楊小鳳

(玉林師范學(xué)院電子與通信工程學(xué)院，廣西玉林 537000)

0 引言

DOA估計(jì)在波束形成、信號(hào)檢測(cè)和定位等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。波束形成和信號(hào)檢測(cè)技術(shù)采用實(shí)時(shí)DOA估計(jì)，二者對(duì)估計(jì)精度的要求并不高。定位技術(shù)是在移動(dòng)自主網(wǎng)(Mobile Ad-hoc Network)中實(shí)現(xiàn)頻譜共享和分配的關(guān)鍵，它需要高精度的DOA估計(jì)［1－3］;另一方面，移動(dòng)自主網(wǎng)中的節(jié)點(diǎn)存在資源有限的特點(diǎn)，因此定位機(jī)制采用的DOA估計(jì)又必須滿足低復(fù)雜度的要求。

為此，諸多DOA估計(jì)算法被提出來(lái)，比如，延遲相加法(Delay-and-Sum，DAS)［4］、多重信號(hào)分類算法(Multiple Signal Classification，MUSIC)［5］和求根MUSIC 算法(Root-MUSIC)［6］。DAS 對(duì)不同的掃描方向形成不同的權(quán)值，將陣列天線各陣元的輸出進(jìn)行加權(quán)求和，從陣列輸出功率峰值點(diǎn)判定DOA。DAS的DOA估計(jì)精度不高，然而，它的低復(fù)雜度性能使得它適合用于實(shí)時(shí)粗略的DOA估計(jì)。此法運(yùn)算簡(jiǎn)單，易于在FPGA系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)。MUSIC通過(guò)對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)分解，將數(shù)據(jù)劃分為2個(gè)正交的子空間:信號(hào)子空間和噪聲子空間，利用2個(gè)子空間的正交特性構(gòu)造出“針狀”空間譜峰，大大提高了DOA估計(jì)的分辨力。Root-MUSIC是MUSIC的多項(xiàng)式求根形式，利用噪聲子空間構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式，通過(guò)求解多項(xiàng)式最接近單位圓的根來(lái)估計(jì)DOA。相比于 MUSIC，Root-MUSIC具有更高的精度和分辨力［7］，適合用于精準(zhǔn)的DOA估計(jì)，而復(fù)雜度較DAS高得多，實(shí)現(xiàn)難度較大?？傮w而言，現(xiàn)有的DOA估計(jì)算法未能同時(shí)具備高精度和低復(fù)雜度的特點(diǎn)，直接應(yīng)用于移動(dòng)自主網(wǎng)中定位節(jié)點(diǎn)的效果并不理想。

為了解決現(xiàn)有定位方法難以同時(shí)達(dá)到高精度和低復(fù)雜度的問(wèn)題，提出了一種新穎方法，即將DAS和Root-MUSIC進(jìn)行聯(lián)合DOA估計(jì)，分別用于定位過(guò)程的粗略檢測(cè)和精準(zhǔn)定位2個(gè)階段:第1階段的估計(jì)結(jié)果為第2階段估計(jì)的基礎(chǔ)，并為降低后者的復(fù)雜度服務(wù)，最終以1+1＜2的復(fù)雜度獲得了1+1≥2的精度。給出了該方法的實(shí)現(xiàn)步驟，并通過(guò)Matlab仿真實(shí)驗(yàn)證明了其良好的估計(jì)性能。

1 DAS和Root-MUSIC算法

1.1 陣列信號(hào)模型

假設(shè)信號(hào)源為窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，信號(hào)到達(dá)角度為θ;采用陣元數(shù)為M的均勻線陣，陣元間距d=λ/2，λ為波長(zhǎng);噪聲序列為零均值高斯過(guò)程，各陣元間噪聲相互獨(dú)立，噪聲與信號(hào)也相互獨(dú)立。

第i個(gè)陣元上接收到的信號(hào)的相對(duì)于第1個(gè)陣元的相移為:

第i個(gè)陣元上接收到的信號(hào)可表示為:

式中，s為信號(hào)源;n為噪聲。

M個(gè)陣元接收到的信號(hào)表示為矢量的形式，即

式中，φ為信號(hào)導(dǎo)向矢量(steering vector);L為快拍數(shù)。

1.2 DAS算法的SDR實(shí)現(xiàn)

DAS的輸出信號(hào)是各陣元輸出的線性加權(quán)和:

式中，A為接收信號(hào)的幅值;ω為其中心頻率;θ'為其隨機(jī)相位;φi(θ)見(jiàn)式(1)。

θt為［－90°，+90°］之間以 Δθt為間隔的掃描角度，在每一個(gè)掃描角度測(cè)量輸出信號(hào)的功率:

其最大值對(duì)應(yīng)的角度即為信號(hào)入射方向，即

由于接收信號(hào)受高斯噪聲的影響，所以式(7)的DOA估計(jì)結(jié)果包含誤差。為了減小誤差，對(duì)輸出功率進(jìn)行T次獨(dú)立測(cè)量，采用最大似然估計(jì)準(zhǔn)則估計(jì)包含噪聲影響的輸出功率:

由于該法的估計(jì)分辨力為Δθt，為了改善估計(jì)精度，采集空間功率譜最大值這一點(diǎn)及其附近幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，使用最小二乘法求這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的二次擬合多項(xiàng)式，再求使得該多項(xiàng)式取得最大值的角度即為DOA。

1.3 Root-MUSIC算法的SDR實(shí)現(xiàn)

陣列信號(hào)的協(xié)方差矩陣為:

式中，L為快拍數(shù)。

對(duì)RX進(jìn)行特征分解，由小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的噪聲子空間VN和信號(hào)導(dǎo)向矢量φ正交，即

該特性使得MUSIC空間譜產(chǎn)生峰值:

Root-MUSIC將式(11)的分母改寫成一個(gè)關(guān)于Z的多項(xiàng)式:

式中，M為陣元數(shù);Ck為矩陣C=第k條對(duì)角線上的元素之和，即

解出式(12)的2M－2個(gè)根，從其中位于單位元上的根的相位可求出DOA:

1.4 算法復(fù)雜度分析

以實(shí)現(xiàn)算法的過(guò)程中使用的乘法運(yùn)算的個(gè)數(shù)(Number of Multiplications，NOM)作為算法復(fù)雜度的度量。

對(duì)于DAS(使用二次擬合多項(xiàng)式估算DOA)，其NOM為:

當(dāng)陣元數(shù) M=6、快拍數(shù)L=5、掃描角度間隔Δθt=5°、二次擬合多項(xiàng)式的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)Q=5時(shí)，DAS的NOM=4830。

對(duì)于Root-MUSIC，其NOM主要集中在求RX，對(duì)RX進(jìn)行特征分解及求根這3步，分別對(duì)應(yīng)NOMA，NOMB及NOMC:

將式(17)、式(18)和式(19)相加，得到實(shí)現(xiàn)Root-MUSIC所需NOM為:

當(dāng)陣元數(shù)M=6，快拍數(shù) L=5時(shí)，Root-MUSIC的NOM=12019。而相同條件下，DAS的NOM要少得多。因此，DAS較低的復(fù)雜度使其適合用于實(shí)時(shí)粗略DOA估計(jì);Root-MUSIC適合用于精準(zhǔn)DOA估計(jì)，而復(fù)雜度較高，設(shè)法減少求根個(gè)數(shù)是降低復(fù)雜度的關(guān)鍵。

2 DAS和Root-MUSIC聯(lián)合估計(jì)法

綜合DAS低復(fù)雜度和Root-MUSIC高估計(jì)精度的優(yōu)點(diǎn)，提出一種將DAS和Root-MUSIC聯(lián)合估計(jì)法，實(shí)現(xiàn)了以較低的復(fù)雜度獲得近似于單獨(dú)采用Root-MUSIC所達(dá)到的高精度。該方法分為2個(gè)階段:首先采用DAS進(jìn)行粗略DOA估計(jì)。該結(jié)果為第2階段進(jìn)行精準(zhǔn)定位的Root-MUSIC的基礎(chǔ)，利用牛頓法［8］使Root-MUSIC僅需要求解多項(xiàng)式的一個(gè)根(常規(guī)Root-MUSIC需要求解2M－2個(gè)根)，從而降低了Root-MUSIC的復(fù)雜度。具體過(guò)程如下:

② 求f(Zi)，f(Z)見(jiàn)式(12);

③過(guò)這一點(diǎn)作多項(xiàng)式曲線的切線，斜率為f'(Zi);

④求切線的零點(diǎn)Zi+1=

⑤重復(fù)步驟②～步驟④，直至估計(jì)結(jié)果足夠精確。

聯(lián)合估計(jì)法中Root-MUSIC的NOM為:

當(dāng)陣元數(shù)M=6、快拍數(shù)L=50時(shí)，聯(lián)合估計(jì)法中 Root-MUSIC的 NOM=10742，而 DAS的 NOM=4830，二者之和NOM=15572，相比于相同條件下常規(guī)Root-MUSIC的NOM=18522要少。

3 Matlab仿真實(shí)驗(yàn)及性能分析

為了驗(yàn)證DAS和Root-MUSIC聯(lián)合估計(jì)法相對(duì)于DAS和常規(guī)Root-MUSIC在性能(包括估計(jì)精度和復(fù)雜度)上的優(yōu)越性，這里給出基于上述陣列信號(hào)模型的Matlab仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析。將估計(jì)的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)作為估計(jì)精度的度量:

式中，T為獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù);θ^i為第i次實(shí)驗(yàn)估計(jì)的DOA;θ為實(shí)際DOA。

實(shí)驗(yàn)1探討了聯(lián)合估計(jì)法中第1階段DAS的估計(jì)精度對(duì)第2階段Root-MUSIC的估計(jì)精度的影響。實(shí)驗(yàn)條件:陣元數(shù)=6，信源數(shù)=1，快拍數(shù)=50，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)=500，SNR=15 dB。仿真結(jié)果如圖1所示。從圖1可以看出，第1階段DAS的RMSE達(dá)到某一門限值后會(huì)導(dǎo)致第2階段Root-MUSIC的RMSE急劇增大。DOA越大，聯(lián)合估計(jì)法對(duì)DAS的RMSE要求越低，只要DAS的RMSE控制在2.5°以內(nèi)，就能為Root-MUSIC提供有效的估計(jì)近似初始值，最終達(dá)到理想的估計(jì)精度。

圖1 聯(lián)合估計(jì)法中2種方法估計(jì)精度的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)2比較了DAS、常規(guī)Root-MUSIC及聯(lián)合估計(jì)法的估計(jì)精度隨DOA變化的趨勢(shì)。實(shí)驗(yàn)條件:陣元數(shù)=6，信源數(shù)=1，快拍數(shù)=50，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)=500，SNR=15 dB。仿真結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出，三者的估計(jì)精度隨DOA變化的趨勢(shì)呈碗底狀，DAS的變化趨勢(shì)更為陡峭。相同條件下聯(lián)合估計(jì)法和常規(guī)Root-MUSIC的RMSE幾乎完全相等，和DAS的RMSE相比少一半以上。

實(shí)驗(yàn)3比較了DAS、常規(guī)Root-MUSIC及聯(lián)合估計(jì)法的估計(jì)精度隨實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度(Complexity，#of Multiplications)變化的趨勢(shì)。實(shí)驗(yàn)條件:陣元數(shù)=6，信源數(shù) =1，DOA=30°，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù) =500，SNR=15 dB。仿真結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出，三者的RMSE隨復(fù)雜度的增大而急劇下降，直至復(fù)雜度達(dá)到某一門限值后，再增大復(fù)雜度而RMSE基本不變。為達(dá)到相同的估計(jì)精度，聯(lián)合估計(jì)法的復(fù)雜度比常規(guī)Root-MUSIC的低。

圖2 3種方法的估計(jì)精度隨DOA變化的趨勢(shì)

圖3 3種方法的估計(jì)精度隨實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度變化的趨勢(shì)

實(shí)驗(yàn)4探討了聯(lián)合估計(jì)法在多徑傳播條件下的估計(jì)精度。實(shí)驗(yàn)條件:假設(shè)接收信號(hào)為一路非視距(NLOS)與視距(Line-of-Sight，LOS)信號(hào)的疊加，二者的到達(dá)角度差(Direction Difference)為Δθ，功率比為PNLOS/PLOS;陣元數(shù)=6，視距DOA=30°，快拍數(shù)=50，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)=500，SNR=15 dB。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 聯(lián)合估計(jì)法在多徑傳播條件下的估計(jì)精度

從圖4可以看出，聯(lián)合估計(jì)法的估計(jì)精度隨Δθ變化的趨勢(shì)呈波浪狀，這是因?yàn)镹LOS信號(hào)頻譜的主瓣和LOS信號(hào)頻譜的旁瓣相干擾，當(dāng)旁瓣的能量增至足夠大時(shí)就被當(dāng)作主瓣，就產(chǎn)生較大的估計(jì)誤差。

4 結(jié)束語(yǔ)

在分析了延遲相加法和Root-MUSIC的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，提出了一種應(yīng)用于在移動(dòng)自主網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)定位的將二者進(jìn)行聯(lián)合DOA估計(jì)法，實(shí)現(xiàn)了以較低的復(fù)雜度獲得近似于單獨(dú)采用Root-MUSIC所達(dá)到的高精度。該方法分為2個(gè)階段:首先采用DAS進(jìn)行粗略DOA估計(jì);該結(jié)果為第2階段進(jìn)行精準(zhǔn)定位的Root-MUSIC的基礎(chǔ)，利用牛頓法使Root-MUSIC僅需要求解多項(xiàng)式的一個(gè)根，從而降低了估計(jì)方法整體的復(fù)雜度。仿真實(shí)驗(yàn)證明了其良好的估計(jì)性能。 ■

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