王 訪，尚金成

（1.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙 410128；2.河南電網(wǎng)電力交易中心，河南 鄭州 450052）

0 引言

作為評(píng)估市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)效率的核心指標(biāo)，電價(jià)越來越成為電力市場(chǎng)中一個(gè)最重要的信號(hào)，它是一切市場(chǎng)決斷的基礎(chǔ)。因此，市場(chǎng)管理者和市場(chǎng)參與者越來越重視對(duì)電價(jià)分布及其自身規(guī)律的研究［1-8］。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者提出了很多電價(jià)分布的模型，如均值回復(fù)和動(dòng)態(tài)回歸模型［5］、仿射跳模型［6］以及基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電價(jià)模型［7］等。但是電價(jià)演變過程是一個(gè)十分復(fù)雜且非線性、非平穩(wěn)的過程，具有典型的動(dòng)力學(xué)特征［8］。因此有學(xué)者針對(duì)其這一特點(diǎn)運(yùn)用分形理論，定量分析了電價(jià)時(shí)間序列的變化特征［9-12］。隨著研究的深入，電價(jià)內(nèi)在分形特性被不斷挖掘，單一分形理論似乎無法解釋電價(jià)復(fù)雜的本質(zhì)。用于研究金融時(shí)間序列的多重分形方法［13］隨之產(chǎn)生，正如Mandelbrot認(rèn)為多重分形可以復(fù)現(xiàn)金融市場(chǎng)劇烈震蕩的金融交易，能提供金融資產(chǎn)價(jià)格在不同時(shí)間標(biāo)度上的不同波動(dòng)程度的詳細(xì)信息，提供關(guān)于市場(chǎng)動(dòng)向的概率估計(jì)值，從而為無法預(yù)測(cè)的金融市場(chǎng)注入某些有序性［14］。在此之后，多重分形理論被應(yīng)用于各個(gè)非線性的、復(fù)雜的領(lǐng)域并取得了很好的效果［15-19］。

雖然已有文獻(xiàn)實(shí)證了競(jìng)爭(zhēng)性電價(jià)符合多重分形特征，但對(duì)于不同電力市場(chǎng)分時(shí)段電價(jià)表現(xiàn)出來的分形特征差異性及其成因還沒有相關(guān)的研究。例如文獻(xiàn)［9］利用標(biāo)準(zhǔn)去趨勢(shì)波動(dòng)分析（DFA）方法分析了PJM市場(chǎng)的電價(jià)，驗(yàn)證了其具有長程相關(guān)性，但沒有分析不同時(shí)段的長程相關(guān)性差異，也沒有分析權(quán)重因子q對(duì)電價(jià)持久性的影響；文獻(xiàn)［10］利用多重極差分析（R/S Analysis）提取了加州電力市場(chǎng) Hurst指數(shù)，證實(shí)了其具有多重分形特征，但沒有得到分時(shí)段的Hurst指數(shù)并指出其存在差異，并且與文獻(xiàn)［9］一樣也只對(duì)一個(gè)市場(chǎng)的電價(jià)進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［17］利用單一的標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析（MFA）計(jì)算了加州電力市場(chǎng)8月和12月的Ho¨lder指數(shù)和多重分形譜，指出了它們之間存在差異，但沒有分析存在差異的原因，雖然對(duì)PJM市場(chǎng)也進(jìn)行了多重分形實(shí)證研究，但并未指出它與加州市場(chǎng)存在的差異。本文旨在揭示不同電力市場(chǎng)不同時(shí)段的電價(jià)分形特征的差異，并深入分析了造成這些差異的原因。除了標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析方法之外，本文首次在電力交易價(jià)格分析中，運(yùn)用了多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析方法（MF-DFA）［20］和仿多重分形分析方法（AMFA）［21］。多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析彌補(bǔ)了某些時(shí)段電價(jià)因非平穩(wěn)特征而應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)多重分形提取分形參數(shù)的不準(zhǔn)確性，仿多重分形分析彌補(bǔ)了應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)多重分形計(jì)算小樣本數(shù)據(jù)分形參數(shù)的誤差，因此這2種方法更能體現(xiàn)不同時(shí)段的多重分形特征及差異。選取美國PJM 2001年和加州2000年電力市場(chǎng)的峰谷各6個(gè)時(shí)段的實(shí)時(shí)電價(jià)作為研究對(duì)象，結(jié)果表明不同的電力市場(chǎng)分形特征表現(xiàn)各異，不同時(shí)段電價(jià)的分形參數(shù)也有所不同，與真實(shí)情況吻合。因此可以利用這些分形參數(shù)的差異來區(qū)分不同時(shí)段的電價(jià)，而且這些差異有助于以后準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)電價(jià)，為實(shí)現(xiàn)不同時(shí)段的決策提供了良好的理論基礎(chǔ)。

1 多重分形理論概述

多重分形是許多個(gè)單一分形在空間上的相互纏結(jié)（intertwined）、鑲嵌，是單一分形的推廣，單一分形可以看作是多重分形的一種特例。多重分形與單一分形一樣，也是自相似的，與尺度無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析通常描述的是定義在某一面積（二維）或體積（三維）中的一種度量。通過這種度量值或數(shù)值的奇異性可將所定義的區(qū)域分解成一系列空間上鑲嵌的子區(qū)域，每一個(gè)子區(qū)域均構(gòu)成單個(gè)分形。這樣形成的分形除具有分形維數(shù)外，還具有各自度量的奇異性。 常用 Lipschitz-H¨lder指數(shù) α（q）和奇異多重分形譜 f（α）［13］來描述對(duì)象的局部和全局奇異特性。

標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析常用計(jì)盒子數(shù)法［13］提取奇異指數(shù)，這種方法簡單直觀，程序運(yùn)行速度快，但由于需要將時(shí)間標(biāo)度劃分成互不重疊的區(qū)間，即盒子數(shù)與盒子中的數(shù)據(jù)量都為整數(shù)，這樣需要的數(shù)據(jù)量較大。而在多種場(chǎng)合下，有限樣本或小樣本數(shù)據(jù)的計(jì)盒子數(shù)法往往得到的是不夠準(zhǔn)確的指標(biāo)值。針對(duì)數(shù)據(jù)較少的情況，可以應(yīng)用一種類似于多重分形和多重仿射性（multi-affinity）［22］的分析方法：仿多重分形分析。 這種方法是考慮一個(gè)時(shí)間序列的累積離差在連續(xù)時(shí)間跨度上的平均波動(dòng)與時(shí)間跨度的冪律關(guān)系，于是它同樣也能反映一個(gè)時(shí)間序列局部和全局的奇異性，并且連續(xù)時(shí)間跨度，沒有漏掉序列中的任何數(shù)據(jù)，這樣所需的數(shù)據(jù)量較少，因此可以廣泛應(yīng)用于小樣本數(shù)據(jù)建模場(chǎng)合中。

雖然標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析和仿多重分形分析能夠刻畫正規(guī)、平穩(wěn)測(cè)度序列的分形性質(zhì)，但缺點(diǎn)是并不能準(zhǔn)確描述非平穩(wěn)時(shí)間序列。由于實(shí)際情況受復(fù)雜因素的影響以及各應(yīng)用領(lǐng)域自身的特點(diǎn)，對(duì)象序列的數(shù)據(jù)大多是非平穩(wěn)且很有限的，并經(jīng)常伴有很強(qiáng)的噪音。為此，一種根據(jù)DNA機(jī)理提出的去趨勢(shì)波動(dòng)分析［23］的分形方法——多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析應(yīng)運(yùn)而生。這種方法首先將序列中的某種趨勢(shì)（一般考慮用多項(xiàng)式擬合局部趨勢(shì)）去除后再建立與不同尺度的冪律關(guān)系。這種方法可以分析非平穩(wěn)時(shí)間序列的分形特征，可用于計(jì)算時(shí)間序列的標(biāo)度指數(shù)，目前它已被應(yīng)用于很多領(lǐng)域［20，24-25］。

2 電力交易價(jià)格分時(shí)段特征的多重分形分析

在競(jìng)爭(zhēng)性電力市場(chǎng)中，電力成為一種商品，其價(jià)格受地域、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)等諸多因素的影響，但這種商品與石油、天然氣等其他能源商品不同，受物理規(guī)律的約束，電力不能大規(guī)模儲(chǔ)存，供需必須實(shí)時(shí)平衡，同時(shí)電力市場(chǎng)在地理上是分割的，輸電受到線路容量的制約。電力交易價(jià)格表現(xiàn)出價(jià)格尖峰、價(jià)格跳躍、周期回復(fù)等特征，并且在不同時(shí)段、不同市場(chǎng)的電價(jià)表現(xiàn)出的特征是不同的。

本文利用第1節(jié)所述多重分形理論中的3種方法來刻畫不同時(shí)段不同市場(chǎng)的電價(jià)特征，并尋求造成這些特征差異的原因。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析

有很多方法用來估計(jì)分維值及其他分形參數(shù)，它們分別利用了分形的不同性質(zhì)［26］，常用的有計(jì)盒子數(shù)法（box-counting method）、基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)增量的均值法（average method based on increment of FBM）、功率譜法（power spectrum method）、質(zhì)量分布法（mass distribution method）、面積法（也稱為毯子覆蓋法，blanket covering method）、基于離散時(shí)間序列的有限長度法（VAR）等［26］。本文利用計(jì)盒子數(shù)法提取分形參數(shù)。

取一年中低谷電價(jià)時(shí)段和高峰電價(jià)時(shí)段作為研究對(duì)象（每個(gè)時(shí)段各360個(gè)數(shù)據(jù)）。假設(shè)所考慮的整個(gè)電價(jià)時(shí)間長度為標(biāo)準(zhǔn)化1，用尺度為ε（ε≤1）的“盒子”對(duì)整個(gè)電價(jià)時(shí)間序列進(jìn)行覆蓋，按照單位時(shí)間標(biāo)度ε將其劃分成互不重疊的區(qū)間，即ε可以取1/360、1/180、1/120、…、1/2 和 1。 將 360 個(gè)數(shù)據(jù)用m個(gè)盒子覆蓋，每個(gè)盒子中有n個(gè)數(shù)據(jù)，則第i個(gè)盒子里的概率測(cè)度pi（ε）可以定義為：

其中，Ei為時(shí)間標(biāo)度為ε時(shí)第i個(gè)區(qū)間所有n個(gè)電價(jià)之和。

利用多重分形的配分函數(shù)ψq（ε）來計(jì)算質(zhì)量指數(shù)，ψq（ε）為概率測(cè)度 pi（ε）的 q 階矩，q 為權(quán)重因子：

于是，質(zhì)量指數(shù)τ（q）可以由配分函數(shù)ψq（ε）來決定：可以通過把lnψq（ε）對(duì)lnε在無標(biāo)度區(qū)間進(jìn)行線性回歸得到τ（q）。

由于τ（q）是嚴(yán)格凸的，對(duì)給定的α，式（4）的下確界在唯一的q處達(dá)到，因此，對(duì)αq-τ（q）求導(dǎo)并使其值為0，即有：

將式（3）代入式（5），即得：

其中，αmax和αmin分別代表最大概率測(cè)度和最小概率測(cè)度盒子的測(cè)度值。Δα越大（即多重分形譜越寬）表明這個(gè)時(shí)段的價(jià)格分布越不均勻，波動(dòng)幅度越大。Δα=0則對(duì)應(yīng)完全均勻分布的狀況。如果電價(jià)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不變，當(dāng)價(jià)格波動(dòng)的幅度變小時(shí)，譜就有變窄的趨勢(shì)。顯然，有一定寬度的分形譜可以反映出非均勻分形結(jié)構(gòu)的特性。因此，當(dāng)電價(jià)的振幅相對(duì)較大時(shí)，所對(duì)應(yīng)的譜的跨度應(yīng)相對(duì)較大；當(dāng)電價(jià)波動(dòng)相對(duì)平穩(wěn)時(shí)，譜的跨度應(yīng)相對(duì)較小。這正是由于此時(shí)電價(jià)的時(shí)間序列分形結(jié)構(gòu)的非均勻程度增大，其中包含有更多不同奇異強(qiáng)度的子分形體所致。

Δf有正有負(fù)，當(dāng)Δf＞0時(shí)說明具有最大概率測(cè)度的盒子數(shù)要多于具有最小概率測(cè)度的盒子數(shù)，即該時(shí)段價(jià)格在平均價(jià)格上方運(yùn)行的概率要比在平均價(jià)格下方運(yùn)行的概率大，其值越大說明價(jià)格走勢(shì)越強(qiáng)；反之，當(dāng)Δf＜0時(shí)說明該時(shí)段價(jià)格處于平均價(jià)格之下的天數(shù)更多，價(jià)格走勢(shì)較弱。奇異多重分形譜f（α）其實(shí)就是測(cè)度對(duì)象的Hausdorff維數(shù)，它是衡量對(duì)象混亂程度的指標(biāo)。因此越大，表明該時(shí)段的電價(jià)分布越不均勻，波動(dòng)行為越混亂。

2.2 仿多重分形分析

針對(duì)電價(jià)的尖峰奇異特征及分時(shí)段電價(jià)數(shù)據(jù)較少的特點(diǎn)，應(yīng)用仿多重分形分析。 用 x（t）（t=1，2，…，N）表示一個(gè)電價(jià)序列，仿多重分形分析過程包括3個(gè)步驟。

步驟1：計(jì)算電價(jià)累積離差序列yq（k）。

步驟 2：定義量 Mq（L）。

其中，〈〉i表示在 i（i=1，2，…，N-L）跨度上的平均值；L從1變化到N1（線性擬合最好的數(shù)）。

步驟 3：對(duì)于每一個(gè) q，在 lnMq（L）-lnL 上，可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

因此，指數(shù) γ（q）可以由 lnMq（L）對(duì) lnL 進(jìn)行線性擬合得到。 圖 1 為 q∈［1，15］時(shí) Mq（L）對(duì) L 在雙對(duì)數(shù)圖上的擬合。

圖1 指數(shù) γ（q）的線性擬合圖Fig.1 Linear slopes of scaling exponent γ（q）

從圖1中可以觀測(cè)到對(duì)于不同的q值，lnMq（L）與lnL之間都存在線性關(guān)系，說明電價(jià)累積離差和在不同時(shí)間跨度上的平均值與時(shí)間跨度具有良好的冪律關(guān)系，然而對(duì)不同的q值，擬合直線的斜率不同（γ（1）=0.9211，γ（15）=0.7281）。 這表明電價(jià)時(shí)間序列具有多重分形特性。

值得注意的是：在理論上，q＜0時(shí)同樣具有類似于圖1的線性特性，然而q＜0時(shí)，較小的電價(jià)波動(dòng)就能造成Mq（L）非常大，任何誤差特別是實(shí)際程序計(jì)算中帶來的舍入誤差將極大影響Mq（L）的值，造成劇烈變化的不穩(wěn)定lnMq（L）-lnL圖，以至于計(jì)算得到的γ（q）不準(zhǔn)確。 本文 q 值的取值范圍為［1，15］。

2.3 多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析

多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析中的波動(dòng)函數(shù)是去趨勢(shì)后序列方差的q階矩，比標(biāo)準(zhǔn)DFA（q=2）更具有普適性。

多重分析去趨勢(shì)波動(dòng)分析過程如下：前4步和標(biāo)準(zhǔn)去趨勢(shì)波動(dòng)法［9］一樣，現(xiàn)仍以 x（t）（t=1，2，…，N）表示某時(shí)段的電價(jià)時(shí)間序列，且x（t）為緊支柱，電價(jià)為0的時(shí)刻只是這個(gè)序列中為數(shù)不多的點(diǎn)。

a.定義電價(jià)累積離差序列y（k）：

b.將 y（k）等分成 Ns= ［N/s］個(gè)不重疊的等時(shí)間長度為s的區(qū)間。由于序列長度并不總是時(shí)間長度s的整數(shù)倍，使得有少部分?jǐn)?shù)據(jù)未被利用。因此對(duì)y（k）的逆序進(jìn)行同樣的操作，這樣共有2Ns個(gè)等長度的區(qū)間。

c.對(duì)每個(gè)區(qū)間v，用最小二乘擬合數(shù)據(jù)得到電價(jià)時(shí)序的局部趨勢(shì)yv（i）。濾去該趨勢(shì)后的電價(jià)時(shí)間序列記為 ys（i）。

可以用線性、2次、3次或更高階m次多項(xiàng)式來擬合局部趨勢(shì)，分別記為 DFA1、DFA2、DFA3、…、DFAm等。顯然m階的DFA濾去了累積離差中的m階趨勢(shì)成分以及原始序列中的m-1階趨勢(shì)成分［19］。

d.計(jì)算每個(gè)區(qū)間濾去趨勢(shì)后的方差：

e.在整個(gè)區(qū)間去平均后得到q階波動(dòng)函數(shù)Fq（s）：

一般地，實(shí)數(shù)q可以取除0以外的任意值，當(dāng)q=2時(shí)就是標(biāo)準(zhǔn)的DFA。想得到對(duì)于不同的q值波動(dòng)函數(shù)Fq（s）與時(shí)間尺度s的關(guān)系，這只需取不同的尺度s重復(fù)步驟b—d即可。顯然，F(xiàn)q（s）隨著s的增大而增大，當(dāng)然，F(xiàn)q（s）也會(huì)依賴于 DFAm的階數(shù) m。一般 s≥m+2。

f.對(duì)于每個(gè)q值，如果電價(jià)序列x（t）是長程相關(guān)的，則與尺度s滿足冪律關(guān)系：

指數(shù) h（q）可以通過 lnFq（s）對(duì) lns 進(jìn)行線性擬合得到。圖2為在不同q下Fq（s）對(duì)s在雙對(duì)數(shù)圖上的擬合。

圖2 指數(shù)h（q）的線性擬合圖Fig.2 Linear slopes of scaling exponent h（q）

從圖2中可以觀測(cè)到對(duì)于不同的q值，lnFq（s）與lns之間都存在線性關(guān)系，說明去局部趨勢(shì)后的電價(jià)累積離差波動(dòng)函數(shù)和不同時(shí)間標(biāo)度具有良好的冪律關(guān)系。然而對(duì)不同的q值，擬合直線的斜率不同（h（-3）=1.1616，h（4）=0.8537）。 這表明電價(jià)時(shí)間序列具有多重分形特性。

指數(shù)h（q）描述的是電價(jià)累積離差去趨勢(shì)后波動(dòng)的持久性，一般依賴于q值。關(guān)于h（2）的含義可參看文獻(xiàn)［19］。 波動(dòng)函數(shù) Fq（s）可以看成是各個(gè)區(qū)間方差的加權(quán)平均值。當(dāng)q＞0時(shí)，方差大的區(qū)間在波動(dòng)函數(shù)中占主導(dǎo)地位，因此當(dāng)q＞0時(shí)指數(shù)h（q）描述的是大方差區(qū)間波動(dòng)的標(biāo)度。而當(dāng)q＜0時(shí)，方差小的區(qū)間在波動(dòng)函數(shù)中占主導(dǎo)地位，所以此時(shí)指數(shù)h（q）描述的是小方差區(qū)間波動(dòng)的標(biāo)度。因此，如果考慮同一波動(dòng)函數(shù)Fq（s），在對(duì)s作雙對(duì)數(shù)線性擬合時(shí)，q＜0 時(shí)的斜率 h（q）要大于 q＞0 時(shí)斜率 h（q）。 當(dāng)h（q）=0.5時(shí)，說明序列具有標(biāo)度不變性，表明原時(shí)間序列為一個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)過程；當(dāng)0＜h（q）＜0.5時(shí)，表明原時(shí)間序列不具有持久性；當(dāng)0.5＜h（q）＜1時(shí)，表明時(shí)間序列具有長程相關(guān)性（一種分形特性），是一個(gè)具有持久性的增強(qiáng)時(shí)間序列，這種時(shí)間序列是平穩(wěn)的，此時(shí)h（2）與Hurst指數(shù)可以近似相等，因而h（q）被稱為廣義Hurst指數(shù)。該指數(shù)偏離0.5的程度可以衡量隨機(jī)因素與確定性因素在電價(jià)時(shí)間序列中所占的比重。h（q）越大，這種長程相關(guān)的趨勢(shì)增強(qiáng)行為越大。當(dāng)h（q）＞1時(shí)，說明時(shí)間序列仍然是持久性的長程相關(guān)，而這種持久性的增強(qiáng)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。此時(shí)它與Hurst指數(shù)的關(guān)系變?yōu)椋篐=h（2）-1。

2.4 3種多重分形方法的比較研究

3種多重分形分析方法都能反映電價(jià)序列的多重分形特征，并能體現(xiàn)不同時(shí)段不同市場(chǎng)的差異。標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析方法計(jì)算得到的Ho¨lder指數(shù)提供了一個(gè)量化電價(jià)序列中的局部變化可能包含豐富信息的方法，而多重分形譜則提供了電價(jià)序列的全局奇異的估計(jì)，它們主要描述的是不同時(shí)段電價(jià)的奇異值對(duì)整個(gè)時(shí)段的影響，這2個(gè)指標(biāo)反映了電價(jià)走勢(shì)的強(qiáng)弱和混亂程度；仿多重分形分析方法計(jì)算得到的γ（q）指數(shù)是描述電價(jià)波動(dòng)持久性的指標(biāo)，該指標(biāo)直接反映電價(jià)具有的長程相關(guān)性和波動(dòng)持久特征。這些持久性表示過去發(fā)生的事件對(duì)未來的價(jià)格是有影響的，存在著“記憶效應(yīng)”，表示當(dāng)前時(shí)刻所發(fā)生的一切都將影響未來的市場(chǎng)行為，并且這種長期記憶不依賴于時(shí)間標(biāo)度的變化。由多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析方法計(jì)算得到的h（q）指數(shù)也是衡量電價(jià)波動(dòng)持久性的指標(biāo)，與γ（q）指數(shù)不同的是，它體現(xiàn)了濾去電價(jià)局部趨勢(shì)之后的波動(dòng)持久性，因此更能真實(shí)地體現(xiàn)不同時(shí)段電價(jià)的這種特性，它被稱為廣義Hurst指數(shù)，該指數(shù)越接近于1，市場(chǎng)具有自相似、長期相關(guān)性和統(tǒng)計(jì)自相關(guān)性等分形市場(chǎng)的特征就越明顯。此外它還可以反映電價(jià)序列的平穩(wěn)和非平穩(wěn)特征?？偠灾?種方法是從電價(jià)序列的不同角度進(jìn)行分析來體現(xiàn)電價(jià)序列的多重分形特性。

3 算例分析

按照一年每天24時(shí)段的電價(jià)均值與標(biāo)準(zhǔn)差的高低，選取PJM 2001年電力市場(chǎng)和加州2000年電力市場(chǎng)高峰和低谷各6個(gè)時(shí)間段的360天電價(jià)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，此電價(jià)高峰、低谷時(shí)段與電力負(fù)荷的高峰、低谷時(shí)段相吻合。PJM市場(chǎng)被認(rèn)為是世界范圍內(nèi)較為典型且走勢(shì)較平穩(wěn)的電力市場(chǎng)，而加州2000年爆發(fā)了美國大規(guī)模的電力危機(jī)，分析電價(jià)特性具有針對(duì)性。電價(jià)基本參數(shù)如表1所示。

表1 電價(jià)基本參數(shù)Tab.1 Basic price parameters

3.1 峰谷時(shí)段多重分形特征分析

利用標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析方法，由式（4）—（7）計(jì)算得到峰谷時(shí)段的Ho¨lder指數(shù)α（q）和奇異多重分形譜，如表2和圖3、圖4所示。

從表2及圖3、4可以得到以下結(jié)論。

a.奇異多重分形譜 f（α）和 Ho¨lder指數(shù) α（q）是q取不同值時(shí)由實(shí)時(shí)電價(jià)隨時(shí)間的變化計(jì)算得到的（q∈［-15，15］），它體現(xiàn)了不同時(shí)段電價(jià)奇異現(xiàn)象的特征。因此，它包含反映市場(chǎng)活動(dòng)趨勢(shì)的信息。Ho¨lder指數(shù)是用來衡量局部奇異性的指標(biāo)，從圖3可以看出2個(gè)電力市場(chǎng)的高峰時(shí)段的Ho¨lder指數(shù)α（q）都明顯要小于低谷時(shí)段的α（q），這表明高峰時(shí)段的奇異性更大。事實(shí)上，從表1中可以看到兩時(shí)段的平均最值差有如此關(guān)系：Δppeak＞Δplow。這在q?1時(shí)表現(xiàn)得尤為明顯，這是因?yàn)楫?dāng)q?1時(shí)，配分和表現(xiàn)出來的主要是概率測(cè)度小子集的性質(zhì)。高峰時(shí)段的小概率子集是價(jià)格尖峰的天數(shù)，這些天數(shù)的價(jià)格波動(dòng)十分劇烈，因而表現(xiàn)出較強(qiáng)的奇異性。但對(duì)于加州2000年的電價(jià)數(shù)據(jù)，當(dāng)q?1時(shí)，低谷時(shí)段和高峰時(shí)段的Ho¨lder指數(shù) α（q）十分接近，這是因?yàn)楫?dāng) q?1 時(shí)配分和表現(xiàn)出來的主要是概率測(cè)度大子集的性質(zhì)。低谷時(shí)段的大概率子集是電價(jià)運(yùn)行在價(jià)格均值上方的天數(shù)，雖然該時(shí)段本身價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)差不大，但電價(jià)的偏度較大（1=4.2832），且接近于高峰時(shí)段的偏度（1=3.2103），導(dǎo)致在價(jià)格均值上方運(yùn)行的大多數(shù)電價(jià)所起作用被放大，因而這些時(shí)段的奇異性增強(qiáng)。這正是因?yàn)榧又?000年電力危機(jī)所致。如果是電力供求平衡的年份，高峰時(shí)段的兩側(cè)極端電價(jià)數(shù)據(jù)較多，其峰度巨大，因此波動(dòng)更為顯著，其奇異性更加明顯，如PJM 2001年α（q）指數(shù)的最小值為0.4651。

表2 峰谷時(shí)段的多重分形參數(shù)Tab.2 Multifractal parameters of low and peak periods

圖3 峰谷時(shí)段α（q）隨q值的變化Fig.3 Curves of α（q） vs.q for low and peak periods

圖4 峰谷時(shí)段的Δα和Δf對(duì)照?qǐng)DFig.4 Comparison between Δα and Δf for low and peak periods

b.隨著 q 值的增大（q?1），兩時(shí)段的 Ho¨lder指數(shù)趨于平穩(wěn)。因?yàn)榇藭r(shí)起主導(dǎo)作用的是概率測(cè)度大子集，它們的作用趨于一致，其余那些小概率測(cè)度的電價(jià)天數(shù)被忽略。

c.從圖4可以看出：對(duì)于PJM 2001年電力市場(chǎng)，高峰時(shí)段的重分形譜跨度Δα度明顯要大于低谷時(shí)段，表明PJM 2001年的尖峰價(jià)格波動(dòng)劇烈；而對(duì)于加州2000年電力市場(chǎng)情況剛好相反，低谷時(shí)段的重分形譜跨度Δα度明顯要大于高峰時(shí)段，表明這一年的低谷價(jià)格走勢(shì)不平穩(wěn)，說明全年電價(jià)高位運(yùn)行，價(jià)格尖峰或高峰為全年電價(jià)常態(tài)，這也印證了加州2000年的電力危機(jī)。

d.PJM 2001年電力市場(chǎng)高峰和低谷時(shí)段的Δf符號(hào)相異（圖4中橫虛線表示Δf=0）。低谷時(shí)段的Δf＞0表明這些時(shí)段的實(shí)時(shí)電價(jià)走勢(shì)在平均價(jià)格上方運(yùn)行的天數(shù)大于在平均價(jià)格下方運(yùn)行的天數(shù)，電價(jià)處于最高價(jià)位的機(jī)會(huì)比處于最低價(jià)位的機(jī)會(huì)大，說明雖然這些時(shí)段為電價(jià)低谷時(shí)段，但電價(jià)有向上運(yùn)行的“意愿”；與此相反，高峰時(shí)段的Δf＜0表明實(shí)時(shí)電價(jià)走勢(shì)在平均價(jià)格上方運(yùn)行的天數(shù)小于在平均價(jià)格下方運(yùn)行的天數(shù)，電價(jià)處于最高價(jià)位的機(jī)會(huì)比處于最低價(jià)位的機(jī)會(huì)小，說明雖然這個(gè)時(shí)段為電價(jià)高峰時(shí)段，但電價(jià)有向下運(yùn)行的“意愿”。這一解釋對(duì)于加州2000年高峰時(shí)段也符合；而該年低谷時(shí)段的Δf在橫虛線上下波動(dòng)，說明這些時(shí)段的規(guī)律性不強(qiáng)，表現(xiàn)出很大的隨機(jī)性，這是因?yàn)檫@些時(shí)段具有更大的平均峰度（2=27.9358）和變異系數(shù)（=1.2411），兩側(cè)極端數(shù)據(jù)較多，導(dǎo)致極端低電價(jià)有向上運(yùn)行的意愿，而極端高電價(jià)有向下運(yùn)行的意愿。因此表現(xiàn)出Δf符號(hào)的無規(guī)則性。

3.2 峰谷時(shí)段仿多重分形特征分析

仿多重分形方法對(duì)上述峰谷時(shí)段利用仿多重分形分析，由式（8）—（10）得到它們的指數(shù) γ（q）隨 q 值的變化如圖5所示。

圖5 峰谷時(shí)段的指數(shù)γ（q）隨q值的變化Fig.5 Curves of exponent γ（q） vs.q for low and peak periods

從圖5中可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。

a.指數(shù)γ（q）隨q值的增大而減少，說明越是大幅的電價(jià)波動(dòng)存在著越強(qiáng)的反持久性，越是小幅的價(jià)格波動(dòng)存在著越強(qiáng)的持久性。換言之，電價(jià)出現(xiàn)持續(xù)上漲后極有可能持續(xù)下跌，反之亦然；另外還會(huì)出現(xiàn)持續(xù)的相對(duì)較小幅度的上漲和持續(xù)的相對(duì)較小幅度的下跌。

b.大幅價(jià)格波動(dòng)的反持久性其實(shí)質(zhì)與行為金融理論中的過度反應(yīng)（Overreact）［12］現(xiàn)象相一致。 過度反應(yīng)是指某一事件引起股票價(jià)格劇烈變動(dòng)，超過預(yù)期的理論水平，然后再以反向修正的形式回歸到其應(yīng)有的價(jià)位上來的現(xiàn)象。PJM 2001年和加州2000年電力市場(chǎng)都存在著大幅的價(jià)格波動(dòng)的反持久性，但前者的這種反持久性表現(xiàn)在高峰時(shí)段，而后者則表現(xiàn)在低谷時(shí)段。另外由于同等幅度（q值相同時(shí)）的大幅波動(dòng)，PJM 2001年電力市場(chǎng)反持久性更強(qiáng)，說明前者的高峰時(shí)段可以更為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)。

c.電力供給平衡的年份（PJM 2001年電力市場(chǎng)）低谷時(shí)段的持久性明顯比高峰時(shí)段的大；而電力供給不平衡的年份（加州2000年電力市場(chǎng)）正好相反。說明電力供給平衡時(shí)，低位電價(jià)走勢(shì)相對(duì)平穩(wěn)，持續(xù)性強(qiáng)；而電力供給不平衡時(shí)，高位電價(jià)走勢(shì)相對(duì)平穩(wěn)，持續(xù)性強(qiáng)。

d.電力供給平衡的年份高峰時(shí)段的反持久性明顯比低谷時(shí)段的大；而電力供給不平衡的年份正好相反。說明電力供給平衡時(shí)，高位電價(jià)不平穩(wěn)容易走弱；而電力供給不平衡時(shí)，低位電價(jià)不平穩(wěn)容易走強(qiáng)。

e.仿多重分形方法能反映出電價(jià)的持久性特征以及電價(jià)運(yùn)行的趨勢(shì)，這是標(biāo)準(zhǔn)多重分形方法所不能表現(xiàn)的。

3.3 峰谷時(shí)段去趨勢(shì)波動(dòng)特征分析

利用去趨勢(shì)波動(dòng)分析方法分析上述峰谷時(shí)段，由式（11）—（16）得到它們的指數(shù) h（q）隨 q 值的變化如圖6所示（因h（q）在q=0處不取值，故橫軸去掉刻度0值）。

從圖6可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論。

a.與仿多重分形分析的指數(shù)γ（q）不同，指數(shù)h（q）描述的是去除了局部趨勢(shì)后的電價(jià)波動(dòng)的持久性。q＜0時(shí)，低谷時(shí)段的指數(shù)h（q）小于高峰時(shí)段，說明低谷時(shí)段的持久性比高峰時(shí)段的持久性小。這是因?yàn)楫?dāng) q＜0 時(shí)，方差 F2（s，v）小的區(qū)間在波動(dòng)函數(shù)中占主導(dǎo)地位，所以此時(shí)指數(shù)h（q）描述的是小方差區(qū)間波動(dòng)的標(biāo)度。高峰時(shí)段的小方差區(qū)間為電價(jià)在平均價(jià)格之下運(yùn)行的天數(shù)，這些天的電價(jià)波動(dòng)相對(duì)較弱，其持久性較大。而當(dāng)q＞0時(shí)，高峰時(shí)段的指數(shù)h（q）小于低谷時(shí)段，說明此時(shí)高峰時(shí)段的持久性比低谷時(shí)段小。因?yàn)楫?dāng)q＞0時(shí)，大方差的區(qū)間在波動(dòng)函數(shù)中占主導(dǎo)地位，指數(shù)h（q）描述的是大方差區(qū)間波動(dòng)的標(biāo)度。高峰時(shí)段的大方差區(qū)間為價(jià)格尖峰價(jià)格出現(xiàn)的天數(shù)，電價(jià)波動(dòng)相對(duì)較強(qiáng)，因而持久性較弱。

圖6 2個(gè)時(shí)段的指數(shù) h（q）隨q值的變化Fig.6 Curves of exponent h（q） vs.q for low and peak periods

b.注意到對(duì)于PJM 2001年電力市場(chǎng)的高峰時(shí)段經(jīng)歷了一個(gè)從持久性到非持久性的過渡，呈現(xiàn)出較強(qiáng)的多重仿射特性，由于q值放大了電價(jià)的波動(dòng)，高峰時(shí)段的價(jià)格波動(dòng)越劇烈，其反持久性也越強(qiáng)，即電價(jià)在出現(xiàn)尖峰之后即有可能跌入低谷，而低谷電價(jià)之后即有可能出現(xiàn)尖峰，這說明該年的高峰時(shí)段電價(jià)動(dòng)態(tài)主要由在價(jià)格形成機(jī)制中產(chǎn)生反持久性的大幅價(jià)格波動(dòng)支配。而該年低谷時(shí)段及加州2000年高峰和低谷時(shí)段始終有h（q）＞0.5，說明在去除了局部趨勢(shì)后，這些時(shí)段內(nèi)市場(chǎng)仍然表現(xiàn)為持久性特性，但是隨著q值的增大（亦即在大方差區(qū)間內(nèi)），這種持久性慢慢減弱。

c.與仿多重分形分析不同，經(jīng)過去除局部趨勢(shì)后的長程相關(guān)性分析表明：加州2000年電力市場(chǎng)的沒有經(jīng)歷非持久性過程的原因是在供給嚴(yán)重不平衡的情況下，去除局部趨勢(shì)后，電價(jià)的大方差區(qū)間波動(dòng)仍然有增大的趨勢(shì)。這表現(xiàn)為高峰時(shí)段出現(xiàn)尖峰電價(jià)后并沒有走勢(shì)平穩(wěn)而是具有持久性的出現(xiàn)下一個(gè)價(jià)格尖峰，因此市場(chǎng)表現(xiàn)出持久性特征。

d.值得一提的是：當(dāng)q=2時(shí)，即標(biāo)準(zhǔn)DFA得到的PJM 2001年全年和加州2000年全年電價(jià)的指數(shù)h（2）分別為 0.8842 和 0.9958，均大于 0.5，表明市場(chǎng)具有很強(qiáng)的長程相關(guān)性，與文獻(xiàn)［9］的結(jié)論一致。

e.與仿多重分形分析相同，去趨勢(shì)波動(dòng)分析方法也能反映電價(jià)的持久性特征，還能反映電價(jià)波動(dòng)大小的趨勢(shì)，這是標(biāo)準(zhǔn)多重分形方法所不能表現(xiàn)的。

4 結(jié)語

本文運(yùn)用多重分形理論中的標(biāo)準(zhǔn)多重分形分析、仿多重分形分析、多重分形去趨勢(shì)波動(dòng)分析3種方法對(duì)PJM 2001年和加州2000年電力市場(chǎng)各個(gè)時(shí)段的實(shí)時(shí)電價(jià)進(jìn)行了研究，得到了各種分形指數(shù)，說明它們具有多重分形特征。在研究中發(fā)現(xiàn)不同的電力市場(chǎng)和不同的時(shí)段分形參數(shù)也有所不同。為此將2個(gè)電力市場(chǎng)的低谷和高峰時(shí)段進(jìn)行了對(duì)比研究，揭示了它們之間分形特征的差異，并深入分析了造成這些差異的成因，與實(shí)際情況吻合。這些混沌特性的差異對(duì)識(shí)別電價(jià)數(shù)據(jù)所處的高峰或低谷時(shí)段提供了理論基礎(chǔ)；為分時(shí)段電價(jià)聚類進(jìn)行相空間重構(gòu)提供了方法；根據(jù)這些不同的分形參數(shù)還可以建立不同時(shí)段的短期邊際電價(jià)預(yù)測(cè)模型，例如可以利用得到的不同時(shí)段的關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算得到最大Lyapounov指數(shù)和最佳嵌入維數(shù)，進(jìn)而建立分時(shí)段重構(gòu)相空間預(yù)測(cè)模型來對(duì)短期電價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，最終為市場(chǎng)參與者與管理者規(guī)避電價(jià)風(fēng)險(xiǎn)提供了更好的保障。