究多風(fēng)電場出力的聯(lián)合概率分布。文獻[4]基于Copula函數(shù)構(gòu)建了電力系統(tǒng)不確定因素之間的聯(lián)合概率計算方法,并采用Normal-Copula函數(shù)刻畫出離岸風(fēng)力發(fā)電和近岸風(fēng)力發(fā)電之間的線性相關(guān)性。但風(fēng)速的分布具有不對稱的厚尾特性[5],風(fēng)電場出力的概率分布呈現(xiàn)出相應(yīng)的不對稱和厚尾特性(見第1、2節(jié)的分析),現(xiàn)有方法忽略了多風(fēng)電場出力之間的這種尾部相關(guān)性。
隨著風(fēng)力發(fā)電的并網(wǎng)運行,在安排常規(guī)發(fā)電機組出力的同時,必須考慮風(fēng)電場的發(fā)電能力。文獻[6]在優(yōu)化調(diào)度模型中,考慮了風(fēng)力發(fā)電機組的出力約束和所需的旋轉(zhuǎn)備用約束。但模型中風(fēng)力發(fā)電作為確定性決策變量,忽略了風(fēng)力發(fā)電的隨機特性。風(fēng)電場出力的不確定性會引起系統(tǒng)調(diào)度計劃的調(diào)整,使得系統(tǒng)發(fā)電成本發(fā)生變化。為更好地實現(xiàn)系統(tǒng)調(diào)度的經(jīng)濟性和安全性,文獻[7]考慮了風(fēng)電場出力的隨機特性,提出了基于最優(yōu)潮流的隨機優(yōu)化調(diào)度模型,在目標(biāo)函數(shù)中計及風(fēng)力發(fā)電沒有完全利用所帶來的收益損失以及風(fēng)力發(fā)電過分估計所造成的備用容量成本,并在約束中考慮了線路傳輸功率約束。文獻[8]以概率的形式描述了風(fēng)電場出力的隨機性,并計及電動汽車及風(fēng)電場出力的不確定性,構(gòu)建了以系統(tǒng)發(fā)電成本期望為目標(biāo)的優(yōu)化調(diào)度模型。文獻[9]以自回歸滑動平均模型預(yù)測時變的風(fēng)電出力,進而構(gòu)建了含多風(fēng)電場的電力系統(tǒng)經(jīng)濟調(diào)度模型。但上述優(yōu)化調(diào)度模型均忽略了多風(fēng)電場出力之間的相關(guān)性。為此,考慮多風(fēng)電場出力的隨機性和相關(guān)性,建立電力系統(tǒng)的隨機優(yōu)化調(diào)度模型有待進一步研究。
對隨機優(yōu)化調(diào)度模型的求解,文獻[7-8]通過積分風(fēng)電場出力概率密度函數(shù)來求取系統(tǒng)成本的數(shù)學(xué)期望,將隨機優(yōu)化調(diào)度模型轉(zhuǎn)換成確定性優(yōu)化問題。但隨著隨機變量數(shù)目的增多,多維積分的計算無法實現(xiàn)。通過蒙特卡羅抽樣可以近似求取含多隨機變量的系統(tǒng)成本期望,但未涉及機會約束的處理[9]。因此,有必要進一步研究隨機優(yōu)化調(diào)度模型的有效近似方法,將其轉(zhuǎn)換為可計算的確定性優(yōu)化問題進行求解。
針對現(xiàn)有研究的不足之處,本文利用Gumbel-Copula函數(shù)刻畫多風(fēng)電場出力的尾部相關(guān)性[10],并構(gòu)建其聯(lián)合概率分布。在此基礎(chǔ)上,提出了基于機會約束的電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度模型,采用抽樣平均近似SAA(Sample Average Approximation)法對機會約束進行處理[11],將隨機優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成可計算的確定性非線性規(guī)劃問題,并通過粒子群優(yōu)化PSO(Particle Swarm Optimization)算法進行求解[12]。
風(fēng)速的不確定性一般通過 Weibull、Rayleigh、Lognormal等概率分布來描述。其中,兩參數(shù)的Weibull分布被廣泛使用,其概率密度函數(shù)為[13]:
其中,vws,m為風(fēng)電場 m 的實際風(fēng)速;kws,m和 cws,m分別為Weibull分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù),可由風(fēng)速的樣本數(shù)據(jù)通過最大似然法估計。
假設(shè)同一風(fēng)電場內(nèi)所有風(fēng)力發(fā)電機組的風(fēng)速和風(fēng)向相同,用一臺等效風(fēng)力發(fā)電機組表示一個風(fēng)電場。于是,單風(fēng)電場的風(fēng)速-出力函數(shù)關(guān)系可表示如下[14]:
其中,pws,m(vws,m)為風(fēng)電場 m 的最大出力函數(shù);vins,m、vrates,m、vouts,m分別為風(fēng)機的切入風(fēng)速、額定風(fēng)速及切出風(fēng)速;prates,m為風(fēng)機額定功率;aws,m、bws,m為功率特性曲線參數(shù),且滿足式(3)。
基于式(1)和(2),風(fēng)電場 m 最大出力 pws,m的概率分布通過如下積分求得:
a.當(dāng) pws,m=0 時
b.當(dāng) 0<pws,m<prates,m時
c. 當(dāng) pws,m=prates,m時
基于風(fēng)電場出力概率分布式(4)—(6),圖1顯示出風(fēng)電場最大出力(標(biāo)幺值)的蒙特卡羅抽樣數(shù)據(jù)和概率統(tǒng)計的直方圖,其中風(fēng)速數(shù)據(jù)來自荷蘭De Bilt風(fēng)電場的實時記錄,詳細情況見http:∥www.knmi.nl/samenw/hydra;設(shè)定風(fēng)力發(fā)電機的切入風(fēng)速、額定風(fēng)速、切出風(fēng)速分別為 3 m/s、13 m/s、25 m/s,標(biāo)幺基準(zhǔn)值為風(fēng)電場出力的額定功率600 kW。由圖1可以看出,風(fēng)電場最大出力處于額定功率附近的概率最大,并且其概率值明顯比風(fēng)電場處于停機狀態(tài)的概率大,風(fēng)電場最大出力具有明顯的上厚尾特性。
圖1 風(fēng)電場最大出力及其概率分布Fig.1 Maximum power output of wind farm and its probability distribution
同一風(fēng)源下,受相同氣象條件的作用,多個風(fēng)電場的出力相互不獨立?;趩物L(fēng)電場最大出力概率分布的厚尾特征,多風(fēng)電場最大出力在額定功率附近同樣具有較大的概率,即具有明顯的非對稱上厚尾特性?;陲L(fēng)電場出力概率分布式(4)—(6),圖2進一步給出處于同一風(fēng)源的荷蘭De Bilt和Soesterberg兩風(fēng)電場最大出力概率分布的散點圖,圖中 Fws,Ⅰ、Fws,Ⅱ分別為風(fēng)電場De Bilt、Soesterberg的最大出力概率分布。從圖中可以看出,風(fēng)電場最大出力的概率分布在額定功率附近的散點頻數(shù)最大,上厚尾特征明顯。表1進一步給出了同一風(fēng)源下,多風(fēng)電場最大出力的尾部相關(guān)系數(shù)。從表1可以看出,兩風(fēng)電場至六風(fēng)電場的最大出力之間具有顯著的上尾部相關(guān)性,而下尾部相關(guān)性不明顯。其中ξU、ξL分別表示上尾部相關(guān)系數(shù)和下尾部相關(guān)系數(shù),其數(shù)學(xué)定義為:
圖2 兩風(fēng)電場最大出力的概率分布散點圖Fig.2 Scatter plot of probability distribution for maximum power outputs of two wind farms
其中,PC{·}表示條件概率;W 為風(fēng)電場數(shù)目;u∈[0,1];表示 Fws,m(·)的逆函數(shù)。
表1 多風(fēng)電場最大出力的尾部相關(guān)系數(shù)Tab.1 Tail-dependent correlation coefficients of maximum outputs of multiple wind farms
為準(zhǔn)確估算多風(fēng)電場出力的概率分布,下面借助Copula函數(shù)來實現(xiàn)多風(fēng)電場出力的相關(guān)性建模。
Sklar定理:如果H(·)是邊緣分布分別為 F1、F2、…、Fn的聯(lián)合分布函數(shù),則一定存在一個Copula函數(shù) C(·)滿足[10]:
其中,H(·)為隨機變量 x1、x2、…、xn的聯(lián)合概率分布;F1、F2、…、Fn分別為單變量 x1、x2、…、xn的概率分布,且若 F1、F2、…、Fn連續(xù),則 C(·)唯一確定。
由此可見,Copula函數(shù)本質(zhì)為邊緣分布到聯(lián)合分布的映射,Sklar定理確立了Copula函數(shù)的一般性和唯一性。常用Copula函數(shù)有兩大類:Ellipse-Copula族和Archimedean-Copula族。Ellipse-Copula族因密度等高線投影是橢圓而得名,主要包括Normal-Copula和 t-Copula;Gumbel-Copula、Clayton-Copula 和 Frank-Copula屬于Archimedean-Copula族。
圖3給出5種Copula函數(shù)的散點圖。t-Copula、Frank-Copula和Normal-Copula屬于對稱分布,其中Normal-Copula不具有厚尾特性,t-Copula呈現(xiàn)出一定的厚尾特性;Frank-Copula不論在中心還是上下尾部,分布都比較均勻。Clayton-Copula、Gumbel-Copula屬于非對稱分布,其中Gumbel-Copula在上尾部比較集中,Clayton-Copula在下尾部比較集中。為此,Gumbel-Copula函數(shù)最適合構(gòu)建具有非對稱、上厚尾相關(guān)性的多風(fēng)電場出力的聯(lián)合概率分布,即:
其中,C(·)為 Gumbel-Copula 函數(shù);pws,1、pws,2、…、pws,W分別為風(fēng)電場1、風(fēng)電場2、…、風(fēng)電場W的最大出力,對應(yīng)的概率分布函數(shù)分別為 Fws,1(pws,1)、Fws,2(pws,2)、…、Fws,W(pws,W);θ∈[1,+∞)為聯(lián)合分布的聯(lián)接參數(shù),通過最大似然法估計。
圖3 5種Copula函數(shù)的三維散點圖Fig.3 Three-dimensional scatter plots for five kinds of Copula functions
為驗證Gumbel-Copula準(zhǔn)確刻畫多風(fēng)電場出力聯(lián)合概率分布的有效性,進一步開展柯爾莫格洛夫擬合優(yōu)度 KS(Kolmogorov Smirnov)檢驗[15]。 多風(fēng)電場出力實際樣本數(shù)據(jù)的聯(lián)合經(jīng)驗分布與Gumbel-Copula聯(lián)合概率分布理論值的最大偏差為:
因此,1-R(λ)表示在臨界點接受假設(shè)CH0的置信水平,通過1-R(λ)的大小可判斷聯(lián)合概率分布的擬合程度,1-R(λ)值越大說明擬合效果越好。
由于風(fēng)電場出力具有隨機性和不確定性,在制定系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度方案時,無法獲得風(fēng)電場出力的準(zhǔn)確信息,從而使系統(tǒng)發(fā)電成本增加。為此,采用概率形式的機會約束反映風(fēng)電場出力的不確定性,即在某一置信水平下滿足風(fēng)電場出力的相關(guān)約束[17]?;诖?,含多風(fēng)電場的電力系統(tǒng)隨機優(yōu)化調(diào)度模型為:
其中,Pgi為節(jié)點 i的常規(guī)發(fā)電機組發(fā)電功率,ai、bi、ci為發(fā)電成本系數(shù),G為所有節(jié)點構(gòu)成的集合。約束條件包括功率平衡約束、運行約束、線路傳輸約束,具體表示如下。
a.功率平衡約束:
其中,N為輸電網(wǎng)的總節(jié)點數(shù);Pwi為節(jié)點i的風(fēng)電場輸出功率;PLi為節(jié)點i的負荷功率。
b.運行約束:
c.線路傳輸約束:
其中,hli為節(jié)點i的注入功率對線路l傳輸功率的靈敏度系數(shù);為線路l的傳輸功率限值;線路l取1、2、…、L,L 為輸電線路總數(shù)。
機會約束的概率計算數(shù)學(xué)上需多維積分。隨著風(fēng)電場數(shù)目的增多,多維積分計算難以實現(xiàn)。為此,本文采用SAA法處理機會約束,將隨機優(yōu)化調(diào)度模型轉(zhuǎn)化成可計算的確定性非線性規(guī)劃問題[11]。該方法利用蒙特卡羅抽樣抽取隨機變量的樣本數(shù)據(jù),根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算機會約束的概率,從而將機會約束轉(zhuǎn)化成確定性約束條件。
采用最大函數(shù),將一組約束等價成一個約束條件,即:
從Gumbel-Copula聯(lián)合概率分布式(10)中,抽取 Q 組 W 個風(fēng)電場出力的樣本數(shù)據(jù)(j=1,…,Q),機會約束函數(shù)的概率期望值為:
利用(強)大數(shù)定律,Pagnoncelli等證明了當(dāng)Q的取值足夠大時,期望值式(20)以概率 w.p.(with probability)為 1 收斂于機會約束函數(shù)[11],即:
在實際計算中,根據(jù)抽樣次數(shù)與優(yōu)化結(jié)果之間的關(guān)系、計算系統(tǒng)的性能和計算精度要求,確定合理的蒙特卡羅抽樣次數(shù)。
于是,機會約束條件式(17)轉(zhuǎn)化為確定性約束條件,即:
用式(22)代替式(17),電力系統(tǒng)隨機優(yōu)化調(diào)度模型式(14)—(18)轉(zhuǎn)換成確定性優(yōu)化問題,并采用PSO 算法進行求解[11]。
根據(jù)荷蘭De Bilt、Soesterberg、Leeuwarden 和Eelde風(fēng)電場(分別設(shè)為風(fēng)電場Ⅰ、風(fēng)電場Ⅱ、風(fēng)電場Ⅲ和風(fēng)電場Ⅳ)的風(fēng)速數(shù)據(jù),利用最大似然法估計出各個風(fēng)電場的Weibull分布參數(shù),風(fēng)速概率分布與實際樣本的經(jīng)驗直方圖比較,其擬合效果如圖4所示。由圖4可以看出,Weibull能較好地刻畫風(fēng)電場風(fēng)速的概率特性。
圖4 風(fēng)速概率密度擬合曲線Fig.4 Fitting curves of probability density for wind speed
基于風(fēng)電場風(fēng)速的Weibull分布,計算4座風(fēng)電場最大出力及其概率分布,其中每個風(fēng)電場均有40臺相同的風(fēng)電機組,每臺風(fēng)機的切入風(fēng)速、額定風(fēng)速、切出風(fēng)速、額定功率均相同,分別為4 m/s、15 m/s、25 m/s、1.5 MW。利用5種Copula函數(shù),構(gòu)建兩風(fēng)電場(風(fēng)電場Ⅰ和Ⅱ)、三風(fēng)電場(風(fēng)電場Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ)、四風(fēng)電場(風(fēng)電場Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ)最大出力的聯(lián)合概率分布,通過最大似然法估計聯(lián)接參數(shù)。表2—4分別給出了聯(lián)合概率分布的聯(lián)接參數(shù)、尾部相關(guān)系數(shù)以及KS擬合優(yōu)度。從中可以看出,與其他4種Copula函數(shù)相比,具有不對稱上尾部相關(guān)特性的Gumbel-Copula能更好地構(gòu)建多個風(fēng)電場最大出力的聯(lián)合概率分布,具有最小的擬合優(yōu)度檢驗值。
表2 兩風(fēng)電場Copula函數(shù)參數(shù)估計及優(yōu)度檢驗Tab.2 Parameter estimation of Copula function and goodness test for two wind farms
表3 三風(fēng)電場Copula函數(shù)參數(shù)估計及優(yōu)度檢驗Tab.3 Parameter estimation of Copula function and goodness test for three wind farms
表4 四風(fēng)電場Copula函數(shù)參數(shù)估計及優(yōu)度檢驗Tab.4 Parameter estimation of Copula function and goodness test for four wind farms
利用Quantile-Quantile(QQ)圖進行擬合檢驗,圖5給出了兩風(fēng)電場最大出力的5種Copula函數(shù)的擬合效果(三風(fēng)電場和四風(fēng)電場最大出力的QQ圖擬合具有相似的特點,限于篇幅,本文不再給出圖形)。由圖5可見,Gumbel-Copula較好地擬合了多風(fēng)電場最大出力之間的尾部相關(guān)性(如表1和圖2所示)。
圖5 5種Copula函數(shù)的QQ擬合圖Fig.5 QQ fitting plots for five kinds of Copula functions
本文采用IEEE 9節(jié)點系統(tǒng)驗證所建優(yōu)化調(diào)度模型及其算法的有效性。系統(tǒng)包括3個發(fā)電節(jié)點,其中節(jié)點2和3為風(fēng)電場Ⅰ和Ⅱ的并網(wǎng)節(jié)點,系統(tǒng)基準(zhǔn)容量為100 MV·A;節(jié)點1為常規(guī)發(fā)電機組的并網(wǎng)節(jié)點,其有功出力上、下限為 3 p.u.、0.1 p.u.;發(fā)電成本系數(shù)為 a1=0.085$/[(MW)2·h],b1=1.2$/(MW·h),c1=600$/h。
PSO算法種群規(guī)模S=10,最大迭代次數(shù)dmax=100,學(xué)習(xí)因子設(shè)為2。當(dāng)?shù)螖?shù)為d時,慣性因子設(shè)為 ω=ωmax-(ωmax-ωmin)d/dmax,其中 ωmax=0.9,ωmin=0.4。
下面設(shè)計2種試驗方案來驗證本文所構(gòu)建的隨機優(yōu)化調(diào)度模型的有效性。
a.情況1:聯(lián)合概率分布對優(yōu)化調(diào)度的影響。
根據(jù)風(fēng)電場Ⅰ和Ⅱ最大出力的Gumbel-Copula聯(lián)合概率分布求得2個風(fēng)電場最大出力的期望值分別為0.246 p.u.、0.178 p.u.,并通過優(yōu)化求解本文所構(gòu)建的隨機優(yōu)化調(diào)度模型(機會約束的置信水平為0.98,在SAA法中蒙特卡羅抽樣次數(shù)為1000),得到系統(tǒng)的最小發(fā)電成本為$7207.4。同時,若假設(shè)2個風(fēng)電場最大出力的概率分布相互獨立,即不考慮相關(guān)性時,2個風(fēng)電場最大出力的期望值分別為0.237 p.u.、0.168 p.u.,得到系統(tǒng)的最小發(fā)電成本為$7398.6,如表5所示,表中出力均為標(biāo)幺值。通過對比可以看出,根據(jù)Gumbel-Copula聯(lián)合概率分布,考慮風(fēng)電場最大出力的相關(guān)性,所得到的系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度成本減少$191.2,即下降2.65%。
表5 不同聯(lián)合概率分布下的優(yōu)化調(diào)度結(jié)果Tab.5 Results of optimal dispatch for different joint probability distributions
b.情況2:置信水平和抽樣次數(shù)對優(yōu)化調(diào)度的影響。
針對本文所提出的隨機優(yōu)化調(diào)度模型,設(shè)置不同機會約束的置信水平,并在SAA法中采用不同的蒙特卡羅抽樣次數(shù),對應(yīng)的優(yōu)化調(diào)度方案及系統(tǒng)發(fā)電成本優(yōu)化結(jié)果如表6所示。
表6 不同置信水平和抽樣次數(shù)下的優(yōu)化調(diào)度結(jié)果Tab.6 Results of optimal dispatch for different credit levels and sample times
從表6中可以看出,隨著置信水平α的適當(dāng)降低,節(jié)點2和節(jié)點3的風(fēng)電機組出力增加,系統(tǒng)的發(fā)電成本降低,從而顯示采用機會約束的合理性。同時,隨著蒙特卡羅抽樣次數(shù)Q的不斷增多,SAA法近似誤差減少,從而風(fēng)電機組出力略有增加,系統(tǒng)發(fā)電成本降低。當(dāng)抽樣次數(shù)超過1000,優(yōu)化計算出的發(fā)電成本值基本趨于穩(wěn)定。因此,在計算中取Q=1000為合理的抽樣次數(shù)。
本文考慮多風(fēng)電場出力的非對稱、上厚尾相關(guān)性,采用Gumbel-Copula函數(shù)構(gòu)建了多個風(fēng)電場出力的聯(lián)合概率分布,改進了多風(fēng)電場出力的概率性分析;基于機會約束規(guī)劃建立了含多風(fēng)電場的電力系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度模型,提高了優(yōu)化調(diào)度的靈活性和魯棒性;通過SAA法處理機會約束,將隨機優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定性問題,從而簡化模型的求解過程。最后,通過IEEE 9節(jié)點系統(tǒng)驗證了所提出模型及其算法的合理性和有效性。