鄭連清，魯思男

（1.重慶大學 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術國家重點實驗室，重慶 400044；2.重慶市電力公司，重慶 400039）

0 引言

由于開關器件自身的特性和反饋控制環(huán)節(jié)的引入，Boost功率因數(shù)校正（PFC）變換器成為一種強非線性系統(tǒng)[1]。近年來，國內(nèi)外學者采用非線性動力學對Boost PFC變換器進行了研究并取得了一些成果[1-6]。已有的研究發(fā)現(xiàn)隨著PFC變換器中某些參數(shù)的變化，系統(tǒng)會產(chǎn)生快時標（fast-scale）下的不穩(wěn)定現(xiàn)象，即在開關頻率附近發(fā)生分岔，這些分岔現(xiàn)象的存在會嚴重影響PFC變換器的工作性能。斜坡補償法是最常用的方法，但其應用存在經(jīng)驗設計行為，若補償強度設計不當，便會導致過度補償現(xiàn)象的發(fā)生，使變換器的功率因數(shù)值急劇下降。利用參數(shù)微擾法設計的斜坡補償強度[7-9]，由變換器中的主要參數(shù)（輸出電壓、開關周期和電感值）決定，不僅避免了過度補償，而且在控制快時標分岔的同時維持了較高的功率因數(shù)值，不過此方法仍然存在一些不足之處。

隨著功率變換器控制技術的快速發(fā)展，利用智能控制技術來完成變換器的分岔控制成為可能，本文借鑒近幾年來國內(nèi)外滑?？刂频难芯砍晒鸞10-13]，采用雙積分滑模對其分岔現(xiàn)象進行控制。仿真結果表明，雙積分滑模法很好地彌補了參數(shù)微擾法在快時標分岔控制中的不足，得到了更好的控制效果。此外，雙積分滑?？刂仆ㄟ^增加控制器的階數(shù)改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，并降低了滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象，同時獲得了更高的功率因數(shù)值。

1 頻閃映射建模及分岔現(xiàn)象

圖1 峰值電流型Boost PFC變換器電路圖Fig.1 Circuit of Boost PFC converter in peak-current control mode

圖1為峰值電流型Boost PFC變換器的電路。圖中，uin為輸入的工頻電壓，us為整流后的電壓，iL為電感電流，uC為電容兩端的電壓，uo為輸出電壓，Uref為參考電壓，iref為參考電流，k1、k2為控制增益參數(shù)。

該變換器工作在連續(xù)模式，在第n個開關周期內(nèi)，輸入電壓 usn為：。其中，Um為輸入電壓的峰值，ω=100π，T為開關周期。由于開關頻率遠遠大于電源頻率，可以近似認為一個開關周期內(nèi)輸入電壓不變，記，p∈[0，1] 。

定義狀態(tài)向量 x=[iLuC]T=[x1x2]T，則有：

開關條件所對應的切換平面為：

頻閃映射的示意圖如圖2所示，設xn為初始狀態(tài)，在 tdn時刻到達切換面 h（x，t）=0，此時占空比為 dn。

圖2 頻閃映射示意圖Fig.2 Schematic diagram of stroboscopic mapping

當 nT＜t≤tdn時，有：

當 tdn＜t≤（n+1）T 時，有：

其中，φi（τ）=exp（Aiτ）；i=1，2。

聯(lián)立式（1）和式（2）可解出xn和xn+1的數(shù)學關系：

再加上切換面滿足的條件：

就得到了Boost PFC變換器的離散迭代映射模型。

圖3（a）為電感電流在 t∈[0.05，0.06] s內(nèi)的頻閃采樣波形，圖3（b）為輸入電壓和電感電流的相軌跡。對比觀察兩圖可以看到，隨著輸入電壓的增大，電感電流從混沌態(tài)變?yōu)槎芷趹B(tài)，在0.0528 s處進入單周期態(tài)，然后在0.0578 s處再次進入二周期態(tài)，最后發(fā)生邊界碰撞分岔以非光滑的方式直接變?yōu)榛煦鐟B(tài)。

圖3 電感電流的分岔現(xiàn)象Fig.3 Bifurcation of inductor current

降低輸入電壓，給出此時的電感電流頻閃采樣圖，如圖4所示。在整個1／2個工頻周期內(nèi)電感電流都處于快時標不穩(wěn)定狀態(tài)，THD值明顯增大。

圖4 降低輸入電壓后電感電流的分岔現(xiàn)象Fig.4 Bifurcation of inductor current when uindecreases

2 參數(shù)微擾控制

選取變換器的參考電流iref為補償信號，其斜坡補償?shù)脑砣鐖D5所示。

圖5 斜坡補償原理圖Fig.5 Principle of ramp compensation

在一個開關周期內(nèi)，即從t=nT到t=（n+1）T，開關導通，電感電流上升，直到等于i*ref，開關斷開，電感電流下降，令in和in+1分別為t=nT和t=（n+1）T時刻的電感電流，可以得到in和in+1的表達式：

將上式分解、整理合并，并保留其中一階微擾量得：

其中，θ=ω′t，θ′∈[0，π] 。由式（4）可以得到微擾量Δin+1與Δin之間的迭代關系：

很明顯地可以看到特征根為：

由非線性動力學理論可知，當λ位于復平面的單位圓時，變換器處于穩(wěn)態(tài)，當λ沿著負實軸方向穿越單位圓時，便會發(fā)生倍周期分岔，所以λ=-1是倍周期分岔的臨界值，此外，輸入、輸出電壓滿足關系式，把這2個關系式同時代入式（5）中可以得到：

為了讓變換器在這個工頻周期內(nèi)都保持穩(wěn)態(tài)運行，令臨界狀態(tài)下的相角等于0，式（7）可以化簡為：

斜坡補償信號的幅值為：

經(jīng)計算得出補償信號的幅值A=1.124。

3 雙積分滑?？刂?/h2>

3.1 控制器的設計

雙積分滑?？刂频腂oost PFC變換器原理如圖6所示。

圖6 雙積分滑?？刂频腂oost PFC變換器電路圖Fig.6 Circuit of Boost PFC converter with double integral sliding mode control

此控制器采用電流誤差x1、電流誤差的積分x2和其雙重積分x3作為變量。狀態(tài)變量定義如下：

令控制信號u為1或0，u=1表示開關導通，u=0表示開關斷開?；Ｃ娑x為：

其中，a、b、c是滑模系數(shù)。S的一階導數(shù)為：

等效控制[14]中，用一個連續(xù)信號來代替離散信號，其中。

把式（8）代入式（9）中可得：

解式（10）可得：

由李雅普諾夫穩(wěn)定性分析確定滑動模態(tài)存在條件。定義李雅普諾夫函數(shù)為，要使系統(tǒng)運行在滑動模態(tài)，必須滿足：。

合并式（12）和式（13），可以得到：

上式即為系統(tǒng)滑動模態(tài)存在的條件。

3.2 滑模系數(shù)的選擇

把式（11）變形為：

再把式（14）轉化為頻域表示：

圖7給出了式（13）的傳遞函數(shù)框圖。

圖7 雙積分滑?？刂频碾娏鳝h(huán)框圖Fig.7 Block diagram of current loop under double integral sliding mode control

選取52°的相角裕度設計補償環(huán)節(jié)，利用MATLAB繪出其伯德圖（圖8所示），同時考慮滑動模態(tài)的存在條件，最后確定 α=2×105，β＝4×108。

圖8 雙積分滑模控制的電流環(huán)伯德圖Fig.8 Bode diagram of current loop under double integral sliding mode control

4 仿真結果比較

采用參數(shù)微擾控制時，Boost PFC變換器的電感電流波形、輸入電壓和電感電流的相軌跡見圖9。

觀察圖9（a）可以看到，在整個1／2個工頻周期內(nèi)電感電流都沒有出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，但在0.05 s和0.06 s附近出現(xiàn)了過零死區(qū)。從圖9（b）中明顯地觀察到電感電流的中心偏移現(xiàn)象，即一個電感電流值對應了2個輸入電壓值。若補償后的電感電流為標準的正弦形，會以0.055 s為中心線左右完全對稱，即出現(xiàn)一個電感電流值對應一個輸入電壓值的線性關系。過零死區(qū)和中心偏移現(xiàn)象都影響了補償效果，此時的THD值為15%。

圖9 參數(shù)微擾控制的效果Fig.9 Performance of small parametric perturbation control

降低輸入電壓后，補償效果如圖10所示。過零死區(qū)和中心偏移現(xiàn)象仍然存在，而且電感電流也隨著輸入電壓的降低而降低。

采用雙積分滑?？刂茣r，控制效果如圖11所示。此時的電感電流在整個1／2個工頻周期內(nèi)沒有分岔現(xiàn)象，也沒有出現(xiàn)過零死區(qū)和中心偏移現(xiàn)象。經(jīng)過FFT分析，THD值為0.6%。

降低輸入電壓，圖12中給出了仿真結果。從圖12中看到，即使降低輸入電壓，電感電流仍然沒有降低，控制性能較好。

表1對參數(shù)微擾法和雙積分滑模法的性能進行了對比。表中，功率因數(shù)值為位移因數(shù)。

圖11 雙積分滑?？刂频男Ч鸉ig.11 Performance of double integralsliding mode control

圖12 降低輸入電壓后雙積分滑?？刂频男Ч鸉ig.12 Performance of double integral sliding mode control when uindecreases

表1 2種控制方法的性能對比Tab.1 Peformance comparison of two control methods

5 結論

本文基于頻閃映射法建立了峰值電流型Boost PFC變換器離散迭代映射，利用頻閃采樣和相軌跡圖分析了隨著輸入電壓的減小，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，最后進入混沌態(tài)。然后采用參數(shù)微擾法和雙積分滑模法對Boost PFC變換器進行了分岔控制。仿真結果表明，參數(shù)微擾法雖然有效地避免了變換器快時標分岔現(xiàn)象并提供了一般性的斜坡補償強度計算公式，但存在過零死區(qū)和中心偏移；雙積分滑模法在不同參數(shù)條件下有效避免分岔現(xiàn)象的同時，彌補了參數(shù)微擾法在分岔控制中的不足之處，并使Boost PFC變換器獲得了0.99的高功率因數(shù)值。雙積分滑?？刂品ㄔ诜植砜刂浦芯哂幸韵绿攸c：

a.不需要改變系統(tǒng)參數(shù)或施加外部擾動；

b.使Boost PFC變換器獲得較高的功率因數(shù)值；

c.具有很強的魯棒性。

該方法的諸多特點，保證了Boost PFC變換器在不同參數(shù)條件下運行的穩(wěn)定性和可靠性。